李冶，字仁卿，是河北藁城人，本来名字叫治，后来改成了李冶。他考中了金国的进士，被任命为钧州知州。后来金国军队打进钧州了，李冶就跑到黄河以北，在忻州、崞州这些地方住了下来。
元世祖在当皇子的时候，就听说李冶很厉害，派人把他请来，还说：“我早就听说仁卿你学问好，才能出众，为人低调，一直想见见你，你可千万别推辞啊！”李冶到了之后，世祖问他：以前金国当官的，谁最厉害？李冶回答说：“不管情况险恶还是平稳，只有完颜仲德算得上是贤臣。”世祖又问：合达和布哈怎么样？李冶说：“这两个人军事才能不行，金国却完全信任他们，这就是金国灭亡的原因。”世祖接着问：魏徵和曹彬怎么样？李冶回答说：“魏徵和曹彬都是唐朝的正直大臣，魏徵是最好的。曹彬打江南，一个无辜的人都没杀，可以比作古代的方叔和召虎。”世祖又问：现在还有像魏徵那样的人吗？李冶说：“现在这世道，拍马屁的人太多了，想找个像魏徵那样的人，太难了。”世祖最后问：现在的人才怎么样？李冶说：“天下从来不缺人才，只要你去寻找，就能找到；如果你不去找，当然就找不到人才了。比如魏璠、王鹗、李献卿、蔺光庭、赵复、郝经、王约这些人，都是有用的人才，而且都是您曾经聘请过的，您把他们用起来，还有什么做不成的事呢？不过，天下这么大，人才又岂止这几个人？如果您能广泛地从各地寻找人才，那人才就会源源不断地涌来了。”世祖很高兴，采纳了他的意见。
中统元年，元世祖再次邀请李冶出来做事，想给他安排个清闲又重要的职位，但是李冶因为年老体弱，坚决请求退休回乡。到了至元二年，元世祖又召他来当翰林学士、知制诰、同修国史。李冶上任才一个月，又因为身体不好辞官了。
我爷爷特别擅长数学，写了一本书叫《测圆海镜》，一共十二卷。他在书里自己写了个序，大概意思是说：数字的奥妙无穷无尽，我想尽力把它研究透彻，结果不仅没搞明白个大概，自己还累得够呛。那数字真的研究不透吗？既然已经给它起了个“数”的名字，为什么就研究不透呢？所以说，说数字难穷尽是对的，说数字不可穷尽也是对的。这是为什么呢？因为在那些深奥难懂的东西里，其实也存在着清晰明了的道理。这些清晰明了的道理，就是自然界的数理规律，不是自然界的数理规律，就是自然界的道理。只要推导出自然界的道理，就能明白自然界的数理规律，那么即使是遥远的宇宙边缘，即使是深奥难解的现象，都没有不符合的。我从小就喜欢算术，一直觉得以前研究圆的那些方法都不符合自然规律，比如古率、徽率、密率的不同，弧、矢、背的相互关系，内外角的剖析等等，各个学派说法都不一样。后来我反复研究，始终找不到让我满意的答案。直到年纪大了，才领悟到精妙的数学方法，每天都反复琢磨，钻研它，困扰我的问题终于迎刃而解了。有客人向我请教，我就把这些方法详细解释给他听，结果整理出来就成了170多个问题，客人还给它起了个名字叫《测圆海镜》。以前半山老人收集唐朝一百位诗人的诗歌，自己都说费了很大的力气，觉得很可惜。明道先生认为谢上蔡背诵诗文是玩物丧志，更何况九九乘法表这种简单的技艺呢！我喜欢吃酸的辣的，一辈子都在克制自己，结果还是忍不住，我自己也不知道为什么。所以我曾经这样解释过：从技艺与事情的关系来说，夷人的礼仪，夔的音乐，也不过是一种技艺；但从技艺通向道理来说，石匠的凿子，车夫的轮子，也不是圣人所不屑一顾的吧！看到我的书，同情我的人大概有一百个，嘲笑我的人大概有一千个，但我自己得到了满足就行了，还管别人同情还是嘲笑我干什么呢！
