蒙古以前根本没有自己的历法。成吉思汗当政的第十五年，他驻扎在撒马尔罕城。有个回鹘人报告说，五月十五那天晚上月亮被遮住了。当时的中书令耶律楚材，根据《大明历》推算，发现月亮的确应该被遮住一部分，而且最严重的时候是在子时（晚上11点到凌晨1点）。结果呢，还没到晚上刚过一点的时候，月亮就已经开始被遮住了。
那年二月和五月的初一，月亮都出现在西南方，而且很小。耶律楚材发现以前的历法根本不准，于是另起炉灶，编制了一部新的历法，叫做《庚午元历》。这部历法是根据《大明历》修改的，把周天减少了七十三秒，岁差也减少了七十三秒。他根据中元庚午年（即成吉思汗登基的那一年）全国基本平定，推算出上元庚午年（成吉思汗受命的那一年）十一月壬戌日（阴历十一月某日）的子时是冬至，认为这是成吉思汗受命于天的吉兆。他还考虑到西域和中原相隔万里，根据唐代僧一行关于里差的理论进行增减调整，这样一来，东西方观测的结果就完全一致了。
然后，耶律楚材上奏成吉思汗说：“从汉朝到唐朝以来，历法不断改进，各种历法不下百种。可是，这些历法在气候早晚、朔望快慢、日月盈亏、五星运行等方面，都存在疏密不均、先后不一的问题。这主要是因为各地地理位置不同，或者历法年代久远造成的误差。唐朝的历法改过八次，宋朝的历法改过九次，金朝的《大明历》一百年才改一次。而现在我们距离中原万里之遥，过去适用的历法，现在可能就不准了。比如，东西方观测的差异，以及今年二月和五月的初一，月亮都出现在西南方，而且很小，这和以前的历法都对不上。从汉朝到唐朝以来，关于历法的书籍很多，但都没有提到这种情况。虽然正月和四月也是小尽（指月球盈亏的程度），但从没有出现过初一就能看到月亮的情况。”
当时成吉思汗正在西域用兵，所以耶律楚材的奏章没有被采纳。耶律楚材曾经说过，西域的五星运行比中原密集，他还编制过一部叫做《麻答历》的历法，但是现在已经失传了。耶律楚材的父亲耶律履，在金朝灭亡之前编制过一部《乙未元历》，耶律楚材编制的《庚午元历》就是在他父亲的基础上修改而成的。
到了忽必烈当政的至元四年，西域人札马鲁丁用回回历法编制了一部《万年历》，忽必烈皇帝稍微采纳了一些。这部历法是默特纳国王马哈麻所创，以西域阿剌必年（相当于隋朝开皇己未年）为起始年，不设闰月，一年三百六十五天，一年十二宫，每个宫都有闰日。一百二十八年，宫闰三十一日；三百五十四天为一周，一周十二个月，每月有闰日，三十个月闰十一日；一千九百四十一年的周期之后，宫、月、日、辰再次重合。这就是这部历法的基本原理。
元世祖忽必烈在位十三年的时候，下令让许衡、王恂、郭守敬三位大臣负责修订新的历法。之前，刘秉忠丞相觉得《大明历》沿用多年，已经和实际情况脱节了，建议修改，但刘秉忠去世后，这事儿就搁置了。
等到世祖忽必烈想起这事儿，就让王恂和郭守敬带队，带着全国各地的一帮天文专家，比如陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼等等，一起搞天文观测和计算。因为许衡对天文历法也很懂，所以也让他参与进来。
郭守敬首先说，修历法最重要的是观测，而观测需要仪器。当时司天台的浑仪是宋朝皇祐年间在汴京造的，和现在这儿的地理位置对应的天文数据对不上，南北极的偏差大概有四度。而且，观测用的圭表也老旧损坏，不能用了。于是，他们就把旧仪器都检查了一遍，重新调整摆放。
然后，他们又设计建造了一个新的观测平台，用木头搭了个大棚子，在里面制造了简仪、高表等等一系列新的天文仪器。 为了更精确地观测北极星，他们还发明了候极仪；为了更直观地了解天体运行，他们又发明了浑天象和玲珑仪；为了测量天体的角度，他们发明了仰仪；为了简化观测方法，他们发明了立运仪；为了验证日月的运行规律，他们发明了证理仪；为了更精确地观测日影，他们发明了景符和窥几；为了预测日食月食，他们发明了日月食仪；为了测量时间和天体的方位，他们还发明了星晷定时仪。 总共设计制造了十三种天文仪器。 此外，他们还设计了正方案、丸表、悬正仪、座正仪等四种仪器，方便各地观测人员使用。 同时，他们还绘制了《仰规覆矩图》《异方浑盖图》《日出入永短图》等五幅图，辅助天文观测。
