道光年间，钦天监秋官正司廷栋写了一份东西，比以前的方法更复杂，加在书的最后，方便大家参考。
咱们算天上的星星啥时候在哪儿，都是先算太阳。算太阳呢，又得先算它的平均运行速度。算星星位置的时候，都是从每天的子正（午夜）开始算。这“子正”指的是太阳平均运行到子正点的时候。现在算时间，虽然用的是太阳实际运行的速度来算比例，但算出来的结果还是基于太阳平均运行的位置。实际运行的位置和平均位置，肯定会有差别。如果太阳在离地平线最低点之后，实际运行速度比平均速度快，那实际位置就比平均位置偏东，时间上来说，就还没到那个点。如果太阳过了最高点之后，实际运行速度比平均速度慢，那实际位置就比平均位置偏西，时间上来说，就过了那个点。所以，如果平均速度算出来的时间要加，那时间差就要减；如果平均速度算出来的时间要减，那时间差就要加。这就是因为太阳有平均和实际运行速度的差别，所以才会有这个时间差。
但是，太阳走的是黄道，咱们算时间是按赤道算的，因为黄道和赤道是斜交的，所以它们同时升起的时间肯定不一样。比如，过了春分秋分之后，赤道比黄道短，时间差就要减，时间上来说，就还没到；过了冬至夏至之后，赤道比黄道长，时间差就要加，时间上来说，就过了。所以，要用三角函数算出黄道和赤道升起时间差，再换算成时间，春分秋分之后要加，冬至夏至之后要减。这就是因为经度有黄道和赤道之分，所以才会有这个升起时间差。
把这两类时间差加加减减，算出来的时间就是最终要用的时间。有了这个时间，才能算其他东西。所以，算日食月食，第一步就是要算这个时间，这是日食月食计算的第一步。具体的计算方法和图解在《考成前编》里讲得很详细，图分两张，其中平均速度时间差图用的是小轮。到了《考成后编》，算平均速度改用椭圆法了，方法在“求均数”那章里讲得很清楚，但是没讲时间差。现在，我根据太阳实际运行位置在黄道上的点，用平均速度的比例找到黄道上的平均位置点，然后用过南北极和冬至夏至经线的等距圆法，把这两个点投影到赤道上，这样就能把两种时间差画到一张图里了。太阳经度对应的时间和两种时间差的加减，都可以从图上查到。
1827年3月6日（道光十二年壬辰三月初六日癸丑），下午2点11分，月亮和司怪星（此处保留原文）的黄经相同，这就是凌犯时刻。当天太阳在黄道上的位置是3宫3度55分，太阳的黄经是3宫15度53分，我们需要计算凌犯的实际时刻。 想象一下，甲是北极，乙丙丁戊是赤道，乙甲丁是子午圈，乙是子正（午夜），丁是午正（正午），己庚辛壬是黄道，丙甲戊是二至经圈，己是冬至，辛是夏至，庚是春分，壬是秋分。子是太阳的视运动点，它在赤道上的投影点是丑，所以丑点就是太阳实际运行到的时刻。卯是太阳平行运动的点，它在赤道上的投影点是辰。卯和子这两个点之间，需要加上1度55分45秒的平均数。我们画两条线，一条从卯到午，一条从子到未，就像等距的圆圈一样，把太阳平行和视运动的度数都投影到赤道上。庚午和庚卯应该相等，但庚子不一定和庚卯相等，赤道的午未和卯子的平均数也应该相等。
经过计算，我们得到7分43秒，这是赤道午未之间的差值，也就是平均时差。接下来，我们用庚丑子正的弧三角形来计算庚丑弧。这个三角形，丑是直角，庚角是黄赤交角23度29分，庚子弧是太阳距春分后在黄道上的度数15度53分。我们假设半径为1，庚角的余弦为2，庚子弧的正切为3，然后计算出庚丑弧的正切为4，查表得到庚丑弧是14度37分36秒，这是太阳距春分后在赤道上的度数。 我们用它减去与庚子黄道弧相等的庚未弧，得到丑未弧1度15分24秒，这是需要减去的黄赤升度差。计算后得到5分2秒，这是升度时差。
因为太阳平行运动的点卯，到春分的庚卯弧和庚午弧相等，所以午点就是平时，也就是凌犯时刻。而太阳视运动的点子，到春分的庚子弧和庚未弧相等，所以午未就是平行运动和视运动的差值。如果按照太阳自东向西旋转来看，视运动已经超过了平行运动；但如果按照天体自西向东旋转来看，视运动还没达到平行运动。所以未点比午点要早，因此要从午点凌犯时刻减去午未的平均时差，才能得到未点时刻，这是太阳在黄道上投影到赤道上的时刻。但是，子点太阳实际在赤道的丑点，所以丑未就是黄道和赤道的差值。如果按照经度东行来看，赤道还没到黄道；但按照时刻西行来看，赤道已经超过黄道了。所以丑点比未点要晚，因此必须加上丑未的升度时差，才能得到丑点时刻，也就是太阳在黄道上实际到达赤道上的时刻。
这两个时差一个是加一个是减，而且减去的数值大于加上去的数值，所以先把两个时差相减，得到2分41秒，这就是时差（因为两个时差的符号相反，所以相减；如果符号相同则相加。两个数合并成一个数）。然后从午点凌犯时刻下午2点11分减去这个时差，就得到丑点时刻：下午2点8分19秒，这就是凌犯的实际时刻。
这段文字描述的是一种数学计算方法，看起来像是某种三角函数的计算步骤，用的是一种比较古老的表达方式。“一率半径”、“二率庚角余弦”等等，听着就挺专业，而且还带点神秘感。具体来说，它可能在描述某种几何图形的计算，用“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”这些术语来表示角度和弧度。可惜没有图，不然就能更清楚地理解了。
