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作者： Realhistories

分类：清史稿（口语版）

日期：2024年12月21日

创建时间: 2024年12月21日

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道光年间，钦天监秋官正司廷栋写了一份东西，比以前的方法更复杂，加在书的最后，方便大家参考。

咱们算天上的星星啥时候在哪儿，都是先算太阳。算太阳呢，又得先算它的平均运行速度。算星星位置的时候，都是从每天的子正（午夜）开始算。这“子正”指的是太阳平均运行到子正点的时候。现在算时间，虽然用的是太阳实际运行的速度来算比例，但算出来的结果还是基于太阳平均运行的位置。实际运行的位置和平均位置，肯定会有差别。如果太阳在离地平线最低点之后，实际运行速度比平均速度快，那实际位置就比平均位置偏东，时间上来说，就还没到那个点。如果太阳过了最高点之后，实际运行速度比平均速度慢，那实际位置就比平均位置偏西，时间上来说，就过了那个点。所以，如果平均速度算出来的时间要加，那时间差就要减；如果平均速度算出来的时间要减，那时间差就要加。这就是因为太阳有平均和实际运行速度的差别，所以才会有这个时间差。

但是，太阳走的是黄道，咱们算时间是按赤道算的，因为黄道和赤道是斜交的，所以它们同时升起的时间肯定不一样。比如，过了春分秋分之后，赤道比黄道短，时间差就要减，时间上来说，就还没到；过了冬至夏至之后，赤道比黄道长，时间差就要加，时间上来说，就过了。所以，要用三角函数算出黄道和赤道升起时间差，再换算成时间，春分秋分之后要加，冬至夏至之后要减。这就是因为经度有黄道和赤道之分，所以才会有这个升起时间差。

把这两类时间差加加减减，算出来的时间就是最终要用的时间。有了这个时间，才能算其他东西。所以，算日食月食，第一步就是要算这个时间，这是日食月食计算的第一步。具体的计算方法和图解在《考成前编》里讲得很详细，图分两张，其中平均速度时间差图用的是小轮。到了《考成后编》，算平均速度改用椭圆法了，方法在“求均数”那章里讲得很清楚，但是没讲时间差。现在，我根据太阳实际运行位置在黄道上的点，用平均速度的比例找到黄道上的平均位置点，然后用过南北极和冬至夏至经线的等距圆法，把这两个点投影到赤道上，这样就能把两种时间差画到一张图里了。太阳经度对应的时间和两种时间差的加减，都可以从图上查到。

1827年3月6日（道光十二年壬辰三月初六日癸丑），下午2点11分，月亮和司怪星（此处保留原文）的黄经相同，这就是凌犯时刻。当天太阳在黄道上的位置是3宫3度55分，太阳的黄经是3宫15度53分，我们需要计算凌犯的实际时刻。 想象一下，甲是北极，乙丙丁戊是赤道，乙甲丁是子午圈，乙是子正（午夜），丁是午正（正午），己庚辛壬是黄道，丙甲戊是二至经圈，己是冬至，辛是夏至，庚是春分，壬是秋分。子是太阳的视运动点，它在赤道上的投影点是丑，所以丑点就是太阳实际运行到的时刻。卯是太阳平行运动的点，它在赤道上的投影点是辰。卯和子这两个点之间，需要加上1度55分45秒的平均数。我们画两条线，一条从卯到午，一条从子到未，就像等距的圆圈一样，把太阳平行和视运动的度数都投影到赤道上。庚午和庚卯应该相等，但庚子不一定和庚卯相等，赤道的午未和卯子的平均数也应该相等。

经过计算，我们得到7分43秒，这是赤道午未之间的差值，也就是平均时差。接下来，我们用庚丑子正的弧三角形来计算庚丑弧。这个三角形，丑是直角，庚角是黄赤交角23度29分，庚子弧是太阳距春分后在黄道上的度数15度53分。我们假设半径为1，庚角的余弦为2，庚子弧的正切为3，然后计算出庚丑弧的正切为4，查表得到庚丑弧是14度37分36秒，这是太阳距春分后在赤道上的度数。 我们用它减去与庚子黄道弧相等的庚未弧，得到丑未弧1度15分24秒，这是需要减去的黄赤升度差。计算后得到5分2秒，这是升度时差。