到了元世祖在位十六年的时候，天文机构改名为太史院，王恂当了太史令，郭守敬当了太史院同知，还给他们发了印章，正式设立了机构。 这一年，郭守敬向皇帝汇报了他们研制的新仪器，详细地讲解了它们的原理和使用方法。他从早到晚地给皇帝讲解，皇帝一点儿也不觉得烦。
郭守敬还建议说：“唐朝一行和尚在开元时期曾经在全国各地进行过天文观测，书上记载了十三处观测点的数据。现在咱们国家的疆域比唐朝还大，如果不能在全国各地进行观测，那么日食月食的时间和具体数据、昼夜长短、日月星辰的高度都会不一样。所以，应该先在南北各地设立观测点，进行统一的观测。” 皇帝同意了他的建议，派出了十四名官员，分赴各地进行天文观测。
观测结果显示：南海北极高度为15度，夏至日影长1尺1寸6分，白天54刻，夜晚46刻；衡岳北极高度为25度，夏至日影长0，白天56刻，夜晚44刻；……（此处省略各地观测数据，数据较多，为避免冗余，仅保留开头和结尾部分）……琼州北极高度为19度。
十七年，新历终于完成了，守敬上奏皇上说：我们听说啊，对于帝王来说，没有什么比历法更重要的了。从黄帝开始迎着太阳推算历法，尧帝用闰月来确定四季和年岁，舜帝则用璇玑玉衡来调整七政（日、月、五星）。到了夏商周三代，历法都没有固定的方法，到了周朝和秦朝之间，闰月和节气更是错乱不堪。西汉时期创造了《三统历》，一百三十年后才算确定了它的对错；东汉时期创造了《四分历》，七十年后才完善了它的仪式；又过了百二十一年，刘洪创造了《乾象历》，这才明白了月亮运行有快有慢；又过了百八十年，姜岌创造了《三纪甲子历》，这才明白了可以用月食来检验太阳运行的度数；又过了五十年，何承天创造了《元嘉历》，这才明白了可以用朔望和弦来确定大小余；又过了六十五年，祖冲之创造了《大明历》，这才明白了太阳有岁差；又过了五十二年，张子信明白了日月交道有表里，五星运行有快慢、停留和逆行；又过了三十三年，刘焯创造了《皇极历》，这才明白了太阳运行有盈有缩；又过了三十五年，傅仁均创造了《戊寅元历》，他参考了以前的历法，开始使用定朔法；又过了四十六年，李淳风创造了《麟德历》，因为他发现以前的历法在章、蔀、元、首、分、度等方面都不统一，所以他制定了一个总的办法，用进朔法来避免晦晨月见；又过了六十三，僧一行创造了《大衍历》，他根据朔有大小来确定九服交食的不同；又过了九十四年，徐昂创造了《宣明历》，这才明白了日食有气、刻、时三种误差；又过了二百三十六年，姚舜辅创造了《纪元历》，这才明白了食甚的误差。以上这些加起来一共一千一百八十二年，历法改了七十次，其中创造历法的有十三个大家。
过了百七十四年后，皇上您统一了全国，开创了盛世，特地命令我们来修订新历法。我们利用创造的简仪和高表，根据实际测量的数据，对七个方面进行了校正：
第一，咱们来说说冬至。从丙子年立冬开始，我每天都测量日影长度，一天天对照着记录，找到冬至前后日影长度变化相同的日期作为标准。结果算出来，丁丑年的冬至在戊戌日夜里十二点后八刻半（大约五个小时）；丁丑年的夏至在庚子日夜里十二点后七十刻（大约四十二个小时）；戊寅年的冬至在癸卯日夜里十二点后三十三刻（大约二十个小时）；己卯年的冬至在戊申日夜里十二点后五十七刻半（大约三十五小时）；庚辰年的冬至在癸丑日夜里十二点后八十一刻半（大约四十八个小时）。把这些时间都减去《大明历》里说的十八刻，前后都对得上，误差很小。