“一率半径”，第一步骤就是用半径作为基准。这就好比我们做数学题，先得把已知条件都列出来一样。
“二率庚角余弦”，第二步是计算庚角的余弦值。这部分就涉及到三角函数了，需要用到余弦这个概念。 “庚角”指的是一个特定的角度，具体是多少度，得看图才能知道。
“三率庚子弧正切”，第三步计算庚子弧的正切值。“庚子弧”应该指的是某个弧，它的长度或者角度，跟庚角有关系。正切也是三角函数的一种。
“四率庚丑弧正切”，最后一步是计算庚丑弧的正切值。“庚丑弧”同样指的是某个弧，跟前面提到的庚子弧可能有关联。
总而言之，这段话描述了一个四步的计算过程，每一步都涉及到三角函数的计算，并且使用了特殊的角度和弧度命名方式，例如“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”。 可惜没有图，不然就能明白这些“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”到底指什么了，就能完全理解这个计算过程了。 要是能看到图，估计就能轻松算出结果了。
好家伙，这算命可真讲究！先说，他要算个什么“凌犯时刻”，也就是某个星象出现的时间。他给出了太阳在黄道和赤道上的位置，像“太阳引数三宫十三度二十九分，黄道实行三宫二十五度三十四分”这种，听着就头大。然后他说，如果太阳在赤道上的位置是丑时，那这个丑时就是我们要找的时间。
要是太阳在赤道上的位置是辰时，那就要加一个修正值，这个值是“一度五十二分二十五秒”。他画了个图，说通过一些几何关系，可以算出这个修正值，而且这个修正值正好抵消了另一个修正值，所以最后算出来的凌犯时刻就是我们要的结果。“两时差之数相等，必减尽无余，即无时差之总数矣。” 他这意思就是说，两个误差互相抵消了，所以最终结果很精确。
接下来，他开始用具体例子解释怎么算。他画了两条线，然后说通过计算，得到一个修正值是“七分三十秒”，这个值要加到或者减到赤道上的时间里。他又用三角形算了个东西，结果又得到一个“七分三十秒”，这个要加或者减到赤道上的时间里。关键是，这两个七分三十秒，一个是加，一个是减，正好抵消了！所以，凌犯时刻就等于我们算出来的那个时间。
他解释说，之所以能这样，是因为太阳在黄道上的位置和在赤道上的位置之间存在某种关系。“此法以丑点凌犯时刻减去均数时差，得未点实行虚映之时刻，而复加相等之升度时差，所得用时，固仍在丑点之位，盖因太阳平行距春分后黄道度等于太阳实行距春分后赤道度故也。” 这段话的意思是，先减去一个误差，再加回一个等值的误差，最终结果还是原来的时间。
如果太阳正好在黄道上最高点或者最低点，那就简单了，不用考虑那个“均数时差”，只需要考虑另一个误差就行了。比如，如果太阳在黄道上的最低点，也就是子时，那就要用一个三角形计算出误差，然后从子时减去这个误差，就能得到最终的凌犯时刻。“以庚丑子正弧形求得丑乙黄赤升度差。变时减于乙点时刻，即得丑点用时，乃在乙点子正之前也。” 他这意思就是，算出误差后，从乙时减去这个误差，就能得到最终的丑时。如果太阳在黄道上的最高点，也就是午时，道理也是一样的，只是要用另一个三角形计算误差，然后从丁时减去这个误差，就能得到最终的寅时。“以壬寅午正弧形求得寅丁黄赤升度差，变时减于丁点时刻，即得寅点用时，乃在丁点午正之前也。” 总之，这套算法，看着复杂，其实核心就是各种误差的抵消。
你看啊，就像太阳运行到冬至、夏至、春分、秋分这四个点的时候，黄道和赤道之间就没有偏差了，所以也就没有因为位置变化导致的时间差，只需要加上或减去一个平均时间差就行了。
假设太阳运行到六宫的第一个度数，也就是夏至的时候，它在黄道上的辛点，对应赤道上的戊点，同时平行于卯点，对应赤道上的辰点。从卯点到丙、甲、戊点，再到经过极点与子午圈平行的卯午等距圆圈，那么午点就是太阳凌犯的时刻。这时候戊午和辛卯的平均值相等，通过计算就能得到平均时间差。从午点减去这个平均时间差，就能得到戊点对应的时间。
接下来，我们要算春分时太阳距离午时的度数、黄道和赤道的象限宫度，以及太阳高度角。 “春分距午时分、黄平象限宫度及限距地高” 这几个数据需要计算出来。
咱们先说算月亮遮挡星星（凌犯）的时候，位置偏差的事儿。这跟算日食的偏差方法差不多，但用起来不一样。日食的东、西偏差是算视距弧的，南、北偏差是算视纬的，这两个值再用来算视相距和视运动。因为月亮沿着白道（月亮运行的轨道）走，所以必须用白道上的平象限（白道上与地平线相交的点）来作为参考。