他还写了《益古演段》三卷，用来阐述天元术，这本书和《测圆海镜》是相辅相成的。我爷爷生病快不行了，跟他的儿子克修说：“我一辈子写的书都可以烧掉，只有《测圆海镜》，虽然只是些小技巧，但我曾经认真思考，倾注心血，后世一定会有明白的人，希望这本书能够广泛流传，永远保存下去！”然后他就去世了，享年八十八岁，被追谥为文正。
话说啊，有个叫李冶的人，他创立的天元术，那可是算学里最顶尖的！同时代还有个朱世杰，更是厉害，把天元术发扬光大，发展成了四元术，跟李冶齐名，都是算学大师。这个朱世杰，字汉卿，住在元朝的大都，具体是哪儿人，就不知道了。他写了一本书叫《四元玉鉴》，一共三卷，二百八十个问题，书里还画了四幅图，解释解题步骤：第一幅叫“今古开方会用之图”，第二幅叫“四元自乘演段之图”，第三幅叫“五和自乘演段之图”，第四幅叫“五较自乘演段之图”。他认为啊，算学里最精妙的，就是这个演段法，前面讲五和，后面讲五较，自己就能看出哪个方法更好。然后呢，书里还用假定四元来举例，立天元，叫“一气混元”；天地二元，叫“两仪象元”；天地人三元，叫“三才运元”；天地人物四元，叫“四象会元”。方法是把元气放在中间，天元放在下面，地元放在左边，人元放在右边，物元放在上面。用乘除法来回计算，用假象来求真值，把正负数错综复杂地安排好，分成四种情况，必须通过剔除和替换，改变筹码的位置，最后算出结果，变成开方算式。他还写了另一本书叫《算学启蒙》，三卷，从乘除加减到天元术，一共二十个部分，比《四元玉鉴》更适合初学者学习。朱世杰书里画的图，就像堆积的稻草一样，跟那些堆垛、招差之类的算法很像，跟郭守敬的《授时历》里讲的垛积招差法很相似，所以祖颐在给朱世杰的书写序言时说，这书跟《授时历》的方法是相辅相成的。
接下来咱们说说杨恭懿，字元甫，是奉元高陵人。他爹叫杨天德，是金朝兴定年间的进士，做过安化县令兼录事，还做过州判官。有一次金章宗南郊祭祀，太常卿孙通祥行授币礼时站着没跪，御史要弹劾他失礼，就跑去问杨天德，杨天德说：“授币的时候是坐着，不是站着。”御史一听，觉得不好意思，就作罢了。这件事让杨天德出了名。
杨恭懿先生，那可是个博学多才的人，记忆力超强！《易经》、《礼记》、《春秋》这三本经书，他都通晓。二十四岁的时候，他才开始读朱熹的注释和《太极图说》、《小学》、《近思录》这些书，看完之后，他感慨地说：“人伦日用中的平常道理，天道性命运行的奥妙，都浓缩在这几本书里了啊！” 许衡先生去陕西的时候，杨恭懿先生对他非常尊敬，学习也更加精进了。他父亲去世后，他五天没吃一口饭，拄着拐杖才勉强站起来，还拒绝了佛教的超度仪式。许衡先生回来料理丧事后，对他的学生说：“杨先生守丧非常尽心尽力，他的孝行堪比古代那些开创礼仪制度的大贤啊！”
御史王恽先生推荐了杨恭懿先生的才能，至元七年，他和许衡先生都被朝廷召见，但杨恭懿先生推辞了。许衡先生被任命为中书左丞，和丞相安童一起工作，安童每天都夸杨恭懿先生贤能，还把这事儿汇报给了皇帝。十年后，皇帝派协律郎申敬去召见杨恭懿先生，但他以生病为由推辞了。