因为太阳平行运动的点卯，到春分的庚卯弧和庚午弧相等，所以午点就是平时，也就是凌犯时刻。而太阳视运动的点子，到春分的庚子弧和庚未弧相等，所以午未就是平行运动和视运动的差值。如果按照太阳自东向西旋转来看，视运动已经超过了平行运动；但如果按照天体自西向东旋转来看，视运动还没达到平行运动。所以未点比午点要早，因此要从午点凌犯时刻减去午未的平均时差，才能得到未点时刻，这是太阳在黄道上投影到赤道上的时刻。但是，子点太阳实际在赤道的丑点，所以丑未就是黄道和赤道的差值。如果按照经度东行来看，赤道还没到黄道；但按照时刻西行来看，赤道已经超过黄道了。所以丑点比未点要晚，因此必须加上丑未的升度时差，才能得到丑点时刻，也就是太阳在黄道上实际到达赤道上的时刻。

这两个时差一个是加一个是减，而且减去的数值大于加上去的数值，所以先把两个时差相减，得到2分41秒，这就是时差（因为两个时差的符号相反，所以相减；如果符号相同则相加。两个数合并成一个数）。然后从午点凌犯时刻下午2点11分减去这个时差，就得到丑点时刻：下午2点8分19秒，这就是凌犯的实际时刻。

这段文字描述的是一种数学计算方法，看起来像是某种三角函数的计算步骤，用的是一种比较古老的表达方式。“一率半径”、“二率庚角余弦”等等，听着就挺专业，而且还带点神秘感。具体来说，它可能在描述某种几何图形的计算，用“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”这些术语来表示角度和弧度。可惜没有图，不然就能更清楚地理解了。

“一率半径”，第一步骤就是用半径作为基准。这就好比我们做数学题，先得把已知条件都列出来一样。

“二率庚角余弦”，第二步是计算庚角的余弦值。这部分就涉及到三角函数了，需要用到余弦这个概念。 “庚角”指的是一个特定的角度，具体是多少度，得看图才能知道。

“三率庚子弧正切”，第三步计算庚子弧的正切值。“庚子弧”应该指的是某个弧，它的长度或者角度，跟庚角有关系。正切也是三角函数的一种。

“四率庚丑弧正切”，最后一步是计算庚丑弧的正切值。“庚丑弧”同样指的是某个弧，跟前面提到的庚子弧可能有关联。

总而言之，这段话描述了一个四步的计算过程，每一步都涉及到三角函数的计算，并且使用了特殊的角度和弧度命名方式，例如“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”。 可惜没有图，不然就能明白这些“庚角”、“庚子弧”、“庚丑弧”到底指什么了，就能完全理解这个计算过程了。 要是能看到图，估计就能轻松算出结果了。

好家伙，这算命可真讲究！先说，他要算个什么“凌犯时刻”，也就是某个星象出现的时间。他给出了太阳在黄道和赤道上的位置，像“太阳引数三宫十三度二十九分，黄道实行三宫二十五度三十四分”这种，听着就头大。然后他说，如果太阳在赤道上的位置是丑时，那这个丑时就是我们要找的时间。

要是太阳在赤道上的位置是辰时，那就要加一个修正值，这个值是“一度五十二分二十五秒”。他画了个图，说通过一些几何关系，可以算出这个修正值，而且这个修正值正好抵消了另一个修正值，所以最后算出来的凌犯时刻就是我们要的结果。“两时差之数相等，必减尽无余，即无时差之总数矣。” 他这意思就是说，两个误差互相抵消了，所以最终结果很精确。

接下来，他开始用具体例子解释怎么算。他画了两条线，然后说通过计算，得到一个修正值是“七分三十秒”，这个值要加到或者减到赤道上的时间里。他又用三角形算了个东西，结果又得到一个“七分三十秒”，这个要加或者减到赤道上的时间里。关键是，这两个七分三十秒，一个是加，一个是减，正好抵消了！所以，凌犯时刻就等于我们算出来的那个时间。