但是，算行星之间距离或者行星与恒星距离的时候，都是用它们在黄道（太阳运行的轨道）上经度相同的时候作为计算时间的依据，然后根据黄纬（南北方向的距离）的差异来算它们的高低位置。算月亮和行星、月亮和恒星的距离也是一样，都用黄道经度相同的时候作为凌犯发生的时间，根本不管白道经度，那白道平象限跟这有啥关系呢？可是，算东西偏差来确定时间先后，算南北偏差来确定视纬大小和距离远近的时候，用的偏差都是黄道经纬的偏差，所以必须用黄道平象限的度数作为参考。黄道平象限，就是地平线上黄道（太阳运行的轨道）一半的中间点。
问题是，黄道和赤道是斜交的，地平线上赤道一半的中间点，总是正对着子午圈（南北方向的线），但地平线上黄道一半的中间点，位置却一直在变。这是因为黄极（黄道与天球相交的两点之一）每天都随着天球自西向东旋转，绕着赤极（地球自转轴在天球上的投影）转一圈。如果黄极在赤极南边，冬至的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着升起斜着落下；如果黄极在赤极北边，夏至的时候正午太阳就在正南，黄道就正着升起正着落下，黄平象限也正好在子午圈上；如果黄极在赤极西边，春分的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着从东北升起，从西南落下，黄平象限就在正午的东边；如果黄极在赤极东边，秋分的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着从东南升起，从西北落下，黄平象限就在正午的西边。
所以，黄道的方向，时刻都在变化，因此要根据黄道的度数变化，推算出黄平象限的位置和它到地平面的高度，然后才能列出表格。
首先，假设太阳正好位于春分点，黄道坐标是三宫的起始度数。我们要算出中午正午时刻黄平象限的宫度和地平高度。如图所示，甲乙丙丁是子午圈，甲是天顶，丙丁是地平线，乙是北极，乙丙是北京的北极高度，是39度55分。戊己庚是赤道，与地平线交于己点，戊点是正午时分，位于地平线上赤道周长的一半处，戊丁是赤道的地平高度，是50度5分。在戊己丁角处，辛子壬是黄极圈，子是黄极，乙子己丑是过极子午圈，戊丑庚是黄道，与地平线交于寅点，庚是秋分，丑是冬至，戊是春分，也就是太阳现在的位置。太阳位于正午，所以没有春分距午的时间差。
接下来，我们从黄极子点画一条弧线经过天顶，构成子甲卯黄道经圈，这就是我们现在要算的黄平象限。辰点是地平线上黄道周长的一半处，位于正午的东边，也就是黄平象限的宫度。辰寅卯角是黄道与地平线相交的角，辰卯弧就是现在要算的地平高度。我们用戊辰甲正弧三角形来计算戊辰和甲辰两条弧的长度。这个三角形在辰点是直角，戊甲弧是赤道到天顶的距离（等于北极高度乙丙）。在赤道与子午圈交点戊的直角90度里减去己戊丑角（黄赤交角23度29分），得到寅戊丁角66度31分，这是黄道与子午圈的交角（也叫黄道赤经交角），它与辰戊甲角是对角，度数相等。
我们用半径为1，戊角（黄道赤经交角）的余弦为2，戊甲弧（太阳距天顶）的正切为3，求出第四个值，就是黄平象限距午的正切值。查表得到18度26分14秒，这是戊辰弧，也就是黄平象限距正午的黄道度数。把它加上戊点（春分三宫），（因为黄平象限在午东，所以要加），得到辰点是三宫18度26分14秒，这就是这个时刻黄平象限的经度。再用半径为1，戊角（黄道赤经交角）的正弦为2，戊甲弧（太阳距天顶）的正弦为3，求出第四个值，就是黄平象限距天顶的正弦值。查表得到36度3分9秒，这是甲辰弧，也就是黄平象限距天顶的高度。用甲卯象限90度减去它，得到辰卯弧53度56分51秒，这就是这个时刻的地平高度，也就是辰寅卯角的度数。
首先，这堆数字和符号看起来像天文计算公式，咱先不管它，直接看后面的故事。 “一率半径…四率甲辰弧正弦”（这段保留原文，因为这是计算公式）。 总之，这是在算一个很复杂的数学题，跟天文观测有关。
接下来，假设太阳正好在秋分点，也就是黄道九宫的起始点。我们要算的是：春分点在正午的时候，距离正南方向（午时）有多远，以及它在黄道坐标系和地平坐标系中的位置和高度。 我们先把秋分点当成正午的参考点（戊），然后黄道（庚未戊）就和地平线（寅）相交了。庚代表春分，未代表夏至，子乙未己这些点构成一个过极点的经圈，从北天极（子）出发，穿过天顶，形成一个子甲卯弧，这就是黄道坐标系中的一个象限。而地平线上黄道的中点（辰）在正午的西边。
我们先算春分点距离正午西边有多远，这可以用春分点到正午之间赤道半周的距离来换算成时间，也就是春分点距离正午的时间差。然后，再利用前面那些复杂的三角函数公式（“一率半径…四率甲辰弧正弦”），计算出戊辰弧和甲弧的长度。 这个三角形里，辰是直角，戊甲是赤道距离天顶的距离。 从戊点直角里减去己戊未角（黄赤交角），就能得到辰戊甲角（黄道赤经交角），这个角是66度31分。 通过计算，我们得到戊辰弧（黄平象限距离正午的黄道度数）是18度26分14秒。
因为黄平象限在正午的西边，所以我们要从秋分点（戊点，九宫）的经度减去这个18度26分14秒，得到辰点（八宫十一度三十三分四十六秒），这就是当时黄平象限的经度。 再算一下甲辰弧和甲卯象限的差值，得到辰卯弧，也就是53度56分51秒，这就是当时春分点的高度，也就是辰寅卯角的度数。 总之，经过一系列复杂的计算，我们最终算出了春分点在特定时刻的经度和高度。