十一年，裕宗皇帝亲自下令中书省，派人像汉朝时请四皓那样去请杨恭懿先生，安童丞相就派郎中张元智带了皇帝的旨意去请他。杨恭懿先生这才进京。皇帝派国王和童去慰问他，还召见了他，详细询问了他的祖先和师承情况，问得非常仔细。杨恭懿先生回来后吐血了，皇帝又赏赐给他药物。侍讲学士徒单公履建议设立科举考试选拔人才，皇帝下诏让杨恭懿先生一起商议此事。杨恭懿先生说：“圣旨上说：士人不学习经学和孔孟之道，整天写些空洞无物的诗赋，这是不对的。这才是国家长治久安的根本啊！现在要选拔人才，应该命令有关部门，选拔那些品行端正、通晓经史的人才，不要让他们自己上书推荐，考试内容就用五经四书的大义和小义，还有史论和时务策吧。如果大家都学习实学，那么士风就会纯正，民风就会淳厚，国家就能找到治理国家的人才了！” 皇帝很认同他的意见。安童丞相经常向杨恭懿先生请教政务，非常倚重他。后来朝廷北征，杨恭懿先生就借口生病回乡了。
十三岁那年，皇上要修订历法，有人推荐了王恂他爷爷，说他爷爷算了一辈子的历法，算出来日食月食的次数有七十多次呢！十六岁的时候，皇上又召见王恂他爷爷，让他写一篇关于历法的文章。十七岁那年，《授时历》终于完成了，王恂他爷爷和许衡一起把它呈献给皇上。那天，大臣们正跪着读奏章呢，皇上就让许衡和王恂他爷爷站起来，说：“两位老先生，不用这么辛苦了！”然后就封他爷爷为集贤学士，兼任太史院的事务。第二年，王恂他爷爷就告老还乡了。二十岁那年，皇上又召他爷爷回朝，当太子宾客；二十二岁那年，又让他当昭文馆大学士，继续领太史院的事务；二十九岁那年，皇上又想让他参与中书省的事务，但他都没答应。三十一岁那年，王恂他爷爷去世了，享年七十岁，死后被追谥为文康。
王恂他爷爷临终的时候，他的学生去问候他，他突然叹了口气说：“哎，糟糕啊！国家要衰败了！” 听到这话的人，都用其他的话来解释掩盖。后来成宗皇帝登基的诏书下来了，才知道世祖皇帝竟然就在那天去世了，大家都觉得这是王恂他爷爷至诚的愿望感动了上天啊！他儿子王宙后来当了蒲城县令。
王恂，字敬甫，是河北唐县人。他爸爸王良，金朝末年的时候做过中山府的官吏。当时老百姓遭受战乱，很多人因为一些小错就被抓进监狱，他爸爸前后救活了几百人呢！后来，他爸爸就辞官了，潜心研究伊洛学派以及天文、律历这些知识，样样都精通。他爸爸九十二岁去世。
王恂从小就聪明过人，三岁的时候，家里人给他看字，他就能认出“风”和“丁”这两个字。他妈妈刘氏教他读《千字文》，两遍就背下来了。六岁上学，十三岁就学习九章算术，而且完全掌握了其中的方法。后来，太保刘秉忠北上经过中山，看到了王恂，觉得他非常奇特，等刘秉忠南下的时候，王恂就跟着刘秉忠去易州紫金山学习。
王恂被世祖皇帝看中，在六盘山被召见，然后被任命辅佐裕宗，也就是后来的元世祖，当太子的伴读。两年后，也就是中统二年，他升职为太子赞善，那时他才28岁。三年后，裕宗被封为燕王，王恂担任中书令，同时兼任枢密院事，皇帝还下令，所有给朝廷递交奏章的官员，都必须让王恂过目。
一开始，中书左丞许衡写了一本书，里面收集了从唐虞时代以来好的言论和好的政治措施，献给了世祖皇帝。世祖皇帝就让王恂讲解这本书，还让太子学习。皇帝还特别嘱咐王恂要小心谨慎地照顾太子的起居饮食，不合适的人，绝对不能让他接近太子。王恂说：“太子是国家的根本，责任重大，应该让德高望重的人和他相处。”皇帝非常赞同他的观点。
王恂很早就以擅长算术闻名，裕宗曾经问过他一些问题，王恂回答说：“算术是六艺之一，它关系到国家的稳定和人民的安宁，这是非常重要的事情。”他每次侍奉在太子身边，都会讲授三纲五常，学习的方法，以及历代王朝兴衰的原因。他还结合辽金的历史，分析他们的成败得失，然后把这些见解汇报给皇帝。裕宗曾经问过他为人处世的基本原则是什么，王恂说：“许衡曾经说过：人心就像印版，只要印版本身没错，那么印出来的东西，无论多少张，都不会错；如果印版本身就错了，那么印出来的东西，就全都会错。”后来，皇帝还挑选了一些勋贵子弟，让王恂来教导他们。