第二，咱们再来说说一年的时间长度。从刘宋的《大明历》开始，每次测量日影、观察天象，算出冬至的准确时间，一共六次。用这六次的数据来比较，算出每年的时间长度。现在已经验证了四年，结果都完全一致。从宋朝大明壬寅年到现在，一共八百一十年，平均每年是三百六十五天二十四刻二十五分，这二十五分就是现在历法里一年时间长度的剩余部分。
第三，咱们说说太阳的运行轨迹。利用至元丁丑四月癸酉日发生的月食，推算出太阳的运行轨迹。结果发现，冬至时太阳在赤道坐标系上位于箕宿十度，在黄道坐标系上位于箕宿九度，有点偏差。之后，我又每天测量太阳的运行位置，或者用星星来测月亮，或者用月亮来测太阳，或者直接用星星的位置来测太阳，建立了计算方法。从丁丑正月到己卯十二月，一共三年，总共有一百三十四次观测结果，都显示太阳位于箕宿，这和月食的观测结果一致。
第四，咱们说说月亮的运行轨迹。从丁丑年到现在，我每天都测量月亮每时每刻的运行位置，并推算出月亮在黄道上运行速度最慢、最快以及平行运行的位置。一共观测了十三次月亮的运行周期，总共五十一件事，去除不准确的，有三十件事的结果和《大明历》计算的月亮运行结果一致。为了验证日食，我又在《大明历》的基础上加了三十刻，这样就和实际的天象吻合了。
第五，咱们说说月亮交点。从丁丑五月开始，我每天都测量月亮到天极的距离，并与黄道到天极的距离进行比较，从而确定月亮轨道与黄道的交点。一共观测到八次，并且根据日食的规律推算，每次都有食发生，并且算出的时间和《大明历》算出来的差不多。
首先，咱们来说说二十八宿的距离。从汉朝的《太初历》开始，这二十八宿之间的距离就一直不太统一，各个历法都有增减，改来改去的。《大明历》呢，在度数的余数后面还加了个“太半少”之类的说法，都是个人主观臆断，并没有真正测量过。我们现在用的新仪器，把周天度分都刻画得很细致，一度分成了三十六分，用精确的距离线代替过去的粗略观察，二十八宿的度数和余数都是实测得来的，不再凭空猜测了。
接下来是每天日出日落和昼夜时间的计算。《大明历》计算日出日落和昼夜时间，都是以汴京为标准的，在别的地方就不准了，比如大都就不一样。我们现在根据本地北极星的高度、黄道出入的角度，制定了一个新的计算方法，算出每天的日出日落和昼夜时间。比如，夏至那天昼最长，日出是寅时正二刻，日落是戌时初二刻，白天是六十二刻，晚上是三十八刻；冬至那天昼最短，日出是辰时初二刻，日落是申时正二刻，白天是三十八刻，晚上是六十二刻。这些都是固定不变的。
我们这次改进的历法，主要有五个方面：第一，关于太阳的运行速度变化，我们用四个节气来确定太阳运行速度的升降界限，然后计算出每天太阳运行的起始和终止位置以及极差和累积度数，比以前更精确；第二，关于月亮运行的快慢，以前的历法都用二十八个限来计算，我们现在用八百二十分之一万分日为一个限，一共分成三百三十六个限，用叠加差值法计算月亮运行的快慢，这样就能精确到每个时刻月亮运行的速度，这在以前可是没有的；第三，关于黄赤道交角，以前的方法是用一百一度相减相乘，我们现在用的是勾股定理、弧矢、圆周率等数学方法计算黄赤道交角的度数和差值，计算结果与实际的天文观测结果非常吻合；第四，关于黄赤道内外度，我们根据多年的实测数据，得出黄赤道内外极度是二十三度九十分，然后用圆内接正方形、勾股定理等方法计算出每天与极点的距离，结果与实测数据相符；第五，关于月亮运行轨道与黄道的交点，以前的方法是根据黄道的变化推算月亮运行轨道的交点，方法比较间接，我们现在用浑天仪来测量，得到了月亮运行轨道与赤道正交时，与春秋分时黄赤道正交点相距十四度六十六分，以此为依据，推算出月亮运行轨道每个月与二十八宿的交点位置，这在理论上是比较完善的。
皇上给新历法赐名《授时历》。过了十八年，新的历法才在全国推行。到了十九年，郭守敬觉得推算历法的方法和最终得出的数据都不够完善，于是他又写了《推步》七卷、《立成》两卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》两卷、《上中下三历注式》十二卷，然后把这些书都呈献给了皇上。第二年，皇上又命令太子少保李谦，对郭守敬的《历议》稿子进行修改润色，好让大家更明白新历法遵循天理、符合实际的道理。
