话说这天文学里的推算历法，一开始比较粗糙，后来慢慢精确起来了。西方的那些新方法，到了明朝末年才传到中国，到了清朝，中西方的知识就汇集到一起了，最终达到了一个高峰。康熙皇帝聪明绝顶，又特别喜欢研究天文历法，对这方面的东西理解得非常透彻。当时好多人都跟着他学习，学习天文历法的人越来越多，一个接一个，络绎不绝。
两百年来，推算历法的技术越来越精湛，不仅克服了古代天文学的不足，还弥补了西方天文学的一些缺陷。嘉庆年间，阮元写了《畴人传》，后来还有人继续补充完善，这在唐宋以来，可算是天文历法研究最兴盛的时期了。现在我呢，就挑一些特别有名的天文学家写出来，那些在政府里做官的，或者在文学方面有成就的，我会把他们的政绩和文学作品也记录在传记里，还有那些在钦天监做官的西方人，官职都挺高的，他们的事迹我也会分别记载，只是不会都一一列举出来。 这些人包括：薛凤祚（杜知耕）、龚士燕、王锡阐（潘柽樟）、方中通（揭暄）、梅文鼎（子以燕、孙瑴成、曾孙钫、弟文鼐、文鼏）、明安图（子新陈际新、张肱）、刘湘煃、王元启、朱鸿、博启、许如兰。
薛凤祚，字仪甫，是淄川人。他从小就学习算术，后来跟着魏文魁学习，一直坚持用传统的计算方法。
在顺治年间，他跟法国人穆尼阁讨论算术，这才开始学习西方的数学，并且把穆尼阁的全部学问都学到手了。之后，他写出了《算学会通正集》十二卷、《考验》二十八卷、《致用》十六卷。他说的“对数比例”，就是西方数学里用近似数来求精确数的一种简便方法；他说的“中法四线”，是把西方的六十分度法改成了古代的百分度法，因为西方六十分度法用十进制不方便。他只列出了正弦、余弦、正切、余切，所以叫做“四线”。
他编写的推算天象的书有：《太阳太阴诸行法原》、《木火土三星经行法原》、《交食法原》、《历年甲子》、《求岁实》、《五星高行》、《交食表》、《经星中星》、《西域回回术》、《西域表》、《今西法选要》、《今西法表》。这些书都结合了中国和西方的计算方法。他以顺治十二年乙未天正冬至为起始点进行计算，一年定为三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微，黄赤道交角的度数有增减，恒星每年运行五十二秒，这和《天步真原》的方法一样。
梅文鼎认为他的书对计算方法讲解得很详细，但是缺乏一些精彩的论述来激发读者的兴趣。这主要是因为当时西方的数学方法刚刚传入中国，中西文字的翻译也比较曲折，所以他的书表达得不够流畅。但是，薛凤祚能够融会贯通中西方的数学知识，毫无疑问是当时一代天文数学家的领军人物。
薛凤祚算出一年秒数是五十七秒，这和奈端的结果一致，但是和穆尼阁算出的四十五秒不同，这足以说明他的学问并非死板地照搬穆尼阁的。也有人批评他过于拘泥于穆尼阁的既成方法，只是按照数字进行推演，缺乏深入的理论探讨。
杜知耕，字端甫，号伯瞿，是柘城的一个举人。他特别擅长几何学，对利玛窦和徐光启翻译的《几何原本》进行了深入研究，还自己删减修改，写了一本叫《几何论》的书，大概有七卷，后面还附上了十条他自己总结的结论。书里说的方法好像在《几何原本》里没见过，但其实道理都包含在书里的各个题目里，他并没有另辟蹊径提出什么全新的理论。之所以说是“后附”，是为了跟丁氏和利氏增补的题目区分开来。他还广泛收集各家算学的知识，结合西方的理论，按照古代的《九章算术》的章节顺序，写了一本叫《数学钥》的书，一共六卷。书里说，数字如果没有图示就难以理解，图示如果没有文字说明也难以理解，图中用甲乙等字做标记，是代替具体的数值，所以他的书对图解特别详细。数学家梅文鼎评价说他的书对《九章算术》的图注讲解很到位。
龚士燕，字武任，是武进人。他从小就聪明过人，能写会作，研究理学，同时还精通算术。他改进完善了蔡氏律吕的新书，推演了黄钟的圆周直径、开方密率等计算方法，对元朝太史郭守敬的授时术尤其精通。比如计算冬至的时刻，他可以往前推算一百年，加一个特定的数值，因为一年是三百六十五日二十四刻二十五分，一百年里这个数值会有细微的增减。他根据春秋时期记载的三十七次日食事件进行验证，发现很多都符合他的计算结果。他又研究了推算农历每月晦日、朔日、上弦月和下弦月的时刻，他把太阳运行的盈亏和月亮运行的快慢结合起来计算：太阳运行盈余的部分和月亮运行迟缓的部分相加，称为“同名相从”；太阳运行盈余的部分和月亮运行快速的部分相减，称为“异名相消”。这样就能把太阳和月亮运行的盈亏快慢转化成加减时间的差值。然后，把这个差值加减到朔、弦、望的余分上，就能确定朔日、弦日、望日的准确时刻。郭守敬创立了平、立、定三差来计算太阳和月亮运行的盈亏快慢，道理深奥，数字复杂，龚士燕能够理解其中的原理，并用图解的方法把它解释清楚。
好家伙，这说的都是些天文计算的事儿。比如说，怎么把赤道坐标换算成黄道坐标，这方法是：在冬至或夏至的时候，用10865这个数字除以赤道坐标，就能得到黄道坐标；在春分或秋分的时候，就用这个数字乘以赤道坐标。总之，这些计算授时的方法，越解释越清楚。其他的像月亮、五星之类的计算方法，跟回回（穆斯林）和西方的算法比起来，遇到什么难题，他都能搞明白。就连太阳、月亮的大小，日食月食的程度，他都研究得透彻。他还领悟了唐顺之关于弧长和弦长的计算方法，用来推算月亮进出黄道的轨迹，出入黄道的位置，不会超过六度。总之，所有关于七政（日月五星及木星、土星）、节气、朔望、日食月食这些问题，他都能按照方法推算，准确率百分百。
康熙六年，朝廷下令招募全国懂天文计算的人才，他就进京了。当时钦天监用的大统历计算七政的运行，跟实际观测结果对不上，皇上就下令在观象台每天进行观测，结果发现金星的计算误差竟然达到十度！于是他就修改了古代的算法，根据七年来的观测数据推算太阳的盈亏变化，又根据每天观测到的五星运行速度，研究它们的快慢。他反复推算，修正各种计算方法，把气、闰、转、交（节气、闰月、行星运行周期、日月食）这些计算结果都跟实际观测结果对上了。他的方法其实也是继承了郭守敬的思想：用太阳的运行来推算节气，用月亮绕地球一周的时间来推算朔望，日月地球运行到同一直线上来推算日食月食，把气、闰月这些零零碎碎的计算结果综合起来推算闰月，此外还有金木水火土五星聚在一起的现象来推算五星的运行。
修改了这些计算方法之后，他以顺治元年甲申年为起始年，以此来纪念世祖章皇帝统治中原的盛世，钦天监把这个新的计算方法叫做“改应法”。他不光修改了节气、闰月、行星运行周期、日月食的计算方法，还修改了行星运行速度的快慢以及误差的计算方法，还修改了冬至时太阳在黄道上的位置的计算方法。修改之后，太阳盈亏的计算没有误差，日食的发生时间也没有误差，所有计算结果都跟实际观测结果相符。钦天监的官员们都上书推荐他。康熙八年，他的历法书完成了，他在武英殿向皇帝汇报，之后被授予历科博士的职位。当时朝廷也引进了西方的传教士南怀仁等人，他们的观测方法又快又准，所以最终采用了西方的历法，古代的历法最终没能被采用。
话说这位学者，十年后因为生病回到了家乡，写了两本书：《象纬考》和《历言大略》。可惜的是，他关于天体论的著作，以及关于日食、月食、朔日、行星等等的论著，都失传了。
接下来要讲的是王锡阐先生，字晓庵，是苏州吴江人。他精通中西天文历法，自创一套新方法，用来推算日食和月食，精确到毫秒不差。每当天气晴朗，他就爬上屋顶，躺在屋脊兽（鸱吻）上观察星象，整夜不眠。他写了一本书叫《晓庵新法》，共六卷。书里写道：“炎帝的八节历法，是历法的开端，但他的著作已经失传了。黄帝、虞、夏、殷、周、鲁这七种历法，前人认为是伪造的。现在这七种历法都还存在，大体上和汉朝的历法相似，但是关于章蔀、气朔这些内容，我们还没看到真正的资料，很可能是汉朝人伪造的。太初历和三统历，方法虽然粗糙，但开创的功绩不可磨灭。刘洪、姜岌等人陆续对历法进行阐明，何承天、祖冲之则致力于改进圭表，使历法更加精确。从那时起，南北朝的历法学家们都勤奋好学，深入思考，做了很多推论，这些都不是浅显易懂的。唐朝的《大衍历》稍微精确一些，但是开元甲子年应该发生日食却没有发生，一行和尚却为此写了讨好的文章来解释，这怎么能行呢？难道不应该根据误差来改进吗？”
王锡阐先生还在书中写道：“明朝初期，元统年间制定的《大统历》，沿用了郭守敬的方法，只做了一些细微的增减，不到百分之一。难道郭守敬的方法真的就能超过前人吗？郭守敬研究历法，首先重视测日影，我曾经取用他的圭表数据，反复计算，前后结果却互相矛盾。我所创立和修改的方法，很多都不是很精确。当时就已经出现过推算日食月食失败的情况，更何况现在古籍散失，方法的意图也无从考证。再加上时间久远，数字积累的误差越来越大，与天象越来越不符，怎么能继续沿用不变呢？元朝的水平不如郭守敬，朝廷的官员们，又不如元朝，最终导致明朝的大典沿袭了陈旧错误的方法。虽然李德芳极力反对，但他不能进行推理论证，只是坚持陈旧的说法，无法取胜，真是令人惋叹！”