好家伙，这题有点难度啊，全是天文计算！咱们一句一句地来，慢慢啃。
首先，假设太阳在春分后30度的位置，黄道坐标是四宫的起始点（0度），我们要算出正午时刻（午正初刻）黄平象限的各种数值。 先确定太阳的位置，在黄道上，辛、壬、癸三个点代表黄道，黄道和地平线交于寅位。丑是冬至，壬是春分，乙子丑是经过极点的天球经圈。然后，从黄极的子点（北天极）经过天顶的甲点，画一条子甲卯弧，这条弧代表黄平象限，太阳的位置（辰点）在正午的东边。
接下来就是复杂的计算了。先用辛、戊、壬组成的直角三角形（戊是直角），计算壬戊弧、辛戊弧以及壬辛戊角。这个三角形里，壬角是黄赤交角，壬辛弧是太阳在春分后黄道上的30度弧长。 计算方法是：用半径为1，黄赤交角的余弦为2，黄道弧的正切为3，算出第四个值，就是赤道弧的正切。查表得到27度54分10秒，这就是壬戊弧（赤道同升度），也就是春分点到正午后赤道上的度数。换算成时间，是1时51分37秒，也就是春分点到正午的时间差。
然后，再用半径为1，黄赤交角的正弦为2，黄道弧的正弦为3，算出第四个值，是黄赤距度的正弦。查表得到11度29分33秒，这就是辛戊弧，也就是太阳距离赤道的北纬度。 接着，用黄道弧的余弦为1，黄赤交角的余切为2，半径为3，算出第四个值，是黄道与子午圈夹角的正切。查表得到69度22分51秒，这就是壬辛戊角，也就是黄道赤经交角。
接下来，用辛、辰、甲组成的直角三角形（辰是直角）计算辛辰弧和甲辰弧。这个三角形里，辛角和壬辛戊角互为对顶角，度数相等。用甲戊弧（赤道距天顶）减去辛戊弧（黄赤距度），得到甲辛弧28度25分27秒，这就是太阳到天顶的距离。 然后，用半径为1，辛角（黄道赤经交角）的余弦为2，甲辛弧（太阳距天顶）的正切为3，算出第四个值，是黄平象限距午正的正切。查表得到10度47分28秒，这就是辛辰弧，也就是黄平象限距正午的黄道度数。因为黄平象限在正午的东边，所以要加上这个数值。最终得到辰点坐标：四宫10度47分28秒，这就是正午时刻黄平象限的经度。
最后，用半径为1，辛角（黄道赤经交角）的正弦为2，甲辛弧（太阳距天顶）的正弦为3，算出第四个值，是黄平象限距天顶的正弦。查表得到26度27分20秒，这就是甲辰弧，也就是黄平象限距天顶的度数。用90度（甲卯象限）减去这个数值，得到63度32分40秒，这就是辰卯弧，也就是正午时刻黄平象限的高度，也就是辰寅卯角的度数。
这整个过程，简直就是一场数学盛宴啊！ 佩服古代天文学家的计算能力！
首先，咱们得算几个三角函数。第一组：半径、壬角的余弦、壬角的正切、壬戊弧的正切。第二组：半径、壬角的正弦、壬辛弧的正弦、辛戊弧的正弦。第三组：壬辛弧的余弦、壬角的余切、半径、辛角的正切。第四组：半径、辛角的余弦、甲辛弧的正切、辛辰弧的正切。第五组：半径、辛角的正弦、甲辛弧的正弦、甲辰弧的正弦。 这些都是一些数学计算，具体步骤我就不细说了，总之就是用这些数据进行一系列的三角函数运算。
接下来，咱们要算太阳的位置。假设太阳距离秋分点30度，黄道运行到八宫初度。我们要算出正午时刻黄平象限的各种数值。 太阳在辛点，正午的时候在正南方向；秋分点（申点）在正东方向；春分点（壬点）在正西方向；夏至点（未点）在正北方向；子、乙、未这些点构成了过极至经圈，从黄极的子点经过天顶。我们用子、甲、卯弧来表示当时的黄平象限，它位于正西方向。
我们用辛戊申正弧三角形来计算。这个三角形里，戊点是直角，申角是黄赤交角，申辛弧（黄道弧）是30度。算出来申戊弧（赤道同升度）是27度54分10秒。用这个数值减去壬申弧（赤道半周），得到壬戊弧（5宫2度5分50秒），这就是当时春分点距离正午点的赤道度数。换算成时间，是10时8分23秒，也就是当时春分点距离正午的时间。
然后，我们用辛辰甲正弧三角形来计算。辰点是直角，辛角是黄道赤经交角，甲辛弧是太阳距离天顶的度数，这些度数和之前的都一样。算出来辛辰弧（黄平象限距离正午黄道度数）是10度47分28秒。因为黄平象限在正西，所以要从辛点（八宫初度）减去这个数值。 这样算出来辰点的位置是7宫19度12分32秒，这就是当时黄平象限的经度。
最后，我们算出甲辰弧，再用甲卯象限减去甲辰弧，得到辰卯弧，是63度32分40秒。 这就是当时黄平象限距离地平的高度，也等于辰寅卯角的度数。 总而言之，通过一系列复杂的三角函数计算，我们最终得到了太阳在正午时刻的具体位置和相关参数。
好家伙，这堆数字和术语，看着就头大！咱们一句一句地捋捋，慢慢来。
首先，他设定太阳在正午的时候，春分点（就是太阳直射赤道的那天）在距离春分点前30度的第二个宫位开始。然后，他用辛点（应该是某个天文点）表示正午的太阳位置，春分点（壬点）就在正午太阳的东边。申是秋分，丑是冬至，乙子丑代表了太阳经过极点的那条经线，子甲卯（也是一些天文点）也在正午太阳的东边。