他解释说，之所以能这样，是因为太阳在黄道上的位置和在赤道上的位置之间存在某种关系。“此法以丑点凌犯时刻减去均数时差，得未点实行虚映之时刻，而复加相等之升度时差，所得用时，固仍在丑点之位，盖因太阳平行距春分后黄道度等于太阳实行距春分后赤道度故也。” 这段话的意思是，先减去一个误差，再加回一个等值的误差，最终结果还是原来的时间。

如果太阳正好在黄道上最高点或者最低点，那就简单了，不用考虑那个“均数时差”，只需要考虑另一个误差就行了。比如，如果太阳在黄道上的最低点，也就是子时，那就要用一个三角形计算出误差，然后从子时减去这个误差，就能得到最终的凌犯时刻。“以庚丑子正弧形求得丑乙黄赤升度差。变时减于乙点时刻，即得丑点用时，乃在乙点子正之前也。” 他这意思就是，算出误差后，从乙时减去这个误差，就能得到最终的丑时。如果太阳在黄道上的最高点，也就是午时，道理也是一样的，只是要用另一个三角形计算误差，然后从丁时减去这个误差，就能得到最终的寅时。“以壬寅午正弧形求得寅丁黄赤升度差，变时减于丁点时刻，即得寅点用时，乃在丁点午正之前也。” 总之，这套算法，看着复杂，其实核心就是各种误差的抵消。

你看啊，就像太阳运行到冬至、夏至、春分、秋分这四个点的时候，黄道和赤道之间就没有偏差了，所以也就没有因为位置变化导致的时间差，只需要加上或减去一个平均时间差就行了。

假设太阳运行到六宫的第一个度数，也就是夏至的时候，它在黄道上的辛点，对应赤道上的戊点，同时平行于卯点，对应赤道上的辰点。从卯点到丙、甲、戊点，再到经过极点与子午圈平行的卯午等距圆圈，那么午点就是太阳凌犯的时刻。这时候戊午和辛卯的平均值相等，通过计算就能得到平均时间差。从午点减去这个平均时间差，就能得到戊点对应的时间。

接下来，我们要算春分时太阳距离午时的度数、黄道和赤道的象限宫度，以及太阳高度角。 “春分距午时分、黄平象限宫度及限距地高” 这几个数据需要计算出来。

咱们先说算月亮遮挡星星（凌犯）的时候，位置偏差的事儿。这跟算日食的偏差方法差不多，但用起来不一样。日食的东、西偏差是算视距弧的，南、北偏差是算视纬的，这两个值再用来算视相距和视运动。因为月亮沿着白道（月亮运行的轨道）走，所以必须用白道上的平象限（白道上与地平线相交的点）来作为参考。

但是，算行星之间距离或者行星与恒星距离的时候，都是用它们在黄道（太阳运行的轨道）上经度相同的时候作为计算时间的依据，然后根据黄纬（南北方向的距离）的差异来算它们的高低位置。算月亮和行星、月亮和恒星的距离也是一样，都用黄道经度相同的时候作为凌犯发生的时间，根本不管白道经度，那白道平象限跟这有啥关系呢？可是，算东西偏差来确定时间先后，算南北偏差来确定视纬大小和距离远近的时候，用的偏差都是黄道经纬的偏差，所以必须用黄道平象限的度数作为参考。黄道平象限，就是地平线上黄道（太阳运行的轨道）一半的中间点。

问题是，黄道和赤道是斜交的，地平线上赤道一半的中间点，总是正对着子午圈（南北方向的线），但地平线上黄道一半的中间点，位置却一直在变。这是因为黄极（黄道与天球相交的两点之一）每天都随着天球自西向东旋转，绕着赤极（地球自转轴在天球上的投影）转一圈。如果黄极在赤极南边，冬至的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着升起斜着落下；如果黄极在赤极北边，夏至的时候正午太阳就在正南，黄道就正着升起正着落下，黄平象限也正好在子午圈上；如果黄极在赤极西边，春分的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着从东北升起，从西南落下，黄平象限就在正午的东边；如果黄极在赤极东边，秋分的时候正午太阳就在正南，黄道就斜着从东南升起，从西北落下，黄平象限就在正午的西边。