等到王恂跟随裕宗出征，他就把这些学生托付给了许衡。许衡后来告老还乡了，皇帝又任命王恂担任国子祭酒，国子监的制度，实际上就是从那时开始建立的。
皇帝觉得金朝的《大明历》已经使用很久，不够精确了，想重新修订。他知道王恂精通算术，就派他去做这件事。王恂推荐许衡精通历法，皇帝就派人快马加鞭把许衡请到京城，让他负责修订历法，所有参与修订历法的人员，都由王恂来挑选安排。到至元十六年，王恂被授予嘉议大夫、太史令的职位。十七年，《授时历》修订完成，皇帝赐名《授时历》。十八年，王恂去世，享年四十七岁。王恂生病的时候，裕宗多次派御医去给他诊治，王恂死后，裕宗还赏赐给他家两千贯钱。后来，皇帝考虑到王恂修订历法的功劳，又赏赐给他家五十贯钱。延祐二年，追封他为推忠守正功臣、光禄大夫、司徒、上柱国、定国公，谥号文肃。
子宽和宾，都跟着许衡学习，在家学里继承了星历方面的知识。元裕宗皇帝曾经召见他们兄弟俩，对他们说：“你们父亲出身寒微，以前只是个穷书生，没有什么积蓄。现在朕赏赐你们五千贯钱，用完了可以再来禀报。”皇帝的恩典真是非常厚重啊。子宽从保章正做起，后来升任兵部郎中、蠡州知州。宾则从保章副做起，一步步升迁，最后当上了秘书监。
郭守敬，字若思，是河北邢台人。他从小就天赋异禀，聪明才智超群。他爷爷郭荣，精通天文历算和水利工程。当时刘秉忠、张文谦、张易、王恂这几位都在易州紫金山一起学习，郭荣就让郭守敬跟着刘秉忠学习。
中统三年，张文谦向元世祖忽必烈推荐了郭守敬。世祖召见了他，郭守敬当面陈述了六项水利工程的建议：第一，把中都（今北京）玉泉山的泉水引到通州；在蔺榆河河口开挖一条新河道，避开浮鸡淀的险滩；第二，把顺德府的活泉水引来灌溉田地；第三，疏通顺德府澧河的旧河道；第四，把漳河和滏河的水引进澧河，用来灌溉田地；第五，把怀河、孟河和沁河的水引进御河，用来灌溉田地；第六，开挖一条从旧孟州到温县的黄河支流，用来灌溉田地。世祖皇帝感叹道：“像郭守敬这样认真负责的人，才对得起朝廷的俸禄啊！”于是任命他为提举诸路河渠（主管全国河渠工程的官员）。四年后，又授予他银符（一种身份象征）和河渠副使的官职。
公元1264年，郭守敬跟着张文谦去西夏，修缮了中兴路上的唐来渠和汉延渠。那些以前坏掉的渠道，都重新修建了闸门和水堰，方便了当地老百姓灌溉田地。
第二年，郭守敬被任命为都水少监，相当于管水利工程的官员。他跟皇帝说：“北京西边有个麻峪村，那儿可以从卢沟河引水往东，穿过西山流出来，这就是所谓的‘金口’，灌溉的效益好得不得了。以前打仗的时候，有人用大石头堵住了它，如果按照原来的样子把水路疏通，就能帮着京城的漕运。”他还说：“最好在金口西边预先挖个泄洪口，连通黄河，防止河水上涨泛滥成灾。”皇帝觉得他的建议不错，但当时没实施。
十二年后，也就是公元1275年，丞相伯颜带兵打宋朝，需要建立一些水运站，就让郭守敬去实地考察。郭守敬从陵州跑到大名府，又从济州跑到沛县，接着又南下到吕梁山，又从东平府跑到纲城，还从东平府沿着清河，越过旧黄河，到达御河，然后从卫州的御河，到东平府，最后从东平府往西南方向的水泊，又到达御河。他这一路考察，终于弄明白了汶河、泗河和御河之间怎么连通的，还画了图，把结果报告给了皇帝。