话说，明朝万历年间，有个西方人叫利玛窦来到中国，他很擅长天文历法。到了崇祯年头，皇帝让礼部官员徐光启翻译他的书，书名是《历指》和《历表》，一共一百多卷，费了好几年才翻译完，然后就流行开了，研究历法的都把它奉为圭臬。
我觉得西方的历法不错，用来预测天气很精准，但这并不意味着他们完全理解其中的道理。顺着他们的方法去研究，可以；但盲目接受他们的错误而不去辨别，就不对了。举个例子：二分（春分、秋分）是春秋两季气候平均的时候；二至（冬至、夏至）是太阳运行到最南、最北的时候。中国历法用平均气候来确定节气，用盈亏来确定太阳的运行位置。西方人用的是固定气候，所以他们把节气和正气混为一谈，因此批评中国历法节气相差达两天。其实，中国历法岁差计算比较粗略，盈亏计算也比较多，难免会有误差。但这两天的差异，是因为节气和正气是不同的概念，并不是因为他们不知道太阳运行速度不均匀造成的。这《历指》直接就批评中国历法，不明白两者道理其实是一样的。
各个朝代的历法，都会有积累多年的日法，多寡随意，牵强附会。祖冲之摒弃了积累多年的方法，从辛巳年重新开始计算，抛弃了日法，用万分之一来计算，这眼光真是独到！西历计算一天用1440分（24小时×60分），这其实也是用了日法。至于刻（更小的计时单位），西历里没有。后来，人们每时四分，一天就成了96刻。他们先算出度数再算天数，还没觉得麻烦，要是用在中国历法上，就太复杂了。他们坚持西方的算法，反而说中国历法的百刻不实用，这是为什么呢？再说，日食时间差的96法，和一天96刻有什么关系？他们却拿来当证据，不明白这其中的道理，这是其二。
天体运行，最初并没有度数可言，古人把一天太阳运行的距离定为一度，太阳运行速度有快有慢，用平均速度来计算，这个数是符合天道的，不能随意更改。西方人把周天365.25度减去5度多，变成360度，只是为了方便计算圆周，难道天道本来就是360度吗？他们盲目跟风，非要说中国的日度不对，难道他们知道360度才是天道本来的度数吗？这是其三。
上古时期安排闰年，总是在年末，因为当时的历法比较粗糙，是根据年数来安排闰年的。中古时期，历法越来越精密，开始根据月份来安排闰年，闰年安排在一年结束的时候，所以用中气（每月太阳到达黄经15°的时刻）来确定月份，没有中气的月份就是闰月。大统历只用平均气候，安排闰年一定在某个月份；新法用固定气候，就可能出现一个月有两个中气，一年有两个闰月的情况，比如辛丑年的西历，不是很乱吗！一个月没有平均中气，说明是积累的余数的结束；没有固定中气，就不是那个月。他们不能虚心深入研究，却用粗糙的习惯，夸耀支离破碎的学问，所以，到了年尾，节气还滞留在上个月；冬至的中气，已经进入仲冬；立春的中气，快到腊月底了。他们不得不把朔日（每月初一）推后一天来应付，也可见其技穷了，这是其四。
天正（太阳运行的起始点）日躔（太阳的运行轨迹），本来是从子半（子时的一半）开始的，后来因为岁差，从丑时到寅时。至于合神（占星术语）的说法，是算命先生的胡说八道，明白道理的人不会这么说。西方人自称是历法的权威，怎么反而被这种说法迷惑，认为天正日躔是从丑初（丑时的开始）开始的呢？况且十二次（古代天文学中的十二个区域）的命名，都是根据星象，随着节气变化而变化，虽然子午（子午线）在不同地方不一样，难道玄枵（二十八宿之一）和鸟咮（二十八宿之一）就没有固定的位置吗？这是其五。
岁差的增长和减少，始于《统天历》，郭守敬用过它，但不知道为什么该用它；元代人抛弃了它，也不知道为什么该抛弃它。西方人知道用太阳运行最高点来计算，却不知道用两个轨道远近来计算，只得到一个方面，而忽略了另一个方面。这是需要辨别的第一点。
岁差是不均匀的，一定是由于天体运行速度快慢不同造成的，现在却想把它归结为偶然的误差，难道以前那些历法学家都胡乱编造的吗？黄道（太阳运行的轨道）和白道（月亮运行的轨道）的距离不同，导致交点（黄道和白道相交的点）进退；黄道和赤道（地球赤道在天球上的投影）的距离不同，导致岁差的屈伸，道理是一样的。《历指》已经解释了月亮，为什么对太阳就含糊不清呢？这是需要辨别第二点。
太阳运行的盈亏和最高点，古今不同，凭空臆测，一定会有固定的数值。不仅日月星辰的运行应该相同，即使运行速度稍有差异，也不是毕生所能测量的。西方人总夸耀他们几千年来人才辈出，为什么也没有定论呢？这是需要辨别第三点。
日月距离地球的远近和视直径（从地球上看到的日月大小），应该成反比，也就是距离远，视直径小；距离近，视直径大。西方的算法，太阳距离远近差异大，视直径差异小；月亮距离远近差异小，视直径差异大。从数字推导道理，很难理解其通顺之处。这是需要辨别第四点。
日食的偏差，关键在于交点（黄道和白道相交的点），太阳运行轨道的交点和月亮运行轨道的交点不一样；月亮在白道上的交点和在黄道上的交点也不一样。《历指》没有详细解释这个道理，《历表》也没有列出具体的数字，难道仅仅用黄道理论就能解释日食的各种变化吗？这是需要辨别第五点。
在中限（日食发生时，太阳和月亮的黄经相差180度）附近，日月视差（从地球上看到的日月位置的差异）有时向东，有时向西；在交广以南（交趾和广南），日月视差有时向南，有时向北。这是视差方向相同和视差方向相反的加减完全不同，《历指》难道是因为这种情况不常见，所以没有讲解吗？万一遇到这种情况，学者们又该如何计算呢？这是需要辨别第六点。
日光照射物体，一定会产生虚影，虚影是光线直径和物体实际直径共同作用的结果。日食时暗影的收缩，道理就在这里。西方人不知道太阳有光线直径，只用实际直径来计算暗影。等到推算结果不符，又减少直径来勉强凑合。
请提供需要翻译的内容。我没有看到任何需要翻译的内容。请您提供文本，我将尽力将其逐句翻译成现代汉语口语，并按照您的要求分段。
话说，有人说过，“语云：‘步历甚难，辨历甚易。’”意思是说，天文历法复杂得很，稍有差错都逃不过检验。不过，就算那些人这么说，其实他们自己也未必能保证完全准确。你看啊，他们算出来的五星经度，有时候会差二十多度；推算星体运行轨迹，有时候也会差几度；要是算日食月食，差的可能就是几刻钟；要是算星体凌犯，差的可能就是好几天！所以说，他们制定的历法没多久就出现很多错误，我对这些历法问题也分析过一些。就拿癸卯年七月十五的日食来说吧，那次日食既没完全食，也没完全不食，这跟没算准日食，或者推算错误有什么区别呢？
一开始翻译西方的历法时，我的想法是取其精华，融入我们自己的历法体系，可不是想把原来的历法全扔掉，完全照搬西方的做法啊，现在搞成这样，真是出乎我的意料。所以，我结合了中西方历法的优点，去其糟粕，加入了自己的想法，写了六篇关于历法的文章。里面既有对一些事情的解释说明，也有对一些事情的改正，还有一些新的发现和补充，以及一些新的立法。至于旧历法，虽然有错误，但也不能一下子全推翻，所以我就保留了一些；有些道理虽然能理解，但几千年来都没能算准的，我就直接略过了；有些虽然算准了，但都是根据古代的观测数据推算出来的，没有亲眼验证过，我就另写了一篇补遗，正文还是沿用原来的说法。
总共写了一百多天，写了上万字，不敢说自己完全掌握了历法的精髓，但希望能为初学者提供一些帮助。
咱们先说说这套方法是怎么算的。它用百分法来算度数，一天算一百刻。整个天球呢，是三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纤。 内外准分是三十九分九十一秒四十九微，次准是九十一分六十八秒八十六微，黄道岁差是一分四十三秒七十三微二十六纤。
接下来是列宿的经纬度坐标。角宿，经度是十度七十三分七十九秒，纬度是南二度一分二十三秒；亢宿，经度是十度八十二分二十四秒，纬度是北三度一分一秒；氐宿，经度是十八度一十六分一十四秒，纬度是北四十三分九十六秒；房宿，经度是四度八十三分六十三秒，纬度是南五度四十六分一十九秒；心宿，经度是七度六十六分二秒，纬度是南三度九十七分三十八秒；尾宿，经度是十五度八十二分七十八秒，纬度是南十五度二十一分九十秒；箕宿，经度是九度四十六分九十六秒，纬度是南六度五十九分四十九秒；南斗，经度是二十四度一十九分八十二秒，纬度是南三度八十八分九十三秒；牵牛星，经度是七度七十九分五十五秒，纬度是北四度七十五分一十七秒；婺女星，经度是十一度八十二分二秒，纬度是北八度二十分五十九秒；虚宿，经度是十度一十二分九十一秒，纬度是北八度八十二分七十秒；危宿，经度是二十度四十一分四秒，纬度是北十度八十五分六十二秒；营室，经度是十五度九十二分二十秒，纬度是北十度七十一分七十一秒。 这些都是精确到秒、微、纤的数值。