所以，黄道的方向，时刻都在变化，因此要根据黄道的度数变化，推算出黄平象限的位置和它到地平面的高度，然后才能列出表格。

首先，假设太阳正好位于春分点，黄道坐标是三宫的起始度数。我们要算出中午正午时刻黄平象限的宫度和地平高度。如图所示，甲乙丙丁是子午圈，甲是天顶，丙丁是地平线，乙是北极，乙丙是北京的北极高度，是39度55分。戊己庚是赤道，与地平线交于己点，戊点是正午时分，位于地平线上赤道周长的一半处，戊丁是赤道的地平高度，是50度5分。在戊己丁角处，辛子壬是黄极圈，子是黄极，乙子己丑是过极子午圈，戊丑庚是黄道，与地平线交于寅点，庚是秋分，丑是冬至，戊是春分，也就是太阳现在的位置。太阳位于正午，所以没有春分距午的时间差。

接下来，我们从黄极子点画一条弧线经过天顶，构成子甲卯黄道经圈，这就是我们现在要算的黄平象限。辰点是地平线上黄道周长的一半处，位于正午的东边，也就是黄平象限的宫度。辰寅卯角是黄道与地平线相交的角，辰卯弧就是现在要算的地平高度。我们用戊辰甲正弧三角形来计算戊辰和甲辰两条弧的长度。这个三角形在辰点是直角，戊甲弧是赤道到天顶的距离（等于北极高度乙丙）。在赤道与子午圈交点戊的直角90度里减去己戊丑角（黄赤交角23度29分），得到寅戊丁角66度31分，这是黄道与子午圈的交角（也叫黄道赤经交角），它与辰戊甲角是对角，度数相等。

我们用半径为1，戊角（黄道赤经交角）的余弦为2，戊甲弧（太阳距天顶）的正切为3，求出第四个值，就是黄平象限距午的正切值。查表得到18度26分14秒，这是戊辰弧，也就是黄平象限距正午的黄道度数。把它加上戊点（春分三宫），（因为黄平象限在午东，所以要加），得到辰点是三宫18度26分14秒，这就是这个时刻黄平象限的经度。再用半径为1，戊角（黄道赤经交角）的正弦为2，戊甲弧（太阳距天顶）的正弦为3，求出第四个值，就是黄平象限距天顶的正弦值。查表得到36度3分9秒，这是甲辰弧，也就是黄平象限距天顶的高度。用甲卯象限90度减去它，得到辰卯弧53度56分51秒，这就是这个时刻的地平高度，也就是辰寅卯角的度数。

首先，这堆数字和符号看起来像天文计算公式，咱先不管它，直接看后面的故事。 “一率半径…四率甲辰弧正弦”（这段保留原文，因为这是计算公式）。 总之，这是在算一个很复杂的数学题，跟天文观测有关。

接下来，假设太阳正好在秋分点，也就是黄道九宫的起始点。我们要算的是：春分点在正午的时候，距离正南方向（午时）有多远，以及它在黄道坐标系和地平坐标系中的位置和高度。 我们先把秋分点当成正午的参考点（戊），然后黄道（庚未戊）就和地平线（寅）相交了。庚代表春分，未代表夏至，子乙未己这些点构成一个过极点的经圈，从北天极（子）出发，穿过天顶，形成一个子甲卯弧，这就是黄道坐标系中的一个象限。而地平线上黄道的中点（辰）在正午的西边。

我们先算春分点距离正午西边有多远，这可以用春分点到正午之间赤道半周的距离来换算成时间，也就是春分点距离正午的时间差。然后，再利用前面那些复杂的三角函数公式（“一率半径…四率甲辰弧正弦”），计算出戊辰弧和甲弧的长度。 这个三角形里，辰是直角，戊甲是赤道距离天顶的距离。 从戊点直角里减去己戊未角（黄赤交角），就能得到辰戊甲角（黄道赤经交角），这个角是66度31分。 通过计算，我们得到戊辰弧（黄平象限距离正午的黄道度数）是18度26分14秒。