一开始，郭守敬的祖上用着《大明历》，这历法在辽金时期沿用了两百多年，后来慢慢地不太准了，大家想着要改改。结果还没来得及改，郭守敬的祖上就去世了。过了十三年，元朝统一全国，皇帝想起了郭守敬祖上的建议，就让郭守敬和王恂带着全国各地负责天文观测的人，分头进行观测和推算。同时，还让文谦、张易和许衡也参与进来，一起负责这件事。许衡主要负责计算方面。
郭守敬觉得观测的关键在于仪器，于是他就发明了简仪、仰仪、正方案、景符、窥几等等一系列天文仪器，观测的精确度达到了毫厘不差的地步。那一年，都水监并入了工部，郭守敬被任命为工部郎中。过了三年，天文机构改名为太史院，王恂当了太史令，郭守敬当了太史院同知，还被赐了印信，正式设立了官署。
后来，郭守敬向元世祖皇帝汇报了新的仪器和计算方法，整整讲了一天，皇帝听得津津有味，一点也不觉得累。郭守敬还建议在全国各地设立二十七个观测站，用圭表测量日影，皇帝也同意了。从丙子年冬天开始测量日影，经过丁丑、戊寅、己卯三年，他们测得冬至时刻比《大明历》少了十九刻二十分。他们还改进和完善了古代关于岁差的计算方法，考证了春秋时期以来的冬至时刻，都非常吻合。
通过月食的观测和金星、水星与冬至日运行轨迹的比较，他们对旧历进行了修正，减少了七十六分。通过日行速度的快慢和赤道上的平行度来验证月亮和星宿的度数，他们对旧历增加了三十刻。他们用丝线代替管窥来测量赤道星宿的度数，用四正定气来确定岁差的增减，从而确定太阳运行的盈亏；把二十八宿分成三百六十六度，来确定月亮运行的快慢；用赤道九道来确定月亮的运行，用月亮运行的快慢来确定度数和朔日，而不用平行度；用日月实际会合的时刻来确定晦日，而不用虚进法；用星宿的运行来确定交食。这些方法都比以前精密得多。
郭守敬还彻底摒弃了以前历法中一些牵强附会的计算方法，完全根据天体的自然规律来计算，这样得出的历法就能永久地使用了。十七年后，新历法终于完成了，郭守敬和其他的官员一起向皇帝呈上新历法，皇帝赐名《授时历》，并下令在全国推行。
十九年，王恂去世了。当时新历法虽然已经颁布，但是推算历法的公式和最终结果都还没定稿。郭守敬把这些资料整理分类，精确到分秒，完成了《推步》七卷、《立成》二卷、《历议稿》三卷、《乾坤选释》二卷、《上中下三历法式》十二卷这几个著作。
二十年，郭守敬被任命为太史令，把这些书都呈献上去了。他还写了《时候笺注》二卷、《修改源流》七卷、《仪象法式》二卷、《晷景考》二十卷、《五星细行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新测二十八舍杂坐诸星入宿去极》一卷、《新测无名诸星》一卷、《距离考》一卷，这些书都收藏在朝廷里。
二十八年，郭守敬建议从白浮泉引水，经过瓮山泊，从西水门进城，汇入积水潭，再从南水门流出，进入旧运粮河，这样可以节省通州到元大都陆路运输的费用。皇帝采纳了他的建议，这件事详细记载在《河渠志》里。三十年，元世祖从上都回来，经过积水潭，看到河上船只密密麻麻，非常高兴，就给这条河取名“通惠河”，还赏赐郭守敬一万二千五百贯钱，让他兼任通惠河漕运的负责人。三十一年，郭守敬被任命为昭文馆大学士、知太史院事。