一开始，王锡阐的新的历法还没完成，他就先写了六篇关于历法的文章，还有一篇历法策略的文章，他的理论非常精妙，和新的历法互相补充说明。他还把中国和西方的计算方法融合起来，写了一本叫《大统西历启蒙》的书。丁未年，他根据大统历法写了《丁未历稿》。辛酉年八月初一发生日食，他用中国方法、西方方法和自己创立的方法分别预先计算了日食发生的时间，精确到秒。到了那一天，他和徐发等人一起用五种不同的方法观测日食，只有他的方法计算结果完全准确，于是他就写了《推步交朔测小记》这篇文章。他还认为研究历法最重要的是圆周的分割，所以写了《圜解》。观测天象需要借助仪器，他就自己制作了三种日晷，用来观测太阳、月亮和星星，并写了《三辰晷志》记录观测结果。他能够深入研究天文历法的奥秘，弥补了西方学者的一些不足。他和同时代的青州人薛凤祚齐名，人们称他们为“南王北薛”。他的《历策》里写道：“每逢日月交会，我都要用自己推算和观测的结果进行比较，看看是否疏密得当，无论刮风下雨、酷暑严寒，我都坚持对周天、交食、增损、经纬、迟疾等各种参数进行调整，这么多年来，我已经坚持了三十年了。”从这段话，我们就能看出他进行实测的努力和投入。
他研究天文历法非常深入，达到了很高的水平，填补了西方学者的一些不足之处。他和同时代的青州人薛凤祚名气相当，被人们并称为“南王北薛”。 他的《历策》里有一句话：“每遇交会，必以所步、所测课较疏密，疾病寒暑无间，变周、改应、增损、经纬、迟疾诸率，于兹三十年所。” 这句话足以说明他为了天文历法研究付出了多少心血和努力。
潘柽樟，字力田，和王锡阐是老乡，关系很好。王锡阐曾经住在潘柽樟家里，两个人一起研究算法，经常讨论到深夜。潘柽樟写了一篇关于辛丑年历法的文章，叫做《辛丑历辨》，里面写道：“古代尧帝命令羲和制定历法，用闰月来调整四季，使一年完整，这说明历法一开始就重视闰月。而《春秋》里说：‘先王制定历法，在开始的时候要遵循规律，在中间要保持准确，在结束的时候要处理好剩余。’所谓的‘开始’，是指根据气朔分齐来确定历法的起始点；所谓的‘中间’，是指用中气来确定月份，如果没有中气就闰月；所谓的‘结束’，是指积累气数的盈虚来决定是否闰月。从汉朝以来，历法虽然多次变化，但都没有改变这个基本原则。只有西域的历法不一样，它有闰年、闰日，却没有闰月。这是因为中国历法主要根据太阳运行来确定，而西历主要根据地球绕太阳运行的度数来确定，两者不能强求一致。现在采用西历的人，是用太阳运行来确定节气和闰月，这不仅完全废弃了中国的传统方法，而且也违背了西域历法的本意。所以十几年来，宫度混乱，节气也错乱。比如戊子年的闰三月，却放在了四月；庚寅年的闰十一月，却放在了第二年的二月；癸巳年的闰七月，却放在了六月；己亥年的闰正月，却放在了三月。这些错误，真是说不完！如果不是精通历法的人，很难指出这些错误。至于辛丑年的闰月，它的错误就更加明显，无法解释了。为什么呢？闰法应该根据平气来决定，而不是根据定气。如果根据平气，那么小雪在十月最后一天，冬至在十一月第一天，闰月应该在这两个月之间。所谓闰月之前的月中气在月末，闰月之后的月中气在月初。如果根据定气，秋分在九月初一，所以提前在七月初一闰月，这样秋分还在八月，霜降、小雪也都在各自的月份。但是大寒的定气在十一月初一，而十二月又没有中气，不能再闰月了，这就出现了一个月既没有中气，又可能闰月也可能不闰月的情况。他们说太阳运行不到交宫就闰月，为什么偏偏在这里违背了自己的原则呢？因为孟秋不是‘归余于终’，所以天正不能‘履端于始’，地正不能‘举正于中’。这样一来，四季不定，一年不成，闰法还有什么用呢？再说壬寅年正月，旧历法在丙子丑初，西历法也在丙子子正，那么辛丑年的季冬应该大尽，而明年正月中气又移到今年的最后一天。他们自己也觉得不对劲，所以把岁首提前到乙亥年，把季冬定为小尽之月，这都是欲盖弥彰罢了。按照西历法推算，辛丑年的岁首应该在亥正，但现在却在戌正，相差六刻，其他的矛盾之处就更多了，难以一一列举。唉！制定历法如此草率，还自以为尽善尽美，怎么可能呢？他们的理论是用太阳运行的盈缩来决定节气的长短，每当太阳运行到最盈的时候，一个月就可以有一个节气，这和古人说的气盈、朔虚不一样，现在又有了气虚、朔盈。有时候晦朔两个节气之间夹着一个中气。比如丙戌年仲冬，离闰月比较远，还可以不考虑；但是辛丑年仲冬，冬至、大寒都在晦朔，离闰月最近，进退都没有依据。这样凑合着来，弊端太多了。闰法本来是根据平气来制定的，已经沿用了几千年了，现在改变了方法，没多久就遇到了问题，到了无法解决的地步，为什么还要频繁地更改呢？”潘柽樟后来因为研究历法而死。他的弟弟潘耒，也精通历法和算术，见于《文苑传》。
方中通，字位伯，是桐城人。他把大家的学说都汇集起来，写了一本书叫《数度衍》，二十四卷，还附录了一卷。书里说：“九章算术里的内容都源于勾股定理，用圆规画圆，用矩画方，用方的面积作为标准。用方的面积推导出圆的面积，这就是勾股定理的用途；少广章，就是关于方和圆面积计算的；方田、商功这两章，都是从少广章推导出来的。方和圆，它们的面积计算方法不一样，所以一开始就会出现误差，而均输章就是用来处理这些误差的，通过借贷来平均误差。均输章也是从差分法推导出来的，而方程术则可以解决更复杂的计算问题。度量衡的标准最初来源于黄钟律，粮食布匹的计量也由此而来，而黄钟律本身也跟方圆的计算有关。”他还说：“古代计算方法是用直径一寸、长六分二百七十一的竹棍做成六角形，作为计算单位，后来有了珠算，古代的这种方法就失传了。西方的笔算、筹算，都源于九九乘法表。尺规作图实际上就是比例规，它可以解决三角形的问题。乘法用筹算最好，除法用笔算最好，加减法用珠算最好，比例问题用尺规最好。”他总结的珠算方法，比如三乘一等于三，四乘一等于四等等，“十”字都用“余”字代替。他的尺规作图方法，是用三尺长的尺子交叉叠加，取数只用一条平分线。
当时广昌的揭暄也精通数学，他和方中通经常一起讨论日、月大小的问题，解释了光线强弱和影子长短的原因，以及古今岁差的不同，需要通过计算来调整。他认为，人一天一夜呼吸一万三千五百次，每一次呼吸，天体都运行十万多里。他们还把讨论的内容另写了一本书，叫做《揭方问答》。
揭暄，字子宣，是广昌人。他写了一本书叫《璇玑遗述》，七卷，又叫《写天新语》。书里说日月东行就像槽里滚动的球一样，而月亮本身的大小是不变的。他还说七曜（日月五星）运行的小圆轨道都是自然形成的，就像盘子里的水旋转形成漩涡一样，因为运行速度快而形成旋转，从而导致了留和逆两种运行现象。他对五星西行、日月盈亏等现象都做了多种解释，说得很有道理。康熙己巳年（公元1689年），他把草稿寄给了梅文鼎，梅文鼎从中摘录了精华部分，编成一卷，称赞他“深明西术，而又别有悟入，其言多古今所未发”。揭暄去世的时候，年纪超过八十岁了。
梅文鼎，字定九，号勿庵，是安徽宣城人。他小时候跟着他爸爸梅士昌和老师罗王宾一起看星星，就能很快明白星星运行的大概规律。
二十七岁那年，他拜竹冠道士倪观湖为师，学习了倪观湖从麻孟旋那里得到的关于天文历法计算的方法，还和他的弟弟梅文鼐、梅文鼏一起学习。没多久，他就弄明白了这套方法的原理，还把其中缺失的部分补上了，写了一本书叫《历学骈枝》，一开始是两卷，后来又增加了，变成了四卷本，他的老师倪观湖对此非常赞赏。
他要是遇到很难读懂的书，就一定要弄明白它的意思，经常废寝忘食。那些残缺不全的书稿，他都亲手抄录整理，哪怕是一个字的差异，他也不敢马虎。很多天文历法方面的专家和学生，还有西域来的学生，都特意来拜访他，向他请教问题，他都详细地解答，毫无保留，希望能够把这些知识分享给所有人。他一生写了八十多种关于天文历法的书。
我读了《元史授时历经》，觉得它方法很好，就写了《元史历经补注》两卷。我又用《授时集古法大成》这本书，参考了七十多家的古代历法，写成了《古今历法通考》七十多卷。
《授时历》用六种方法考证古代冬至，我参考了鲁献公冬至的考证资料，并根据《授时历》的算法进行推算，结果和《授时历》算出来的一模一样，于是我写了《春秋以来冬至考》一卷。元朝西征是在庚午年开始的，这里的“西征”指的是元太祖在庚辰年开始的西征；“庚午元”指的是上元纪年的起始年份。历书上把太祖庚辰年错记为太宗年，其实太宗根本没有庚辰年。还把上元纪年的起始年份错记为庚子年，这样算出来的年份就对不上了。我考证后纠正了这些错误，写了《庚午元算考》一卷。
《授时历》的算法不是其他古代历法能比的，郭守敬写的历法草稿是《授时历》的立法基础，我把它里边精妙的地方挑出来，写了《郭太史历草补注》两卷。《大统立成》这本书里有些地方我理解不了，不敢乱用，所以写了《大统立成注》两卷。《授时历》在计算太阳运行的盈亏和月亮运行的快慢时，都用到了垛积招差法，而《九章算术》等书里却没有这种方法，以前也没人能解释清楚它的道理，所以我写了《平立定三差详说》一卷，算是对古代方法的一个解释。