大德三年八月初一，那天是巳时，按照新历法预测，应该发生日食，而且时间还比较长。可是到了那个时候，日食并没有发生，天文台的官员们都吓坏了。保章正齐履谦说：“日食预测对了，但实际没发生，这种情况古书上也有记载，何况当时接近中午，阳气盛，阴气弱，日食不发生也是正常的。”然后他查阅了唐朝开元年间以来，预测有日食但实际上没发生的十个例子，向皇上做了汇报。六年六月初一，那天是戌时，新历法预测会发生日食，持续时间是五十七秒。很多人觉得时间太短，而且这事情不太光彩，想瞒报。但齐履谦说：“我负责的是天文历法，日食发生与否，这可是天意啊！”于是他独自向皇上报告了这件事，结果真的发生了日食。那些高深莫测的事情，必须经过长时间的反复验证才能看出端倪。《授时历》推算日食的方法，比以前十三种历法都要精确，但还是会有几分钟的误差。所以元朝这四十五次日食中，有一次预测有日食但没发生，有一次预测错了日食发生的时间，还有一次把夜间的日食错当成白天的日食了。齐履谦说日食发生与否系于天，这还是沿用了以前那些“预测有日食但没发生”、“预测没日食但发生了”的错误说法，真是太荒谬了！
泰定年间，齐履谦担任太史院使，发现《授时历》已经使用了五十年，从来没有进行过复核，于是他亲自测量日影，观察晨昏以及五星的运行轨迹，从至治三年冬至到泰定二年夏至，他发现实际的天文数据，比《授时历》记录的都要早两刻钟，于是撰写了《二至晷景考》两卷。虽然《授时历》有经文和注释，但经文只是记载了推算方法，注释只是记载了最终结果，至于方法的原理和结果的来源，却解释得不够详细。于是他又写了《经串演说》八卷，来解释《授时历》的原理。
赵友钦是鄱阳人，他深入研究《授时历》的原理，写了五卷本的《革象新书》，被认为是新历法的开山之作。他那篇《历法改革》里写道：“从古到今，历法已经有六十多种了，汉朝的《太初历》还算凑合，但还是粗糙，不够精确；唐朝一行和尚编制的《大衍历》，当时觉得很精确了，但现在看来，还是粗糙得很。原因是时间短的话，误差小，感觉不出来，时间长了，误差越积越大，不得不改。关键是要随时观测检验，才能得到准确的数据。”
他那篇《日道岁差》里写道：“《统天历》说，周天赤道是三百六十五度二十五分七十五秒，一年是三百六十五日二十四分二十五秒，一百年差一度半。但是它又说，一年之长也并非一成不变，古代一年天数多，后世一年天数少，这样一来，古代的岁差就小，后世的岁差就大。现在的历法沿用这种方法，设立增减闰年的规则，推算古代，一百年加一秒；推算未来，一百年减一秒。”
他那篇《黄道损益》里写道：“冬至和夏至那两天，太阳运行的黄道和赤道是平行的，黄道与赤道的夹角每一度大约是赤道的九十二分之九十。现在的《授时历》计算冬至时太阳在箕宿，由此可知，寅申两度的数值最小，己亥两度的数值最大，其余的数值则介于两者之间。”
他那篇《积年日法》里写道：“以前那些编历的人，是反过来推算古代的，说要从上元时期推算出总的天数，所以必须建立日法。但是，所谓截元法，只是把推算出来的数字按顺序算一遍，然后反过来推算，并不求得完全一致。现在的《授时历》采用旧历的截元法，但对积年日法，它却完全没采用。”
他那篇《日月盈缩》里写道：“月亮每月运行十三度多，还差十九分之七，但有时提前，有时延后，误差甚至达到四五度。东汉的刘洪第一个研究这个问题，知道了月亮有盈亏；隋朝的刘焯第一个发现太阳也有盈亏，盈亏最大时在春秋二分，误差有两度多。李淳风有推算月孛的方法，说它六十二天运行七度，六十二年运行七周天。所谓的‘孛’，是一种彗星，光芒偏斜的叫彗星，光芒四射像个圆球的叫孛星。但是，用月亮来命名孛星，是因为孛星所在的位置，是月亮运行最慢的地方；月亮在孛星的对面，运行速度最快。孛星不常见，只能根据月亮运行最慢的地方来推测它的位置。”