大德二年，皇帝召郭守敬到上都，商量开凿铁幡竿渠的事。郭守敬奏报说，这些年雨水很多，如果不开凿很大的渠道和水闸，宽度至少得六七十步才行。但是执政大臣觉得太大了，把宽度缩小到三分之一。第二年大雨，水流太大，渠道容纳不下，冲毁了很多房屋和人畜，差点冲到皇宫。元成宗对身边的人说：“郭太史真是神人啊，可惜他的建议没被采纳。”七年，朝廷下令，所有七十年以上的官员都可以退休，但是唯独郭守敬没被允许退休。从那以后，翰林院、太史院、司天台的官员都不能退休了，这还成了一个规定。
延祐三年，郭守敬去世了。他的学生齐履谦说，郭守敬品德高尚，学问渊博，是世人的楷模，他的成就无人能及，主要体现在三个方面：一是水利工程，二是历法计算，三是天文仪器的制造。许衡也非常敬佩郭守敬，认为他是个奇才。
史学家说：先辈阮文达公说过，推算星历的关键，在于观测和计算这两方面。郭守敬发明的简仪和仰仪，之前的观测方法都没达到这种水平；而垛积、招差、句股、弧矢这些计算方法，以前的人也都没掌握。他的观测精准，计算细密，上溯古法，下求精微，就像是用准绳丈量一样准确，可以说是集古代方法之大成，为后世留下重要的典范。
齐履谦，字伯恒，是河北大名府人。他父亲齐义精通算术，齐履谦十一岁的时候，父亲就教他推算星历的方法。元至元十六年，朝廷刚成立太史局，要修订新的历法，齐履谦被任命为星历生。太史令王恂问他算术问题，齐履谦对答如流，王恂非常惊讶他的才华。新历法完成后，他又参与编写了《历经》和《历议》。至元二十九年，他被授予星历教授的职位。当时的都城里用的刻漏，是用木头做的，形状像碑，叫做碑漏，里面装有弯曲的管道，用铜丸从碑顶往下滚动，铜丸滚动到一定位置时发出声音来报时，但这种刻漏已经损坏很久了，早晚报时都不准。元大德元年，中书省派齐履谦去查看，他发现刻漏旁边有四只宋代的旧铜壶，于是他就根据图样考证了莲花漏、宝山漏等几种古漏的构造，然后让人重新制作。他还建议重建鼓楼，增加更鼓，当时就采纳了他的建议。
两年后，齐履谦升任保章正，开始全面负责历法事务。大德三年八月初一，日食发生的时间是巳时（上午九点到十一点），按照历法推算，日食应该持续两分多钟，但是实际并没有发生日食。齐履谦说：“日食推算和实际发生不一致的情况，在古代也有记载，更何况现在是接近中午，阳气旺盛，阴气微弱，日食不发生也是正常的。”于是他考证了唐开元以来日食推算与实际不符的十件事例上报朝廷。大德六年六月初一，日食发生的时间是戌时（晚上七点到九点），按照历法推算，日食应该持续五十七秒，很多人因为日食发生时间接近黄昏，而且天色昏暗，想隐瞒不报，但齐履谦说：“我负责的是历法常数，日食发生与否，是天意，与我无关。”于是他独自将此事上报，结果日食真的发生了。大家曾经为“没日”（指太阳完全被遮蔽的日子）的推算方法争论不休，齐履谦说：“太阳运行周期基本是十五天，但有时也会有十六天的情况，这是余数累积的结果。所以历法用累积的天数来确定‘没日’，只要不超过基本周期就是正确的。”大家都很服气他的说法。
七年前，皇上因为地震，下诏询问消除灾祸的办法。履谦根据《春秋》说：“大地属阴性，主静，这就像妻子的道、儿子的道、臣子的道一样，这三者如果都失了道，大地就会不安宁。大臣们应该反躬自省，去掉专制跋扈的威风，来回应天地的变化。” 当时成宗皇帝卧病在床，宰相专权，所以履谦才这样说。九年冬天，开始在南郊设立祭坛，祭祀昊天上帝，履谦代理司天台的官职。以前的规矩，祭祀的时候，司天台虽然负责掌管时间，但是没有钟鼓更漏，往往要等到天亮才开始仪式。履谦建议使用钟鼓更漏，使早晚都有节制，皇上批准了他的建议。