唐代的九执法是西方历法的先驱，后来又出现了婆罗门历法的十一曜经和都聿利斯经，这些都属于九执法的范畴。元代有札马鲁丁的西域万年历，明代有马沙亦黑、马哈麻的回回历和西域天文书，天顺年间具琳刻印的天文实用书，都是基于这些书，所以我写了《回回历补注》三卷、《西域天文书补注》两卷、《三十杂星考》一卷。
日影的长度变化取决于太阳在日轨上的高度，而日轨又因为地球半径的不同而发生变化，所以我写了《四省表景立成》一卷。《周髀算经》里讲到的地球半径的算法，其实就是西方人的说法，所以我写了《周髀算经补注》一卷。浑盖仪这种天文仪器，最方便进行天文观测，所以我写了《浑盖通测宪图说订补》一卷。西方把太阳在黄道上运行30度作为一个月，所以我写了《西国日月考》一卷。西方历法中有《七政细草》这本书，它相当于《授时历》的《授时历草》，我把它重要的内容概括出来并作了注释，写成了《七政细草补注》三卷。
新法历书中有《交食蒙求》和《七政蒙引》两本书，现在已经失传了，所以我写了《交食蒙求订补》两卷，并附带了一些说明。监正杨光先画的日食图，把金环日食和日食食甚分成了两幅图，而且各有时刻，这误差可不小，所以我写了《交食作图法订误》一卷。新法用黄道来计算赤道上的交食，而《七政细草》用的是《仪象志》里的表格，不如用球面三角法更方便，所以我写了《求赤道宿度法》一卷。
中西方计算交食发生和结束方位的方法，都是用东西南北来表示。但是，只有当日月运行到子午圈附近并且接近天顶时，东西南北的方位才准确。如果不是这种情况，黄道的倾斜程度就会不一样，从日食开始到结束所经历的时间，以及弧度的变化方向，都会时刻变化。而且北极星的高度也不一样，不同地点看到的景象肯定也不一样，所以很难用于实际观测。所以我另立了一种新方法，不用东西南北的方位，而是根据人们看到的日月圆面的位置，把方位分成八个方向，以正对着天顶的方向为上，对着地平线的方向为下，上下连起来是一条直线，再画一条与之垂直的横线，分别命名为左、右，这就是四个主要方向；再分别命名为上左、上右、下左、下右，这就是四个次要方向。这样就能确定日食发生的位置，一目了然，所以我写了《交食管见》一卷。
太阳有日差，就像月亮的交食有加减时一样，因为以前的解释含糊不清，甚至有错误，所以我写了《日差原理》一卷。火星是最难计算的，只有到了近日点时才比较精确，我解释了它的计算方法的原理，写了《火纬图法》一卷。订正火纬表的时候，顺便也涉及到了七政的计算，所以我写了《七政前均简法》一卷。《天问》书里引用的纬度不准确，而表格却采用了错误的纬度，所以我写了《黄赤距纬图辨》一卷。新法中帝星和句陈星的经纬度在不同的版本中不一样，所以我写了《帝星句陈经纬考异》一卷。测量帝星和句陈星是确定夜晚时间的简便方法，所以我写了《星轨真度》一卷。以上这些书，都是为了解释新法历书，或者纠正错误，或者补充不足。
康熙己未年，《明史》开始编撰，历志这一部分由杭州的吴任臣负责修订。后来经过嘉禾的徐善、北平的刘献廷、毗陵的杨文言等人增补修改，最后交给了黄宗羲，又交给了文鼎。文鼎仔细校对，发现了五十多处错误，并用算草、通轨等方法进行了补充完善，最终完成了《明史历志拟稿》一卷。虽然说是为大统而作，但实际上是为了阐明授时之法的奥妙，并补充《元史》的不足之处。这部书的总目分为三部分：法原、立成、推步。其中“法原”又细分为七个部分：句股测望、弧天割圜、黄赤道差、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。“立成”部分有四个部分：太阳盈缩、太阴迟疾、昼夜刻、五星盈缩。“推步”部分有六个部分：气朔、日躔、月离、中星、交食、五星。
此外，他还撰写了《历志赘言》一卷，大意是说：明朝采用大统历法，实际上就是授时历法，应该详细补充《元史》中没有记载的内容，以完善其不足之处。回回历沿用了三百多年，其方法也应该详细记载。郑世子所学的历法已经呈献朝廷，也应该详细描述。其他像袁黄的历法新书，唐顺之、周学述的回历会通，以及类似庚午元历的例子，都应该附录进去。西洋历法现在正在使用，但崇祯朝徐光启、李之藻等人测验改宪的功绩不能被遗忘，也应该详细记载其缘起。
己巳年，我到了京城，去拜访李光地在住所，对他说：“历法到了我们朝代已经很完善了，但是那些读书人却像面对大海一样茫然无措，没有通俗易懂的讲解来激发他们的兴趣。最好仿照元朝赵友钦《革象新书》的体例，编写一本简明扼要的书，让每个人都能入门，这样学习历法的人就会多起来，这门学问也就能大放异彩了。”于是，他写成了《历学疑问》三卷。
皇上南巡的时候，路过德州，下令把刻好的书拿回去给他看。当时情况紧急，我还没来得及带，就赶紧把刚刻好的《历学疑问》呈了上去。皇上说：“朕多年来一直很关注历法，这事儿朕能判断对错，先留着看看再给你。”两天后，皇上召见了我，说：“你呈上来的书，写得很仔细，而且观点也很公正，可见你下了很大的功夫，朕带回宫里仔细看看。” 我请求皇上能亲自批注修改，皇上答应了。
第二年春天，皇上再次南巡，在行宫把书还给了我，并当面告诉我：“朕已经仔细看过了。”书上圈圈点点，涂涂抹抹，还有批注，都是皇上亲笔写的。我又请皇上指点书中错误的地方，皇上说：“没有错误，只是算法还不够完善。”因为我的书还没写完，所以皇上这样说。
没过多久，皇上西巡，询问隐居的学者，我推荐了关中的李颙、河南的张沐和文鼎三位先生。皇上早就听说过李颙和文鼎，乙酉年二月，皇上南巡，我作为随行的官员，皇上问我：“宣城隐士梅文鼎在哪里？”我说：“还在我的住所。”皇上说：“朕回宫的时候，你带他一起来，朕要亲自见见他。”四月十九日，我和文鼎在河边迎接皇上，第二天早晨，我们都被召到了御舟上，皇上与我们促膝长谈，足足谈了好几个小时，这样持续了三天。皇上对我说：“历法和算法，朕最关注，现在懂这方面的人很少了，像文鼎这样的人才，真是少见啊！他也是位雅士，可惜年纪大了！” 皇上连续几天都赏赐御书扇和美食。临别时，皇上还特地赐给我“绩学参微”四个大字。第二年，皇上又让我孙子瑴成进宫学习。
五十三年的時候，皇上给我孙子瑴成下旨说：“你祖父多年来潜心研究律历，把《律吕正义》寄一本给他，让他看看，如果有错误的地方，指出来更好。古代帝王有‘都俞吁咈’四个字，后来就只剩下‘都俞’了，即使是朋友之间，也不喜欢别人劝谏，这都是私心作祟。你们一定要努力克服这种毛病，这样学问才能进步。把这些话也告诉你祖父。”皇上的恩宠，是古时候从未有过的。
文鼎写了一本书，叫《分天度里》，里面画图说明了全国各地，包括蒙古，东西南北的距离差异。地球是圆的，书里说一度是250里，纬度是这样，但经度离赤道越远，里数就越少。所以，只有东西方向的距离计算方法是固定的；如果路线是斜的，这个方法就不管用了。如果知道两个地方的北极高度和经度差，但不知道它们之间的直线距离，那就相当于知道三角形的两条边和一个角，就能算出第三条边，也就是斜线距离。反过来，如果知道斜线距离，要算经度差，那就是知道三条边求一个角，也能算出经度差。这些计算方法都用的是斜弧三角形，跟古代计算月食经度的方法类似，而且更简单实用。
文鼎对天文测量仪器一看就会，古代的六合仪、三辰仪、四游仪，他都能根据自己的理解做成小模型，而且都准确无误。他还自己设计了月道仪、测日高度的仪器等等，都是独创的。他曾经上过观象台，看过新制的六件天文仪器，还有元朝郭守敬的简仪和明初的浑天仪，他都能指出这些仪器的优缺点，就像自己很熟悉一样。他还写过好几本书，比如《测器考》两卷、《自鸣钟说》一卷、《壶漏考》一卷、《日晷备考》一卷、《赤道提晷》一卷、《勿菴揆日器》一卷、《加时日轨高度表》一卷、《揆日测说》一卷、《璇玑尺解》一卷、《测量定时简法》一卷、《勿庵测望仪式》一卷、《勿庵仰观仪式》一卷、《月道仪式》一卷。
他书里说：“月亮的运行轨道（月道）进出黄道，就像黄道进出赤道一样。古往今来，还没有人专门为月道设计仪器。我现在根据浑天仪‘北密南疏’的原理，以黄极（天球北极）为中心，月道一半在黄极以内，一半在黄极以外，这样就能清楚地说明月球纬度变化的规律，以及交点、中交点、交点前、交点后等概念。这个仪器用铜制作，形状有点像浑天仪，上面那个盘是月道，就像浑天仪天盘上的黄道圈；下面那个盘是黄道经纬网，标有宫度，黄极是中心，边缘以黄纬95度半为界。月道最南可以到达黄道以南5度半。”
李焕斗，礼部郎中，曾经向文鼎先生请教历法，然后写了一篇论文，题目是《答李祠部问历》。后来，沧州一位老学究刘介锡，在天津碰到文鼎先生，也向他请教历法，文鼎先生就写了篇《答刘文学问天象》给他。他还说，自己平时读到一些很难懂的书，都会认真抄写下来，放在箱子里，留着以后有人来请教的时候用。尤其是在历法方面，他积累了很多资料，还专门写了一本书，叫做《思问编》。