接下来，他用一个辛戊壬组成的直角三角形来计算。这个三角形里，戊是直角，壬角是黄赤交角（黄道和赤道的夹角），壬辛弧长30度。通过计算，他算出了壬戊弧（赤道上的弧长）是27度54分10秒。用赤道周长减去这个值，得到11宫2度5分50秒，这是春分点在正午后赤道上的位置。换算成时间，就是22时8分23秒，也就是春分点距离正午的时间。他还算出了辛戊弧（11度29分33秒），这是太阳距离赤道南纬的度数，以及壬辛戊角（69度22分51秒），这是黄道和赤经的交角。
然后，他又用了一个辛辰甲组成的直角三角形。这个三角形里，辰是直角，辛是角度。他把甲戊赤道距天顶和辛戊黄赤距度加起来，得到甲辛弧（太阳距天顶）是51度24分33秒。然后，他用一系列比例计算（一率半径，二率辛角余弦，三率甲辛弧正切，求得四率，为黄平象限距午之正切），最终算出辛辰弧（黄平象限距午正的黄道度数）是23度48分40秒。把这个值加上辛点在二宫的初始度数，得到辰点在二宫的位置是23度48分40秒，这就是黄平象限的经度。最后，他又用类似的方法（一率半径，二率辛角正弦，三率甲辛弧正弦，求得四率，为甲辰弧黄平象限距天顶之正弦），算出了卯辰弧（本时限距地高）是42度59分1秒。
总而言之，这段文字描述的是一系列复杂的三角函数计算，目的是为了确定春分点等天文位置在特定时刻的经度和高度。 用现代话来说，就是他在用三角学的方法计算天体的坐标。 那些“一率”、“二率”之类的，其实就是比例系数，方便他进行计算。 整个过程相当复杂，需要很强的数学和天文知识才能理解。
好家伙，这段话讲的是天文计算，看着就头大！咱们一句一句掰扯掰扯。
首先，它说把太阳正午的时候定为一个基准点，然后呢，秋分点在正午之后三十度的地方，就当做是第十宫的起始点。 然后根据这个点，算出冬至点（辛点）在正午的时候，申点（秋分）就在正午之后，那春分点肯定就在正午之前了。夏至点（子乙未）过了极点，子甲卯（某个时间点）在正午的西边。 计算方法还是用辛戊申正弧三角形，这个三角形的边角和之前那个辛戊壬三角形一样，只是申戊弧多出来一个小时五十一分三十七秒，这是秋分点在正午之后的时间。加上赤道半周的十二小时，就得到春分点在正午之前的时间：十三小时五十一分三十七秒。
接下来，它又用辛辰甲正弧三角形，这个三角形的边角和之前那个辛辰甲三角形也一样，但是因为辰点在辛点的西边，所以要从第十宫的起始度数里减去辛辰弧的二十三度四十八分四十秒，最后得到九宫六度十一分二十秒，这就是当时的黄平象限的经度。辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，跟之前的数值一样。 所以说，计算每个度数都要参考春分和秋分前后相对的度数。 计算太阳正午时距天顶的距离，要分南北纬度来算；计算黄平象限宫度的增减，要以冬至和夏至为界限。
因为冬至过了正午在西边，黄平象限总是在正午的东边；夏至过了正午在西边，黄平象限总是在正午的西边。这就是加减法怎么确定的原因。
好家伙，这题目够复杂的！咱们一步一步来，慢慢捋清楚。
首先，题目给出了太阳的黄道经度是三宫十六度四十四分，时间是戌正二刻八分十九秒（也就是晚上七点零八分十九秒）。 然后，它要求算出春分到中午的时间差，以及黄平象限的经度和地平高度。 这可不是简单的加减法，得用三角函数来算。
接下来，题目解释了几个关键点：申辛壬癸代表黄道，寅是黄道交地平点，壬是春分，丑是夏至，申是秋分，子乙丑亥是过二极二至的经圈。 然后它画了一个图，用子甲卯来表示黄道经圈，说太阳在春分后的未点，也就是赤道上的午点。 计算时间的时候，要从子正（午夜）开始算。
第一步，它用未午壬正弧三角形来算壬午弧，也就是太阳距春分后在赤道上的度数。 这个三角形里，午角是直角，壬角是黄赤交角（23度29分），壬未弧是太阳距春分后的黄道度数（16度44分）。 算出来壬午弧是15度24分58秒。 然后把这个弧度转换成时间，得到一小时一分四十秒。 加上午点的时间，得到春分距子正（午夜）的时间是21小时39分59秒。 再减去12小时，得到春分距午时（中午）的时间是9小时39分59秒。
第二步，因为春分距午后的度数已经超过象限，所以它用申戊辛正弧三角形来计算。 这个三角形里，戊角是直角，申角是黄赤交角，申戊弧是秋分距午前时分所变的赤道度数（35度05分）。 通过计算，得到戊辛弧（正午黄赤距度）是13度59分40秒，申辛戊角（黄道交子午圈角）是70度56分58秒，申辛弧（秋分距午正前黄道度）是37度21分50秒。 然后用秋分所在的九宫减去这个度数，得到辛点正午黄道经度是七宫二十二度三十八分一十秒。
第三步，用甲辰辛正弧三角形计算辛辰弧和甲辰弧。 这个三角形里，辰角是直角，辛角是黄道赤经交角。 利用京师赤道距天顶的度数（39度55分）减去正午黄赤距度，得到甲辛弧（正午黄道距天顶度）是25度55分20秒。 然后算出辛辰弧（黄平象限距午西的黄道度）是9度05分13秒，和甲辰弧（黄平象限距天顶的度数）是24度24分24秒。 最后，用辛点正午黄道经度减去辛辰弧，得到本时黄平象限的经度是七宫十三度三十七分十七秒；用甲卯象限减去甲辰弧，得到本时黄平象限距地平的高度是65度35分36秒。