至大二年，太常寺请求修缮社稷坛，并且疏浚太庙庭院里的井。有人因为那是太岁所在的方向，想阻止这项工程，履谦说：“国家把天下百姓都当作家人，太岁难道就只在这儿吗！”三年，履谦被提升为时郎秋官正，兼领冬官正事。四年，仁宗皇帝即位，朝廷大臣说履谦有学问和操守，可以教导国子监的学生，于是他被提升为国子监丞，又改任奉直大夫、国子司业，和吴澄同时被任命，当时人们都说朝廷选对了人。不久，履谦又被任命为太史院佥事。皇庆二年春天，彗星出现在东井星附近，履谦上奏说应该增加修善政，来回应天意，并且陈述了当时政务的八件事，仁宗皇帝很感动，立刻吩咐宰相赶紧执行。
延祐元年，履谦再次被任命为国子司业。当时刚开始规定国子监学生每年向朝廷推荐六个人，按照入学的先后顺序排列。履谦说：“不考察他们的学业，怎么能选拔优秀的人才呢！”于是他根据旧的制度，制定了升斋积分的办法，每个季度考核学生的学业和品德，根据成绩依次递升。升到上斋之后，还要再过两年，才能参加考试；孟月（农历正月）和仲月（农历二月）考试经义，季月（农历三月）考试古赋、诏诰、章表、策论，蒙古族和色目人考试明经策问，辞藻和道理都优秀的一分，辞藻平庸道理优秀的算半分，一年结束积满八分的人，就列为高等，名额四十人；然后由集贤院和礼部确定其中成绩合格的六个人，作为每年向朝廷推荐的人选；三年内不通一经，或者在国子监学习不满一年的，都予以淘汰。皇帝采纳了他的建议。五年，履谦被外放为滨州知州，因为母亲去世，最终没有成行。
元至治元年，他当上了太史院使，也就是负责天文历法和史书编纂的官员。
泰定二年九月，他被派去江西和福建当钦差大臣，整顿地方吏治。这一去，他可真够厉害的，一口气就罢免了四百多名贪污的官员！他还发现有些地方，竟然用先贤的后代去做苦力，这简直是荒唐！他立刻下令把这些人全部放了。福建的官府，有一块地专门种粮食，收成用来供养官府，每亩地每年要交三石米，老百姓苦不堪言。他觉得这太不合理了，就下令允许用钱代替米交税，结果却得罪了当地官府。等他回北京后，福建的官府就借故诬陷他。没过多久，好多人都因为这件事被免职，最后证明他是清白的，他又重新当上了太史院使。天历二年九月，他去世了。
他一生写了很多书，比如《大学四传小注》、《中庸章句续解》、《论语言仁通旨》、《书传详说》、《易系辞旨略》、《易本说》、《春秋诸国统纪》、《经世书入式》、《外篇微旨》、《二至晷景考》、《经串演操八法》，这些书加起来可不少呢！
他还对古代的律法非常感兴趣，因为他觉得律法和自然界的规律息息相关，古代的史书里就有记载。他想找个偏僻的地方建个密室，用金门产的竹子和河内产的芦苇来研究气候和律法，他还把自己的想法写成奏章上报朝廷。 他还得到一根古代的黑色玉石律管，长一尺八寸，外面是方的，里面是圆的，空心的，中间有个隔板，隔板上有小孔。隔板上面九寸的地方，管子的内径均匀，大约三分，符合黄钟律的标准；隔板下面九寸的地方，管子的内径从小孔逐渐变细到管底，大约二寸多。这根管子的制作方法跟当时律学家说的不一样，应该是古代传说中的“玉律”吧！可惜的是，他刚调到别的官职，这件事就没下文了，很多有志之士都为此感到惋惜。
至顺三年五月，朝廷追赠他为翰林学士、资善大夫、上护军，追封汝南郡公，谥号文懿。