他根据纬度测量日影高度，从而得知北极的运用非常广泛。古代只用二至二分来推算，现在则可以每天都进行测量。因为朋友的提问，他又写了一本《七十二候太阳纬度》。潘天成向文鼎先生学习历法，可是对计算方法很苦恼，文鼎先生就写了《写历步历法》教给他。他还给了潘天成一本《时步交食式》，这是文鼎先生的弟弟文鼏写的；以及《步五星式》六卷，这是文鼎先生和他的二弟文鼐一起完成的。
文鼎先生每得到一本书，都会校正其中的错误和缺漏，并指出书中的优缺点。他还写了一本《古历列星距度考》，这本书是从残缺的古籍中整理出来的，记录了普天星宿的入宿去极度数。书中缺失了两颗星，他后来从福建林侗的抄本中补全了这两颗星，并断定这是古代授时的方法。万历年间，利玛窦来到中国，开始传播几何学，用点、线、面、体来进行测量，制作仪器和图表，非常精密。一些学者对此过于推崇，来不及深入研究，就轻视古代的历法，认为不足为观；而坚持旧方法的人，又斥责西方人的方法是奇技淫巧。两种说法互相抵触，造成了隔阂。
文鼎先生把这些资料整理成书，并加以说明，他用筹算、尺规和笔算，逐渐融合中西方法。像三角、比例之类的，本来就不是中国传统方法能完全涵盖的，他就直接把它列出来。而古代的方程算法，也不是西方独有的，他就专门写文章论述，说明古代人的精妙之处不能被埋没。他还专门写了《九数存古》，概括总结了中国古代的数学。最后，他把这些内容都汇集成一本《中西算学通例》。
我一共写了九本书：第一本是《勿庵筹算》七卷，第二本是《笔算》五卷。这两本书都把横式改成了竖式，方便中国人使用。第三本是《度算》一卷，原本没有算例，我弟弟文鼏帮我补充了，并且参考了嘉禾陈荩谟尺算的用法。还有一种矩算，是用一尺见方的木板进行计算，这是文鼎发明的。第四本是《比例数解》四卷，解释了穆尼阁翻译的对数。第五本是《三角法举要》五卷，这本书分为五个部分：测量名义、算例、内容外切、或问、测量。第六本是《方程论》六卷，安溪的李鼎徵在泉州帮我刻印了这本书。第七本是《几何摘要》三卷，我根据原本删繁补遗整理而成。第八本是《句股测量》二卷，我从《周髀算经》和《海岛算经》等书中摘录要点，保留了古代的计算方法。第九本是《九九数存古》十卷，九数就是《九章算术》开篇的方法，这本书里只保留了《九章算术》的目录。后来的作者，都没有超越我的范围。
除了这九本书，我还写了十七本书作为续编：第十一部是《用句股解几何原本之根》一卷。几何原本里没讲句股定理，但它的道理离不开句股定理。所以几何原本最难理解的部分，用句股定理来解释就明白了。只是中线、末线的比例似乎和句股定理的来源不一样，现在我仔细研究了它的立法原理，发现它仍然离不开句股定理，更加相信古代的句股定理包罗万象，无所不包。徐光启翻译的大测表，叫做《割圜句股八线表》，他也是这么认为的。
第十二本是《几何增解数则》，这本书分为四个部分：用直角边和斜边求斜边上的高，切线角与圆内角的相互关系，快速计算不规则四边形的面积，快速作平行线。这些内容都是针对几何原本里的题目补充的，没有编成单独的书，和上一本书合在一起了。第十三本是《仰观覆矩》二卷，一本是根据地平经度计算日出日落方位，一本是根据赤道经度计算日出日落时间，并且根据里差，用弧三角法计算，和历法计算方法略有不同。第十四本是《方员幂积》二卷，历书里把圆周率精确到二十位，但是实际计算的时候，仍然用古率（圆周率约等于22/7）的比例，是不是因为乘除法计算多位数太麻烦呢？我现在用表格列出来，取数就容易多了，我为此制定了一个简便方法，圆的直径和周长之比，就等于正方形和圆形的面积之比，也等于正方体和圆柱体的体积之比，非常简单直接。
梅文鼎先生留下了《丽泽珠玑》一卷，这本书里记录了他和朋友们在数学上的交流，选取了与计算相关的部分。他还著有《算器考》一卷和《数学星槎》一卷。
他的《历学疑问》和《历学疑问补》两卷书，曾经呈献给皇帝过目，内容通俗易懂，是学习计算的标准参考书。梅先生学习非常勤奋，他的同舍刘辉祖曾告诉桐城方苞说：“我每次睡醒，才敲过四五下漏鼓，梅先生就已经点着灯在读书了，这才让我明白自己平时有多浪费时间啊！”在北京的时候，裕亲王非常尊重他，每次都称呼他为“梅先生”，而不直呼其名。李文贞公还让自己的儿子李钟伦拜他为师，就连李文贞公的弟弟和族人都尊称他为老师。徐用锡、陈万策、魏廷珍、王之锐、王兰生等许多人都以能和他一起研究学问为荣。梅先生家里藏书很多，多年来四处游历，手抄的各种书籍不下几万卷。辛丑年，他去世了，享年八十九岁。朝廷听说后，特地派人料理他的后事，当时士人都非常敬佩他。
他的儿子梅以燕，字正谋，康熙癸酉年的举人，在数学方面很有天赋，他创造了一种方法，和加减法原理相同，但方法独特，能够从恒星历表中找出问题，这正如他父亲说的那样，“能帮助我的思考”。可惜他英年早逝。
他的孙子梅瑴成，字玉汝，继承了他父亲的衣钵。梅文鼎曾经怀疑日差有两根，应该列出两张表，梅瑴成就说：“既然已经有了计算朔日的盈亏高低的方法，再用这个方法，岂不是重复了吗？”梅文鼎听了他的话，才明白交食并非是缺损，这就像九岁的童子就能理解《太玄经》一样。梅瑴成是康熙乙未年的进士，后来做了编修，参与修撰国史。他在蒙养斋学习，所以数学越来越精进。皇帝所著的《数理精蕴》、《历象考成》等书，他都参与了编纂。他自己也著有《增删算法统宗》十一卷、《赤水遗珍》一卷、《操缦卮言》一卷。
明朝有个算学家，不懂立天元术，有个叫瑴成的人说，立天元一就是西方方法里的借根方。他解释说：“我以前读《授时历草》找求弦矢的方法，它一开始就用天元一代表矢，李冶写的《测圆海镜》也用天元一立算。但是书稿传抄过程中出现了错误，算式都乱了，很难读懂。明朝的唐荆川和顾箬溪两位先生互相欣赏，都自认为掌握了其中的奥妙。荆川说：‘那些搞数学的写书，常常故意把方法藏起来，显得高深莫测，什么“天元一”啊，“积求之”啊，其实根本不知道是什么意思。’而顾箬溪则说：‘仔细研究《测圆海镜》，比如求城墙直径，就直接用240作为天元，半径就用120作为天元，答案直接就出来了，还用算吗？好像根本不需要立天元。’两位先生的看法就是这样，我觉得顾先生的说法不太对，但是我也解释不清。
后来我进宫当了供奉，皇上康熙帝教给了我借根法，还告诉我：“西方的书叫阿尔热八达，翻译过来就是‘东来法’。”我恭敬地接受并学习了，这个方法太神奇了，真是算法的指南，我暗自觉得天元一的方法跟它很像。我又重新翻看《授时历草》，一下子就明白了，原来名字不一样，但实际上是一样的，不只是相似而已。元朝的数学家写书，朝廷官员编历法，用的都是这个方法。可是后来失传了，幸好外国人很崇拜我们，把这个东西又传了回来。外国人还记得这方法的来源，叫它“东来法”，而明朝人却把它当成多余的东西想扔掉。唉！像唐荆川、顾箬溪两位先生那样好学又爱思考的人，尚且不能理解它的意思，那些见识浅薄、学识不广的人，又有什么好说的呢？
《明史》要编了，瑴成负责天文和历法部分的编写工作，然后给总编写了一封信，信里头说：
“这历法志啊，有一半都是祖宗留下来的老底子，可这东西被改来改去好多遍了，根本就不是原来的样子了，错漏百出。凡是新增、删减或者修改的地方，我都一条条地标注出来了。第一，天文志不应该放在历法志里，我觉得还是单独成册比较好。历法这东西，主要负责授时、安排闰月，计算方法复杂得很，道理也深奥得很，解释起来篇幅很长。而且明朝二百七十多年，历法变动过很多次，编历法的人也不是同一个，这些都得写进志书里。虽然我已经尽力删减了，但篇幅还是很多。如果再把天文志的内容加进去，那可就太冗杂了，不符合史书的编纂规范。从司马迁开始就分开了天文志和历法志，后世一直沿用这个做法，我觉得没必要改。第二，天文志通常记载天体、星座、星宿、天文仪器、分野这些东西，《辽史》里说天象几千年不变，历代的天文志都差不多，这种说法似是而非。虽然天象确实亘古不变，但历代研究天文的学者，他们的理解和认识是有深浅之别的。更何况恒星距离北极星的距离，以及它们在黄道上的位置，还有晨昏时分是否可见，这些都会年年有细微的变化，怎么能说几千年不变呢？我现在打算选取天文家们精妙的论述写进书里；那些不可靠的说法，我打算删掉。”
一位客人问梅子：“史书是用来记载事情的，从来不自己创造新的东西。听说你打算在《时宪志》里用图来说明，这可是二十四史里都没有的，是你自己创造出来的。上面的人应该认为这不合规矩，要把你革职的。你却坚持己见，还一再向上级申诉，难道你忘了韩愈为自己辩解的事吗？我真替你担心啊！”
梅子回答说：“我听说史书最重要的是真实和直接，我本来也不是史官。是总裁说《时宪志》和《天文志》非专家不能完成，没有觉得这很困难就委任了我。既然我无法推辞，就不得不尽职尽责。现在这位客人说以前的史书没有图，就怀疑我创造了新的东西。我认为史书记事，关键在于是否真实，是不是创新并不重要。后来的史书比以前的多了很多内容，汉书的十志，已经不同于以前的八书了。而《后汉书》里的皇后本纪，《魏书》里的释老志，《唐书》里的公主传，《宋史》里的道学传，这些都是以前史书里没有的，为什么就怀疑国史用图是创新呢？再说，你读过《明史》吗？《明史》里关于割圆弧矢、月道距差等图，都详细记载在历志里，为什么《明史》不用图就没人怀疑是创新，却怀疑我呢？”