总而言之，这道题目的计算过程相当复杂，需要运用球面三角学的知识。 我尽量用通俗的语言解释了每一步的计算过程和含义，但要完全理解，还需要具备一定的数学和天文知识。
这“距限差”啊，说白了就是月亮距离黄道平面的象限的差值。以前算月亮距离地平线的时候，都是按90度来算的。因为黄道（太阳运行的路径）在天球上倾斜着，它对着我们的方向总在变，而在地平线上能看到的黄道总是半个圆周，它正中间的点，距离地平线东西方向都是90度。所以就用90度来判断月亮在地平线上还是地平线下，如果月亮距离这个90度限度超过了，就说明在地平线下，不用计算了。但这方法是以黄道为基础的。
但是，月亮的实际运行轨道（白道）和黄道是斜交的，月亮在白道上运行，它距离黄道的南北纬度总在变化。如果月亮在黄道以南，它升起得晚，落下得早；当月亮经过地平线的时候，它距离黄道平面的象限还不到90度。如果月亮在黄道以北，它升起得早，落下得晚；当月亮经过地平线的时候，它距离黄道平面的象限已经超过90度了。所以，简单的用90度来衡量就不够准确了。
于是就有了计算这个差值的方法，就像计算五星（金木水火土）出现时距离太阳的限度，也要考虑加减差一样。这个方法要用到地平高度和月亮距离黄道的纬度，用正弦三角形的方法来计算。因为黄道的方位，随着天体自西向东旋转，它升降的角度，总是变化的。如果黄道是正着升起正着落下，北京地区地平线的高度大约是73度多，高度大，那么月亮纬度带来的距限差就小；如果黄道是斜着升起斜着落下，北京地区地平线的高度只有26度多，高度小，那么月亮纬度带来的距限差就大。如果月亮的纬度达到最大值，这个差值可能超过10度。所以，必须计算这个距限差。因此，我们根据北京地区黄道平面象限距地平的高度，逐度计算出不同太阴黄道纬度所对应的距限差，然后做成表格。
首先，北京的限距地平高度是34度，月亮距离黄道的纬度南北各5度，我们要算一下限距差是多少。你看这个图，甲是天顶，乙丙是地平线，丁是黄极，甲丁乙丙连起来是黄道经圈，戊己庚是黄道，在己点和地平线相交，戊点就是黄平象限。戊丙之间的距离就是限距地高34度，和甲丁（天顶到黄极的距离）相等，戊己丙角和乙己庚角是对角，度数也相等。
如果月亮正好在黄道交点上，也就是己点，正好在地平线上，那么戊己之间的距离就是90度。如果超过90度，月亮肯定在地平线以下了。现在假设月亮在黄道以南5度，辛壬癸就是黄道距等圈，月亮在地平线上的位置是壬点，在黄道的卯点上，那么戊卯之间的月距限就小于90度。再假设月亮在黄道以北5度，子丑寅就是黄道距等圈，月亮在地平线上的位置是丑点，在黄道的辰点上，那么戊辰之间的月距限就超过90度了。所以，我们需要计算一下这个差值，来进行加减。
我们用己卯壬这个直角三角形来计算己卯弧的长度。这个三角形里，卯点是直角，己角是限距地高，卯壬弧是月亮距离黄道纬度的长度。我们用己角的正切值作为第一比例，半径作为第二比例，卯壬弧的正切值作为第三比例，然后算出第四比例，也就是距限差的正弦值。查表后，得到7度42分，这就是己卯弧，也就是我们要求的距限差。己辰弧的度数和它一样，因为己辰丑直角三角形和己卯壬三角形都用的是己角，而且辰丑弧（月亮距离黄道的纬度）也和卯壬弧一样长，所以这两个三角形是全等的，因此得到的己卯弧和己辰弧肯定相等。
我们得到了己卯距限差，用90度减去它，得到82度18分，这就是戊卯距限，和距等圈辛壬的度数相对应，是月亮在黄道南面在地平线上的限度。把己辰距限差加到90度上，得到97度42分，这就是戊辰距限，和距等圈子丑的度数相对应，是月亮在黄道北面在地平线上的限度。
一率己角正切
二率半径
三率卯壬弧正切
四率己卯弧正弦
以前算日食，用的是一种老方法，它以黄道平圈为基础算出三个差值。后来，有人考证发现，这三个差值其实都是月亮造成的，而月亮的经纬度是用白道经纬度来表示的。用白道计算比用黄道计算更精确，所以算这三个差值的时候，就应该根据月亮到白道平圈的度数，以及白道高弧交角和月亮的高弧来算。
后来，方法又改进了一下，改成用白道经度高弧交角和太阳距天顶的度数来算这三个差值。而白道经度高弧交角呢，是通过赤经高弧交角加上或减去赤道和白道的交角算出来的。这样就不用再算月亮到白道平圈的度数了，比以前的方法省事多了。现在咱们算视差，是算星星和月亮在黄道上同一条经线上的视距和视时，所以这三个差值应该还是得从黄道平圈算起。
所以说，其实咱们完全可以参考改进后的方法，不用算黄道平圈，直接算黄经高弧交角，也就是黄道高弧交角的余角。但是，如果不先算出月亮到黄道平圈的距离，以及黄道平圈到地平线的距离，还有月亮到黄极的距离，那就没法知道月亮在地平线上方还是下方。所以，现在算交角，得先算出月亮到黄道平圈东西方向的距离、黄道平圈到地平线的高低、以及月亮到黄极的距离。然后，再按照改进后的方法，用斜弧的方法算出赤经高弧交角和太阳距天顶的度数，这样黄经高弧交角和月亮距天顶的度数就能算出来了。
