△大統曆法一上〔法原〕
造曆者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如《太初》之起數鐘律、《大衍》之造端蓍策，皆詳本誌。《授時曆》以測算術為宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。《元史》漫無採擷，僅存李謙之《議祿》《曆經》之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據《大統因通軌》及《曆草》諸書，稍為編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望、曰弧矢割圓、曰黃赤道差、曰黃赤道內外度、曰白道交周、曰日月五星平立定三差、曰里差刻漏。
北京立四丈表，冬至日午正，測得景辰七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，為半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分，為股，乃本地支戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一下七分六十六秒，為日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒，為句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，為日出地半弧弦。
以二至日度相並，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，為北京北極出地度。
周天经一百二十一度七十五分少。（少不用。）半径六十零度八十七分半。（又为黄赤道大弦。）二至黄赤道内外半弧背二十四度。（所测就整。）二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。（半径内减去矢度之数。）
割圆求矢术。置半弧背度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以减下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、從廉相並，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、從廉相並，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。（黃赤道同用。）
如以半弧背一度求矢度。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧背幕。置周天径一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一萬四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零萬四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零萬四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二秒得一分六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零萬四千四百六十七度七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四（不足一秒，葉不用，下同）。
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凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以為黃赤相求及其內外度之根。（數詳後。）求黃赤道各度下赤道積度術。置周天半徑內減去黃道矢度，余為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之（大股見割圓）為實。黃赤道大弦（半徑）為法。實如法而一，為黃赤道小股。置黃道矢自乘為實，以周天全徑為法，實如法而一，為黃道半背弦差。以差去減黃赤道積度（即黃道半弧背），余為黃道半弧背。置黃赤道半弧弦自之為股幕，黃赤道小股自之為句幕，二幕並之，以開平方法除之，為赤道小弦。置黃赤道半弧弦，以周天半徑（亦為赤道大弦）乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道半弧弦。置黃赤道小股（亦為赤道橫小句），以赤道大弦（即半徑）乘之為實，以赤道小弦為法而一，為赤道橫大句。以減半徑，余為赤道磺弧矢。橫弧矢自之為實，以全徑為法而一，為赤道半背弦差。以差加赤道半弧，為赤道積度。
如黃道半弧背一度，求赤道積度。術曰：「置半徑六十零度八十七分五十秒，（即黃赤道大弦。）內減黃道矢八十二秒餘六十零度八六六八，為黃赤道小弦。置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四為實；以黃赤道大弦六十零度八七五為法，實如法而一，得五十六度零一分九十二秒，為黃赤道小股。（又為赤道小句。）置矢度八十二秒自之，得六十七微；以全徑一百二十一度七五為法，除之得五十五纖，為黃道平半背弦差。置黃道半弧弦一度，內減黃道半背弦差，餘為半弧弦；因其差值小於微，故取一度為半弧弦。置黃道半弧弦一度自之，得一度為股幕。黃赤道小股五十六度零一九二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四為句幕。二幕並得三千一百三十九度一五零七六八六四為弦實，平方開之，得五十六度零二八一，為赤道小弦。置黃道半弧弦一度，以半徑（即赤道大弦）乘之，得六十零度八七五為實；以赤道小股五十六度零二八一為法除之，得一度零八分六十五秒，為赤道半弧弦。置黃赤道小股五十六度零一九二，（又為赤道小句。）以赤道大弦（半徑）六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八為實；以赤道小弦為法除之，得六十零度八十六分五十三秒，為赤道橫大句。置半徑六十零度八十七分五十秒，內減赤道大句六十零度八十六分五十三秒，餘九十七秒，為赤道橫弧矢。置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微零九；以全徑為法除之，得七十纖，為赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，為赤道積度；今差在微已下不加，即用半弧弦為積度。
凡求得赤道積度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黃道度下赤道積度，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數相同。
（表格略）
（表格略）
按郭守敬創法五端，內一曰黃殺道差，此其根率也。舊法以一百一度相減相乘。《授時》立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其數差，合於渾象之理，視古為密。顧《至元曆經》所載甚略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為率，今正之。
凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背、有弧弦、有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背、有半弧弦、有矢。因弦生矢句股形，以半弧弦為句，矢減半徑之餘為股，半徑為弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦，而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯為密近。
平者為赤道，斜者為黃道。因二至黃赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。
外大圓為赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
按舊史無圖，然表亦屬於圖之類。今句股割圓弧矢之法，實為曆家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。
推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。置半徑內減去赤道小弦，余為赤道二弦差，亦即黃赤道小弧矢、內外矢、股弦差。置半徑內外減去黃道矢度，余為黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦乘之為實，以黃赤道大弦為法，除之為黃赤道小弧弦，亦即黃赤道內外半弧弦、黃赤道小句。置黃赤道小弧矢自之，亦即赤道二弦差，以全徑除之，為半背弦差。以差加黃赤道小弧弦為黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈天限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。
如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。術曰：「置半徑六十零度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，為黃赤道小弧矢。（即內外矢。）置半徑六十零度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十三度三十零分六十八秒，為黃赤道小弦。將黃赤道小弦乘以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分，得一千零五十零度五十一分四二三八為實，以黃赤道大弦六十零度八七五為法除之，得一十七度二十五分十九秒為黃赤道小弧弦。（即內外半弧弦。）置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒以此為實，以全圓徑一百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒為背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，為二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，為冬至後四十四度太陽去北極度。（表格略）
推白赤道正交，距黃赤道正交極數。術曰： 「置實測白道出入黃道內外六度為半徑弧弦、又為大圓弧矢、又為股弦差。置半徑六十零度八七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分為股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分為大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又為小句；又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大句。以大句為法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分（約）為度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，為容半長。置半徑六十零度八七五為大弦，以乘小句五度七十分為實，以大句二十三度七十一分為法除之，得一十四度六十三分為小弦，又為白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。依法求行半弧背一十四度六十六分，為白赤道正交距黃赤道正交極數。 「月道距差圖」