客人说：“后来的史书比以前的多了内容，肯定是有原因的，像《明史》用图，也有它的道理吧？”
梅子说：“疑则传疑，信则传信，这是《春秋》的原则，写史书的人谁能改变它呢？古代研究历法的有几十家，大多只是增减日法，增加天周，减少岁余，只是为了符合当时的实际情况而已。就连太初历的起数钟律，大衍历的造端蓍策，也都是牵强附会，并没有真正探究天体运行的道理，以及它所以然的原因。本来就没有图，史臣从哪里取得并记载呢？直到元朝郭守敬修订授时历，不用积累多年的日法，完全依靠实测，用勾股定理计算圆的弦矢，于是有了割圆图等载入历草。编写《元史》的时候，不知道引用这些成果，这是宋、王诸公的疏忽。明朝的大统历，实际上就是授时历。本朝纂修《明史》的诸位大臣，认为不用图就无法说明道理，于是就把历草里的图收录进志，他们的见识非常高超。并且经过圣君贤相的鉴定，没有认为不合规矩而把它去掉，让精妙的道理流传下去，这足以开阔后世写史人的胸襟了。至于《时宪志》立法之妙，义理之奥妙，都体现在图中，更不能去掉。如果一定要去掉图才符合规矩，岂不是说《明史》不合规矩，而本朝的制度不足为法吗？再说，你也知道《时宪志》里的图是从哪里来的吧？我们圣祖仁皇帝怜悯这些绝学失传，用心研究探索了四十多年，彻底了解了其中的奥妙，才亲自指导儒臣，绘制图表，阐述千年来不为人知的秘密，这就是《御制历象考成》啊。我亲承圣训，实际上参与了汇编的工作。那些前辈纂修《明史》，尚且不忍心埋没古人的功绩，开创先例把它流传下来。而我作为承袭圣学的臣子，恭敬地记载圣祖的著作，反而担心违背了上司的意思，而迁就迎合，导致圣学不能彰显，误导后学，这还能说是真实的历史吗？不真实的史书，人们可以敷衍塞责，我又何必越俎代庖呢？我反复申诉，不是为了邀功请赏，而是不得已而为之。那么韩愈为自己辩解，也是说他的话是可以停止的了。如果韩愈真的为了讨好求饶以求免罪，那么诤臣的议论，佛骨的表文，又怎么会那样侃侃而谈呢？” 客人连连点头，然后离开了。
请提供需要翻译的内容。我没有看到你需要我翻译的内容。请您提供文本，我会尽力将其逐句翻译成现代汉语口语，并按照您的要求分段。
观象台的仪器，从古到今经历了多次变迁。书上说，齐国重视天文历法，仪象和算术同样重要。没有算术，就无法预测节气，为百姓服务；没有仪象，就无法测量天体的运行，检验推算的准确性，从而改进方法。《尚书》中提到的“璇玑玉衡”，就是古代天文仪器的开端，可惜它的制作方法失传了。汉朝人创造了浑天仪，算是继承了“璇玑玉衡”的遗制，唐宋时期也都仿制过。到了元朝，又有了简仪、仰仪、窥几、景符等仪器，比以前更加精细了。
明朝在齐化门南边城墙上修建了观象台，仿照元朝的样式制造了浑仪、简仪、天体三仪，放在台上。台下还有晷影堂，以及圭表、漏壶等计时器，清朝初年沿用了这些仪器。康熙八年，朝廷下令制造新的仪器，十一年完工后安放在观象台上，旧仪器则被移到其他房间保存。康熙五十四年，西方人纪理安想炫耀自己的本事，想要废除旧法，奏请制造象限仪，把旧仪器当废铜处理了，只剩下明朝仿照元朝制造的浑仪、简仪、天体三仪。新造的象限仪完成后，也放在了观象台上。《明史》记载：嘉靖年间修缮了测风的装置以及简仪、浑仪，设立了四个圭表来测量日影，还设立了运仪、正方案、悬晷、偏晷等仪器，都放在观象台上，主要还是沿用元朝的方法。
我康熙五十二三年间在蒙养斋当编纂官，多次去观象台进行测量。我看到台下遗留的旧仪器很多，其中元朝制造的简仪、仰仪等仪器上，都刻有王珣、郭守敬监造的名字。虽然有些残缺，但看到这些遗物，就能想象到古人创造时的艰辛，不禁肃然起敬。乾隆年间，一些官员受西方人的愚弄，多次想把台下剩下的仪器当废铜送去制造局，幸亏朝廷大臣奏请保存，礼部奉旨查验后，才发现只剩下三件仪器，几乎都是纪理安破坏后剩下的残余。西方人想利用技术来传播他们的教义，所以想方设法消灭古代的方法，让后世无法考证，这样他们就能显得自己独树一帜，居心叵测。而那些官员缺乏见识，不想着保存千分之一，反而帮助他们为非作歹，真是令人痛心！乾隆九年冬天，朝廷下旨把这三件仪器移到紫微殿前，这些古代的器物，总算可以永久保存了。
咱们再来聊聊勾股定理，勾股定理的计算方法，学数学的都特别重视，方法可以说是很详细也很完善了。但是，以前没有人问过勾股面积和勾股弦和的关系是怎么算的。元朝的李冶学士写了《测圆海镜》，用余勾、余股来计算，变化多端，好像机关重重，但也没涉及到这个问题。难道大家都没想过这个问题吗？还是说有方法但是失传了呢？《算法统宗》里虽然有两道题涉及勾股面积和勾股弦和，但那只是碰巧符合勾三股四的特殊情况，不是通用的方法。我以前在蒙养斋闭门思过的时候，编撰了《数理精蕴》，就想制定一个方法来弥补这个不足。一开始我用平方反复推导，都解决不了，想了好多天，最后才用带纵立方的方法求出了勾股的两种计算方法。
他去世的时候，享年八十三岁，谥号文穆。
他的儿子戴钫，字导和，是戴瑴成的第四个儿子。戴瑴成编纂的《丛书辑要》有六十多卷，里面的图都是他画的。他修改整理《算法统宗》里的图，十之七八都是他做的。他二十六岁就去世了。
戴文鼐，字和仲，是戴文鼎的堂弟。他刚开始学习的时候，还没有五星运行的轨迹图，没办法学习天文计算。他和哥哥戴文鼎一起参考《元史·历志》，用三差法推算出五星盈亏的规律，然后进行计算，最终完成了《步五星式》六卷。他英年早逝。
文鼏，字尔素，是文鼎的弟弟。他写了一本书叫《中西经星同异考》，只有一卷。这本书呢，是用三垣二十八宿的星名，按照《步天歌》的顺序，把星星的名字都列出来，然后说明中西方星图里哪些星有，哪些星没有，数量上有什么不同。书里还收录了古歌和西歌。古歌就是咱们中国的《步天歌》，西歌是利玛窦写的《经天该》。至于南极的那些星星，他是根据汤若望的计算书和南怀仁的《仪象志》来考证，补充了一些歌，放在书的最后。
他在这本书的开头写道：“要研究七政（日、月、五星），不先搞清楚恒星的位置，就根本没法下手。所以说‘七政如乘传，恒星其地志也；七政如行棋，恒星其楸局也。’‘恒’的意思是说这些星星自古以来就位置不变；‘经’的意思是指它们不像纬星那样南北移动，‘经’字本身也包含‘恒’的意思。这本书专门研究中西方流传下来的星歌和星名，考证它们数量上的相同和不同之处，所以叫《经星同异考》。
关于星官的记载，从黄帝开始，到重黎、羲和，这些记载天文的资料，说法都乱七八糟的。汉朝的张衡说过：‘内外星官中经常能看到的有一百二十四个，可以命名的有三百二十个，总共有两千五百颗星，那些微小的星星大概有一万一千五百二十颗。’到了三国时期，太史令陈卓才把甘德、石申、巫咸三家关于星星的记载整理出来，一共是二百八十三官，一千四百八十四颗星。从唐朝开始，人们用仪器观测，到了宋朝，天文志里才开始比较详细地说明某颗星距离北极多少度，距离某颗星多少度，这方面的描述才比较详细。这就是中国古代研究星星的情况。
西方的天文学也有很长的历史，根据他们的书里记载，周赧王的时候（丙寅年），做过一次天文观测；汉朝永和年间（戊寅年），也做过一次；明朝嘉靖年间（乙酉年），尼古拉·哥白尼做过一次；万历年间（乙酉年），第谷做过一次；崇祯年间（戊辰年），汤若望做过一次。到了清朝康熙年间（壬子年），南怀仁写了《仪象志》，又根据岁差修正了黄经和赤经。现在呢，我根据南怀仁的《仪象志》里的星表，按照星的大小，把星星分成了六等。一等星有十六颗，二等星有六十八颗，三等星有二百零八颗，四等星有五百十二颗，五等星有三百四十二颗，六等星有七百三十二颗，总共是一千八百七十八颗。至于那些微弱的小星星，就数不清了。这就是西方的天文学。”
文鼏（wén jì）留下了好多年的计算草稿，文鼎（wén dǐng）把它们整理成册，取名为《授时步交食式》一卷。
他还有一些新的几何计算方法，在算书里用比例规来解释，原本没有具体的计算例子，文鼎就自己做了些计算，用上了文鼏补充的部分，并且参考了陈荩谟（chén jìn mó）的尺算方法。
明安图，字静庵，是蒙古正白旗人，当过钦天监监正。他师从康熙皇帝学习数学，参与了《御定历象考成后编》和《御定仪象考成》的修订工作。
后来，明安图接触到西方传教士杜德美的连比例计算圆周率以及求正弦、正矢的方法，觉得这方法非常高深，一时难以理解。于是，他潜心研究了三十多年，最终写成了《割圜密率捷法》四卷。