好家伙，这题看着就头大，满满的都是天文术语！咱们一步一步来，慢慢掰扯。
首先，题目给了一堆天文数据，什么黄道经度、月距、黄白交角、黄平象限等等，都是关于日月星辰位置的精确数值。 它说星和月亮的黄道经度都一样，都是申宫二十六度二十二分十一秒。月亮距离正交点还有四十三度四十八分五十六秒，黄白交角是五度四分一十秒，黄平象限是七宫十三度三十七分十七秒，月亮距离地平线的高度是六十五度三十五分三十六秒。 最终目标是算出月亮的实际纬度、黄经高弧交角和月亮到天顶的距离。 图上画了天顶、地平线、赤道、黄道等等，各种坐标系交叉在一起，看得人眼花缭乱。
接下来，它开始一步步讲解计算过程了。 先是用一个叫“寅酉申正弧三角形”的东西，这个三角形里有一个直角，还有黄白交角和月亮距离正交点白道度数。 通过计算，算出了月亮距离黄道的实际纬度是三度三十分二十七秒，是南纬。然后把这个纬度加到黄极的坐标上，算出月亮距离黄极的距离是九十三度三十分二十七秒。
然后，它又用了一个叫“甲卯申斜弧三角形”，这个三角形里包含了天顶到黄极的距离、月亮到黄极的距离，以及一个夹角。 通过计算，算出了黄经高弧交角和月亮到天顶的距离。 为了计算黄经高弧交角，它还先算了一个“甲亥卯正弧三角形”和一个“甲亥申正弧三角形”，用什么“合率比例法”之类的，反正我看着就晕了。 最终，它算出了黄经高弧交角是五十六度二分五十一秒，月亮到天顶的距离是五十三度四十三分二十四秒。
总而言之，这道题就是通过一系列复杂的三角函数计算，最终算出了月亮在天空中的一些精确位置参数。 这计算过程，我看了都头大，估计只有专业的天文学家才能轻松搞定吧！ 反正结论是：黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天顶五十三度四十三分二十四秒。
哎，这图我就不看了，直接说事儿。 要算月亮离星星的距离和月亮遮挡星星的时间，得先搞清楚几个概念。
月亮离地面的高度，从地心算起是“实高”，咱们在地面上看到的则是“视高”。这俩高度不一样，差值就是地球半径造成的。月亮在头顶正上方的时候，距离天顶90度，这时高度差最大，这个差值正好等于地球半径的正弦值。 月亮升高了，离地面的距离也大了，高度差就变小了。这个高度差跟月亮距离天顶的正弦值成正比，所以可以用比例法算出任意时刻的高度差。
有了高度差，就得考虑“视经纬”和“实经纬”的区别了。视经纬是咱们看到的经纬度，实经纬是从地心算的经纬度。视经和实经的差是东西方向的差，视纬和实纬的差是南北方向的差。要算这三个差值，得用日食计算方法里那种直角三角形的方法。以前算这三个差值，得用浑天仪在平面上画图，现在咱们直接用浑天仪的模型来算，算出来的南北差，再跟月亮本身的南北方向的实际纬度一比，就能得到视纬度。有了视纬度，再跟星星的纬度一比，就能知道月亮和星星南北方向的距离了。
算出来的东西方向的差值，跟月亮每小时实际移动的距离成比例，就能算出月亮和星星的视时差，也就是实际观测时间和计算时间的差。 根据月亮和星星的距离，以及东西方向的加减，就能算出月亮遮挡星星的视时，也就是咱们实际能看到的遮挡时间。
1827年3月6日，也就是道光七年壬辰三月初六日癸丑，那天我算了一笔天文账。根据我的计算，当天晚上戌时二刻八分十九秒，月球第四星凌犯。具体数据如下：月球与黄道交角56度2分51秒，月球距天顶53度43分24秒，当天月球最大地半径差60分7秒，月球黄道实纬度南3度30分27秒，第四星黄道纬度南3度11分44秒，月球每小时运行36分33秒。 我要算的是星月相距多少，以及凌犯的具体时间。
我画了个图，甲点代表天顶，甲未辰巳是黄道经圈，辰午巳是地平线，卯是黄极，未午辛是黄道，未点是黄经零度点，未辰弧是月球距地面的高度，和卯甲（黄极距天顶）的度数相等。申点代表月球，子点代表第四星，它们都在黄道上的酉点。酉点就是月球和星星的黄经度，酉未弧是月球距黄经西边的度数，子酉是星星距黄道南纬3度11分44秒，申酉是月球距黄道南实纬3度30分27秒，申卯弧是月球距黄极的度数，甲申戌是高弧，申甲是月球距天顶53度43分24秒，卯申甲角是黄经高弧交角56度2分51秒，而戌申亥角是它的对角，度数相等。这些都是以地心为中心计算的实际度数。
但是，我们在地面上观察，高度会比地心算出来的低一些。月球在地平线附近时，地半径差最大，今天是60分7秒。所以我用后编的算法算了一下高下差，用半径和甲申弧的正弦比，等于最大地半径差和此刻高下差的比，算出此刻的高下差是48分28秒。我用图来表示，申点是月球的视高度，从申点向黄道平行画一条线，就形成了一个申木火直角三角形。因为弧度很小，我就直接用直线算，这和后编计算日食的三个差值的方法一样。这个三角形里，木是直角，申角是黄经高弧交角，申火边是此刻的高下差，我算出木火边是40分12秒（东西差），申木边是27分4秒（南北差）。我把南北差加到月球的实纬度上，得到月球的视纬度是3度57分31秒。再减去星星的纬度，得到子木弧45分47秒，这就是我们看到的月球和第四星之间的距离，月球在星的下面。