他那篇《月有九道》里写道：“月亮运行在黄道内侧和外侧，最远的地方离黄道六度二分。月亮的运行轨道和黄道有两个交点，交点开始的地方叫罗睺，交点中间的地方叫计都。从交点开始到交点中间，月亮在黄道外，叫阳限；从交点中间到交点结束，月亮在黄道内，叫阴限。所谓‘九道’，可以用图来解释，画四张图，每张图都画一个黄道，像一个圆环，环的南边是夏至，环的北边是冬至，环的西边是春分，环的东边是秋分。第一张图画一条青色的轨道，和黄道在南北两个方向相交，南交点是罗睺，北交点是计都，青色轨道的一边从黄道的西边进入，这是内青道，另一边从黄道的东边出来，这是外青道。第二张图画一条白色的轨道，也和黄道在南北两个方向相交，南交点是计都，北交点是罗睺，白色轨道的一边从黄道的东边进入，这是内白道，另一边从黄道的西边出来，这是外白道。第三张图画一条红色的轨道，和黄道在东西两个方向相交，东交点是计都，西交点是罗睺，红色轨道的一边从黄道的南边进入，这是内朱道，另一边从黄道的南边出来，这是外朱道。第四张图画一条黑色的轨道，也和黄道在东西两个方向相交，东交点是罗睺，西交点是计都，黑色轨道的一边从黄道的北边进入，这是内黑道，另一边从黄道的北边出来，这是外黑道。虽然画了四张图，但八条轨道其实是一条轨道。之所以说九道，是因为北边的轨道和黄道相交，所以用九来表示。八条轨道经常变化，不能放在浑仪上，也不能画在星图上，只有黄道和赤道可以画出来。为了区别于黄道，所以用红色来表示赤道。赤道附近的八条轨道都和赤道相交，距离远近不同，朱道最远十八度，黑道最远三十度，青白两道大约二十四度。”
他那篇《地域远近》里写道：“古代是用八尺高的表来测量四季日影的，在中原地区，夏至的影子在表的北边一尺六寸，冬至的影子在表的北边一丈三尺。到了南方交广地区和北方的铁勒地区，测量结果都不同。八尺高的表似乎太短了，元朝以后，表的高度是四丈，这才是万古不变的标准。所谓的土圭，古已有之，但是，由于地球是圆的，太阳和人的距离不同，影子移动的速度也不同，中午时太阳和人距离远，影子移动慢；早上和晚上太阳和人距离近，影子移动快。所以，各地土圭的刻度都是一样的，这怎么能避免午时侵占己未时辰，早晚时间都出现误差呢？中原地区已经这样了，如果用八个方向不同的地方来测量，土圭就更不准了。偏东的地方，早上的影子移动快，晚上的影子移动慢，中午的影子提前到来；偏西的地方，早上的影子移动慢，晚上的影子移动快，中午的影子推迟到来；偏北的地方，影子短而晚；偏南的地方，影子长而早。如果在南越地区，影子短而指向南方，子午线反复变化，那就更错了。”
他那篇《日月薄食》里写道：“太阳的圆形比较大，月亮的圆形比较小；太阳运行的轨道也比较大，月亮运行的轨道也比较小；太阳的轨道离天比较近，月亮的轨道离天比较远。太阳和月亮的大小和运行轨道，虽然略有差异，但是月亮离人近，太阳离人远，所以看起来月亮的大小和太阳的轨道差不多大。日食月食，应该用天球的经纬度来推算，经度相同而纬度不同，就叫合朔；经度和纬度都相同，合朔的时候就会发生日食或月食。人们看到太阳被月亮的黑影遮挡，所以叫日食，其实太阳本身并没有受到损害，所谓‘食’，只是个说法而已。太阳和月亮相对运行，如果不在两个交
总而言之，方形是数的开始，圆形是数的终结，圆形起源于方形，方形最终归于圆形，天文学的计算方法，都离不开这个道理。
友钦先生对历法原理讲解得特别透彻，尤其对《授时历》的理解非常深刻，他还把自己的学问传给了龙游人朱晖。元朝时期，那些不是历官却精通历法的人，只有友钦先生一位而已。“要之，方为数之始，圆为数之终，圆始于方，方终于圆，周髀之术无出于此矣。”