第一卷叫“步法”，它在杜德美三种方法的基础上，补充创造了用弧背求通弦、求矢的方法。其实原理还是杜德美的，只是多加了一步除法而已。这样一来，加上杜德美的三种方法，总共有九种方法来计算圆周率。其中，他用弦求弧背的方法是这样的：把弦作为连比例的两个率，半径作为另一个率，求得二、四、六、八、十等率。然后，用一、三、五、七、九这五个数字分别平方，得到累次乘数；再用二、三、四、五、六、七、八、九这些数字两两相乘，得到累次除数。先用两个率计算出第一个结果，然后用四个率，把第一个结果的乘数乘上，再用第一个结果的除数除掉，得到第二个结果。以此类推，一直算到结果只有一位小数为止，把这些结果加起来，就是所求的弧背。
用矢求弧背的方法也类似，把正矢的两倍作为连比例的三个率，半径作为另一个率，求得五、七、九、十一等率。用一、二、三、四、五这五个数字分别平方，得到累次乘数；再用三、四、五、六、七、八、九、十这些数字两两相乘，得到累次除数。计算方法和弦求弧背一样，最后算出的结果开平方，就是所求的弧背。通弦求弧背的方法也一样，只是多加一步除法。矢求弧背的方法，则要多加一步除法。他还另外创造了四种方法，分别是用余弧求弦矢，用余弦矢求本弧，以及用借弧与正、余弦互求。
第二卷叫“用法”，主要讲用角度求八线，以及直线、弧线、三角形边角之间的计算方法，一共列举了七个例子。书中说，这种方法比古代的方法精确，是因为它用到了三角形。但是，三角形的计算离不开八线表，而用他的方法，建立八线表就很容易，而且不用表也能算出同样的结果。
第三卷和第四卷叫“法解”，详细解释了弦、矢与弧背之间计算的原理。他的方法首先是用一分弧的通弦求出二分弧的通弦和弧长，然后用一分弧和二分弧的通弦求出三分弧和四分弧的通弦，再用一分弧和三分弧的通弦求出五分弧的通弦。接着，他通过二分弧和五分弧相乘得到十分弧，十分弧自乘得到百分弧，十分弧和百分弧相乘得到千分弧，十分弧和千分弧相乘得到万分弧。然后，他用半径作为第一个率，一分弧通弦作为第二个率，以此类推，求出十、百、千、万等分弧的率数。在用比例求弧背时，需要减去四率的二十四分之一，加上六率的八十分之一，减去八率的一百六十八分之一……以此类推。
书中还解释了这些分数的规律，例如二十四分之一的四分之一是六，是二乘三；八十分之一的四分之一是二十，是四乘五；以此类推。他还解释了用通弦求正矢的方法，以及用正矢求弧背的方法，也都是类似的递推过程。
这本书还没写完，明安图就去世了，后来由他的儿子续写完成。
景臻，字新，是安图的儿子。他靠俸禄生活。安图生病快要不行了，就把自己写的快速计算方法传授给他。景臻遵照父亲的遗嘱，和门下的学生陈际新、张肱一起把书续写完成。
陈际新，字舜五，是宛平的秀才。当过灵台郎，做过监正。他继续完善安图的割圆密率捷法，顺着思路仔细研究，并根据安图生前教他的内容进行补充。直到乾隆甲午年，才最终完成这本书。
刘湘煃，字允恭，是江夏人。他听说梅文鼎在天文历算方面很有名，就卖掉家产，走了上千里的路去拜他为师。他潜心思考，不断领悟，创造了很多东西。梅文鼎非常高兴，说：“刘生好学上进，让我自愧不如！”梅文鼎在给别人的信里写道：“金星、水星的运行规律，历书上说的还不够透彻，听了刘生的解释后，我才明白这两颗星有岁差的道理，这道理是确凿无疑的。”于是，梅文鼎把自己的历法疑问交给刘湘煃讨论，刘湘煃为此写了《订补》三卷。梅文鼎还说，从汉朝、唐朝以来，历法对五星的推算最粗略，所以五星的迟、留、伏、逆都只能靠占卜来推测。直到元朝郭守敬出现，才有了推算五星经度的办法，但纬度方面还很不完善。西方的历法以前也没有纬度，直到地谷（指某种历法）才有了五星的纬度，这已经是在郭守敬之后了。历书有法原、法数，它们是历法的总纲。法原，就是七政（日月五星）和交食的历法原理；法数，就是七政和交食经纬度的表格。所以，历法原理实际上是制作表格的根本。现在历书上记载的金星、水星，如果按照历法原理来制作表格，就会和实际推算出来的表格不符；如果用表格来推算天文现象，却又非常准确。这就说明，虽然历书上有表格和数据，但人们还不知道制作表格的根本原理。”于是，梅文鼎撰写了《五星法象》五卷，梅文鼎非常赞同刘湘煃的观点，并摘录其要点写成《五星纪要》。
刘湘煃还想把浑盖通宪天盘用于安置星宿，他用戊辰历元加上岁差，运用弧三角法，编制了《恒星经纬表根》一卷，以及《月离交均表根》、《黄白距度表根》各一卷，这些都是补充新法中没有的内容。他还著有《论日、月食算稿》各一卷，《各省北极出地图说》一卷，《答全椒吴荀淑历算十问书》一卷。
王元启，字宋贤，号惺斋，是嘉兴人。乾隆辛未年考中了进士，被派去将乐县当县令。他特别钻研律历（历法和音乐）和勾股（几何）方面的学问，写了不少书，已经出版的有《惺斋杂著》。这本书里头，就包括了《史记》、《汉书》的校勘，其中《史记》的校勘，是《律书》、《历书》、《天官书》各一卷；《汉书》的校勘，是《律历志》上下两卷。还没出版的呢，还有《历法记疑》、《句股衍》、《角度衍》、《九章杂论》这些。
要说这其中，《句股衍》这本书，他可是费了大力气把复杂的知识点都解释得特别清楚明白！这本书分甲、乙、丙三集，甲集《术原》三卷，乙集《纲要》二卷，丙集《晰义》四卷。甲集第一卷是总论，讲勾股定理的原理，也就是怎么从面积求出边长的。第二卷专门讲立方，顺便也讲了平方。第三卷专门讲用和数开立方的方法，把各种立方数的变化都讲明白了。乙集这两卷，是把一百二十三条勾股计算方法的要点都总结出来了。丙集这四卷，就是详细解释这百二十三条勾股计算方法，每一条都解释得清清楚楚，重点在于说明这些方法是怎么想出来的。
这篇文章的总序里说：关于勾股弦的计算方法，我综合运用各种方法，总共得到了七十八条公式，用来求解勾股弦之间的关系。此外，我还研究了用幂积求圆面积、正方形面积、长方形面积的方法，以及已知弦长求正方形面积的方法，还有根据勾股求外接正方形、外接圆面积的方法。另外，我还研究了用面积和勾股弦的和差来求正方形面积的方法。总而言之，这些方法加起来一共二十九条。 我还建立了表格来测量，可以用来求高、求远、求深，一共三条公式，用重表法也是一样。以前的算书大多简略，详细的又常常错误百出，没有条理。我曾经努力地把它们区分开来，使它们各归其类，先整理出了113条勾股弦的计算方法。
甲申年仲秋，我又重新整理之前的成果，一条一条地推导计算，比以前的方法更快，但是我还是把旧方法也附在后面，供大家参考。 尤其重要的是，用内接圆面积与弦的和差来求勾股弦的精确数值的方法，以前很少见到，我现在也尝试着总结出一套方法，放在后面。我还另外创造了截弦分段，以及已知一部分勾股求另一部分的方法，一共六条公式，即使不是勾股形的，也能转化成勾股形来计算。还包括了非勾股形求内接圆面积两条公式，以及正方形面积、圆面积四条公式，外切圆直径一条公式，圆内累求勾股六条公式，总共又十九条。这些方法涵盖了西方三角学的计算，也兼顾了割圆术的应用，让学习者能够掌握《周髀算经》中的所有计算方法。以前的人不能触类旁通，穷尽其变化，所以西方的数学方法才能出现并胜过我们，其实西方的数学方法也是来源于《周髀算经》，只不过不能超出勾股弦的范畴而已。
这篇文章的引言里又简略地介绍说：算术中勾股这一章，方法最繁杂，不通过具体的数字来进行计算，很难理解其含义。像《周髀算经》中记载的“勾三股四”只是最基本的例子，除此之外还有很多变例。如果想把所有正例和变例都列出来，在一卷书里就会互相混杂，让读者眼花缭乱，更加混乱。所以，我特意挑选了一些例子，即使不是勾股形的也列举出来，目的是为了穷尽勾股的各种变化，并且涵盖三角形的计算方法。
朋友问我对句股书的看法，我回答说：想要学习句股，首先要学会开方，开方又分正方和纵方。纵方就是用长和宽的和与差来开方。其次，要学习求四率比例的方法，包括三率求四率、二率求三率和一率求三率等方法。掌握了这些，就能知道如何求得句、股、弦的整数解。方法是：以三率中的中率为主，中率的倍数为股，首末两率之差为句，首末两率之和为弦。根据这个原理，可以推导出十几个句股的例子。然后，用句、股、弦作为正数，两两相加得和，两两相减得差。还有句股三数相加减得到的和差数，弦与和，和弦与较和三数相加的和数；弦与差，差弦与和差三数相减的差数。这三数相加减，现在叫做兼三和较。总共有正数的和差各三个，兼三和较各两个，共十三个数。从这十三个数中，任意取两个数，就能求出句、股、弦的全数。总共有九十四种求解方法，而容方、容圆、截股分两、立表测量单表、重表的方法，这里还没包含在内。
接下来是求截弦分两的方法，也就是一句股分两句股，这样就能知道即使不成句股也可以分两句股。不成句股分两句股，就是西方三角学中所说的方法，现在我们都用句股来概括它。方法是取大小两个句股形，小股和大句数值相同者合为一体，就是不成句股的形状。把它分成两部分，那么所谓的中垂线，就是小矩形的股，大矩形的句。以此类推，又可以得到二十多个不成句股的例子。依此类推，又可以得到合形分两、削形求全两种方法。合形分两，又有正合形截偶分两、反合形截中分两、偏合形截边分两的方法；削形求全，又有削去正矩、偏矩的区别，偏矩中又有浅削、深削之分。掌握了这些，句股的学习就完成了。