星星和月亮都在酉点上，所以它们一定有距离。现在月球的视高度在火点，虽然视纬度差到木点，但和星星的距离还在一度以内。月球的视经度在土点，在酉点的西边，所以还没凌犯。但是土酉的距离和火木差不多，所以我用月球每小时运行的距离和火木的距离（东西差）来算比例，算出它们相距6分，这就是月球运行到火木点的时间。加上月球到达火点的时间，就是亥时初刻十四分十九秒。这就是我们看到月球到达木点，和星星在酉点上重合的时刻。
（图略）
【求视时月距限】
哎，这图上画的是啥啊？我看看……这是在问，要看清月亮，到底需要多长时间啊？
这问题问得挺有意思的。咱们得先搞清楚，这“视时”指的啥。“视”就是看， “时”就是时间。所以，这“视时”就是指观察月亮所需要的时间。至于“月距限”，嘛，就是指能看清月亮的距离极限。简单来说，就是问：离月亮多远，还能看清它？
这得看情况吧，要是用肉眼看，那肯定没那么远。你要是用天文望远镜，那能看得远多了。而且，月亮本身的光亮度、大气状况，都会影响你能不能看清它。 这可不是个简单的问题，得考虑很多因素呢！
要是用高倍率的望远镜，说不定能看到月亮上的环形山呢！想想就觉得酷！不过，这得看望远镜的质量，还有观测环境，比如有没有雾霾，有没有光污染之类的。
总之，这“求视时月距限”的问题，没法给出一个确切的答案。它不是一个简单的数学题，而是一个涉及到天文观测、光学原理、大气条件等等诸多因素的复杂问题。 想要精确计算，得用专业的仪器和复杂的公式才行。
这就像古人说的，“**山重水复疑无路，柳暗花明又一村**”。 看似简单的问题，深入研究起来，却蕴含着丰富的知识。 想要弄明白，还得好好学习天文知识才行！ 说不定，以后还能自己设计一个超级望远镜，看看更远的月亮呢！
你看啊，观测到的月亮距离，一定比实际的月亮距离要大，因为观测到的经度差会有增减，所以月亮和星星随着天球自西向东移动的时候，也会有进有退。这是因为月亮由于地球半径的差异，高度会变化，所以观测到的经度和纬度，肯定和实际的经度纬度不一样。咱们现在以黄道平面象限在天顶南边的地面来说，观测到的纬度总是偏南，如果实际纬度在北边，观测到的纬度就比实际纬度小，差值是减；如果实际纬度在南边，观测到的纬度就比实际纬度大，差值是加。所以，有些星星或月亮，实际距离在一度以内，但观测距离却在一度以外；也有些星星或月亮，实际距离在一度以外，但观测距离却在一度以内。南北相距超过一度的，不考虑凌犯的情况，所以不用管它。
至于观测经度差，它对月亮运行距离的最大影响，可能达到两小时，而在这两小时内，日月星辰随着天球自西向东旋转，差不多转过一个宫，所以观测经度差，和月亮运行的进退有关。如果月亮在黄道平面象限的西边，观测到的经度向西偏移，观测时间就比实际时间晚；如果月亮在黄道平面象限的东边，观测到的经度向东偏移，观测时间就比实际时间早。所以，有时候实际时间星星或月亮还没到地平线，但观测时间星星或月亮已经在地平线以下了；或者实际时间星星或月亮已经在地平线上了，但观测时间星星或月亮还没在地平线上。
因此，在算出实际时间后，我们要把月亮到黄道平面象限的距离和地平线限度比较一下，就能知道这时月亮在地平线之上还是之下。月亮距离小于地平线限度，月亮在地平线上；月亮距离大于地平线限度，月亮在地平线下。如果月亮距离稍微小于地平线限度，实际时间星星或月亮一定在地平线上，但观测时间星星或月亮可能在地平线下，这个差值，就是观测经度差对月亮运行距离影响的日月星辰自西向东旋转的度数。现在我们取最小实际经度和观测经度差所对应的旋转度数作为观测经度差，具体方法见下卷求地平限度那一节。我们用地平线限度减去这个差值，得到观测地平线限度，再和月亮距离限度比较。如果月亮距离限度小于地平线限度但大于观测地平线限度，那就说明实际时间月亮在地平线上，但观测时间月亮在地平线下了；既然知道月亮一定在地平线下，遇到这种情况就不要了。如果月亮距离限度小于观测地平线限度，那就说明观测时间月亮在地平线上。
但是，事情还不止这些，因为我们取的观测经度差都是最小值。如果只知道月亮实际运行轨迹不是通过观测时间得到的，再推算月亮距离限度，那么月亮究竟在地平线上还是地平线下，就很难确定了。所以，在得到观测时间后，一定要仔细观察月亮的实际纬度和实际时间月亮距离限度。如果实际纬度在南边，月亮距离限度超过六十度；或者实际纬度在北边，月亮距离限度超过七十度，而实际时间月亮距离限度在这个限度以内，那么观测时间月亮一定在地平线上。所有这些都要通过观测时间重新计算月亮到黄道平面象限的度数。如果这个度数大于地平线限度，那就是观测时间月亮在地平线下，仍然不用。只有这个度数小于地平线限度，才说明观测时间月亮一定在地平线上，才能用实测结果验证。所以，这个视差必须仔细推算，才能得到可用的结果。