元启曾经说过：“我没有别的长处，只有好学深思，用心去理解而已。”然而，他写的《句股术》一书，几乎要超过梅文鼎，成为算术中不可或缺的著作。
朱鸿，字云陆，是苏州人。嘉庆七年考中进士，后来被选入翰林院当庶吉士，散馆后被授予编修的官职。 他升迁为御史，又历任给事中，之后外放湖南，担任督理粮储道。朱鸿特别擅长数学。
他老乡钱仪吉写过《三国会要》，把乾象、景初两种算法结合起来，朱鸿还专门为此作过注释。当时，湖州的陈杰在京城做官，当博士；阳湖的董祐诚也在京城做客，他们都天天跟着朱鸿学习数学，互相讨论，互相提问。以前没有人能算出椭圆的周长，朱鸿就告诉董祐诚：圆柱体斜着切开，切面就是椭圆，可以用勾股定理来计算。董祐诚听懂了，还画图解释了一下。
朱鸿一开始得到杜德美的《割圆九术》手抄本，就拿给董祐诚看，还自己创作了图解三卷。 后来他又从李潢家得到了一种计算圆周率的快捷方法，这是蒙古监正明安图师兄弟续写的书，跟之前的手抄本内容不太一样。朱鸿曾经按照杜德美的算法计算过，当圆的直径为1时，圆周长是3.141592653589793238462643383279502884197……；当圆的直径为10时，圆周长是31.41592653589793238462643383279502884197…… 徐有玉把这些结果收录进了《务民义斋算学》里。
道光十年以后，朱鸿辞官，仍然住在北京，写了《考工记车制参解》。他还对程大位的《易畴》和《考工创物小记》进行了评注，纠正了很多错误。
博启，字绘亭，是满洲正白旗人。乾隆年间，他在钦天监当副监正。他发现，以前的人对勾股定理的研究已经很全面了，但是关于勾股形里边所包含的方边、圆径、垂线这三者之间的关系，却还没人完整地研究出来。于是他就用这三者之间的关系，创造出六十种计算方法。可惜的是，他的书没出版，这些方法也没流传下来。现在流传下来的，只有一道题，就是已知方边和垂线，求勾、股、弦。他的方法是用平行线把正方形面积分成四个小的勾股形，利用垂线作为小勾股的和，利用方边作为小弦，来求小勾和小股。然后用小股比上垂线，就等于方边比上勾；用小句比上垂线，就等于方边比上弦。
道光年间初期，方履亨当了钦天监监正，他经常用这道题来考学生。后来，甘泉的罗士琳大力宣传他的学术成就，博启的数学方法才重新被世人所知。
罗论说：“我以前听说方慎菴监正说过，绘亭监副曾经掌握一种计算方法，后来失传了。我就模仿监副留下的方法，用平行线把半圆的面积分成四个小直角三角形。用半圆的半径减去垂线剩下的部分，作为小直角三角形两条直角边的和，再把半圆的半径作为小直角三角形的斜边，就能求出小直角三角形的两条直角边。用小直角边比垂线，就如同半圆的半径比直角三角形的另一条直角边；用小直角边比直角三角形的另一条直角边，就如同半圆的半径比斜边。
然后，用半圆的半径减去正方形的边长，得到一个差值。再用平行线把这个差值的平方分成四个小直角三角形，把半圆的半径作为小直角三角形两条直角边的和，把差值作为小直角三角形的斜边，求出小直角三角形的两条直角边。用小直角边比半圆的半径，就如同正方形的边长比直角三角形的一条直角边；用小直角边比半圆的半径，就如同正方形的边长比直角三角形的另一条直角边；用小直角边比直角三角形的另一条直角边，就如同差值比斜边。这些都是补充监副遗留下来的方法。
我又用天元术演算出了三边和差六十道题，并且建立了天地两元广例二十五术，写成了《句股容三事拾遗》四卷。我又尝试改进这种方法，用八线表，利用正方形的边长和斜边长度的比例关系，求出正方形内斜线的长度。以垂线为第一比例，半径为第二比例，斜线为第三比例，求出第四比例，也就是正割。查八线表得到角度，再与45度相加减，得到垂线分割出的两条弧的大小。再以半径为第一比例，垂线为第二比例，小弧的正割为第三比例，求出第四比例为一条直角边。如果以大弧的正割为第三比例，求出的第四比例就是另一条直角边。如果以大小两弧的正切为第三比例，求出的第四比例就是大小两弧的两条分弦，把它们加起来就得到弦的余弦。
另外两道题也用同样的方法计算，得到的结果相同，但是小数位数会有差异。因为八线表列出的数字只精确到个位，个位以下的小数部分都舍弃了，所以计算结果不能像句股术和天元术那样精确。有些人妄加评论说天元术不能处理三角形的边和差问题，这真是无知！要知道，天元术是在宋明时期发明的，怎么可能预知西方会有三角学而提前立法呢？关键在于学习者要善于融会贯通啊！
试想一下，有一个等腰三角形，有一个角在两条腰之间，已知大边与对边的和，以及小边与对边的和，要求解出三条边长和垂线长度。这是西方常用的方法无法解决的。但如果用天元术，那么无论要求解任何一边、和或差，都可以通过一次平方运算得到结果。所以，天元术和西方的三角学方法，其优劣高下立判了！”
许如兰，字芳谷，是安徽全椒人。乾隆三十年考中了举人，后来通过大挑考试当上了知县，被分配到福建去。因为他父母年纪大了，他就改去了江西任职，先后在浮梁、新建等县当过县令。守孝期满后，他又要去福建上任，被任命为侯官县知县，还没来得及上任，就得了瘴气，病死了。
许如兰这个人天资聪颖，读书非常认真，钻研得很深。他一开始学习历法，就用西方的办法，通读了薛凤祚翻译的《天步真原》、《天学会通》。当时和他同县的山西宁武同知吴烺，是跟梅文鼎学习的，而梅文鼎又是刘湘煃的学生，所以许如兰也跟着学习了梅氏的历法。乾隆四十年夏天，他还去北京拜访了戴震，学习了戴震的《句股割圜记》。乾隆四十四年，他又去常州拜访了董化星。戴震是整理古代算经十书的人，而董化星则是专门研究薛凤祚著作的人。所以说，许如兰既通晓中国古代的数学，又掌握了西方的数学知识。
他曾经对他的学生胡早春说：“古人把勾股定理（句股方程）放在小学的课程里，小孩子都能学会，现在连老资格的学者都不能理解它的含义了。一方面是因为考试只注重八股文，认为勾股定理不重要；另一方面是因为士大夫们觉得学习数学很掉价，不愿意拿着算筹进行计算，认为那是算命先生干的事。唉，真是太错了！”他还说：“士大夫如果不精通数学（弧矢之术），即使懂天文，也没有什么用；而算命先生（畴人算工）如果不明白数学的原理（象数之理），即使会计算，也没有什么用。”他写过《乾象拾遗》、《春晖楼集》等书，现在很多都失传了。
这段文字讲的是古代天文历法，特别是关于岁差的讨论。作者首先引用了梅氏《月建》的观点，大意是说：古人因为无法直接观测天体运行的规律，只能依靠恒星来推算日期。但恒星的位置会随着时间推移而发生变化（岁差），所以冬至时太阳所在的位置和以前不一样了，于是就有了岁差的计算方法。古人认为恒星不动，黄道（太阳运行的路径）西移；但现在观测发现，所有的星座都在动，它们的位置变化不是围绕着赤道转，而是沿着黄道向东移动。所以也可以说黄道不动，恒星向东移动，这和七曜（日月五星）的运行规律是一样的。
接着，作者解释了古人计算历法的两种方法：一种是以“中数”（平均值）为一年，以“朔数”（月亮朔望）为一年；上古时期气朔同日，所以月建（每月起始）是从节气开始，而不是中气；而日躔（太阳运行）过宫则从中气开始，而不是节气。所以说冬至是子（子时）的一半，或者说是太阳运行到星纪（星宿名）的位置。一年有十二个“月建”，代表着天道运行的十二个辰（时辰），这是亘古不变的。虽然斗柄（北斗七星的斗柄）指向的位置用来确定节气并不完全准确，而且恒星东移导致误差越来越大，但古人说“斗为帝车，斟酌元气而布之四方”，“招摇柬指”，意思就是天道运行没有固定的轨迹，只是说斗柄的指向可以作为参考。如果死板地拘泥于斗柄的指向，就会产生误解。
关于岁差，书中提到：恒星每年向东移动五十多秒，而且黄道和赤道（地球赤道在天球上的投影）是斜交的，不是平行的，在左旋（地球自转）的高速运动中，会稍微向右偏斜。太阳在天球上的运行，就像经纬线在地球上的运行一样。太阳运行到黄道上特定的位置（节气），就会带来春夏秋冬的变化。七曜运行到不同的宫位，也会受到宫位本身的干湿冷暖风雨等因素的影响。所以冬至和夏至分别位于黄道上的子位和午位，春分和秋分分别位于黄道上的卯位和酉位。在唐虞时期，冬至时太阳位于虚宿（星宿名），而恒星的子位也正好位于黄道的子位。此后逐渐产生偏差，到东周时冬至的恒星位置在女宿，汉代在斗宿，现在在箕宿。黄道的子位和恒星的子位并不重合。古人以丑宫初度为冬至，是因为周代时冬至的恒星位置已经移动到了丑宿，周人就用恒星的位置来确定黄道的十二次（十二个区域），所以把丑宿命名为星纪。实际上，丑宿只是周代时恒星的位置，并非恒星的子位。现在冬至的恒星位置已经不在丑宿了，而是移到了寅宿十多度的位置。从现在的箕宿往前推算到古代的虚宿，大约经历了四千多年，位置已经偏移了五十八度，这充分证明了恒星东移的事实。书中其他与历法无关的内容，这里就不记录了。