因为黄平象限在正午的西边，所以我们要从秋分点（戊点，九宫）的经度减去这个18度26分14秒，得到辰点（八宫十一度三十三分四十六秒），这就是当时黄平象限的经度。 再算一下甲辰弧和甲卯象限的差值，得到辰卯弧，也就是53度56分51秒，这就是当时春分点的高度，也就是辰寅卯角的度数。 总之，经过一系列复杂的计算，我们最终算出了春分点在特定时刻的经度和高度。

好家伙，这题有点难度啊，全是天文计算！咱们一句一句地来，慢慢啃。

首先，假设太阳在春分后30度的位置，黄道坐标是四宫的起始点（0度），我们要算出正午时刻（午正初刻）黄平象限的各种数值。 先确定太阳的位置，在黄道上，辛、壬、癸三个点代表黄道，黄道和地平线交于寅位。丑是冬至，壬是春分，乙子丑是经过极点的天球经圈。然后，从黄极的子点（北天极）经过天顶的甲点，画一条子甲卯弧，这条弧代表黄平象限，太阳的位置（辰点）在正午的东边。

接下来就是复杂的计算了。先用辛、戊、壬组成的直角三角形（戊是直角），计算壬戊弧、辛戊弧以及壬辛戊角。这个三角形里，壬角是黄赤交角，壬辛弧是太阳在春分后黄道上的30度弧长。 计算方法是：用半径为1，黄赤交角的余弦为2，黄道弧的正切为3，算出第四个值，就是赤道弧的正切。查表得到27度54分10秒，这就是壬戊弧（赤道同升度），也就是春分点到正午后赤道上的度数。换算成时间，是1时51分37秒，也就是春分点到正午的时间差。

然后，再用半径为1，黄赤交角的正弦为2，黄道弧的正弦为3，算出第四个值，是黄赤距度的正弦。查表得到11度29分33秒，这就是辛戊弧，也就是太阳距离赤道的北纬度。 接着，用黄道弧的余弦为1，黄赤交角的余切为2，半径为3，算出第四个值，是黄道与子午圈夹角的正切。查表得到69度22分51秒，这就是壬辛戊角，也就是黄道赤经交角。

接下来，用辛、辰、甲组成的直角三角形（辰是直角）计算辛辰弧和甲辰弧。这个三角形里，辛角和壬辛戊角互为对顶角，度数相等。用甲戊弧（赤道距天顶）减去辛戊弧（黄赤距度），得到甲辛弧28度25分27秒，这就是太阳到天顶的距离。 然后，用半径为1，辛角（黄道赤经交角）的余弦为2，甲辛弧（太阳距天顶）的正切为3，算出第四个值，是黄平象限距午正的正切。查表得到10度47分28秒，这就是辛辰弧，也就是黄平象限距正午的黄道度数。因为黄平象限在正午的东边，所以要加上这个数值。最终得到辰点坐标：四宫10度47分28秒，这就是正午时刻黄平象限的经度。

最后，用半径为1，辛角（黄道赤经交角）的正弦为2，甲辛弧（太阳距天顶）的正弦为3，算出第四个值，是黄平象限距天顶的正弦。查表得到26度27分20秒，这就是甲辰弧，也就是黄平象限距天顶的度数。用90度（甲卯象限）减去这个数值，得到63度32分40秒，这就是辰卯弧，也就是正午时刻黄平象限的高度，也就是辰寅卯角的度数。

这整个过程，简直就是一场数学盛宴啊！ 佩服古代天文学家的计算能力！

首先，咱们得算几个三角函数。第一组：半径、壬角的余弦、壬角的正切、壬戊弧的正切。第二组：半径、壬角的正弦、壬辛弧的正弦、辛戊弧的正弦。第三组：壬辛弧的余弦、壬角的余切、半径、辛角的正切。第四组：半径、辛角的余弦、甲辛弧的正切、辛辰弧的正切。第五组：半径、辛角的正弦、甲辛弧的正弦、甲辰弧的正弦。 这些都是一些数学计算，具体步骤我就不细说了，总之就是用这些数据进行一系列的三角函数运算。

接下来，咱们要算太阳的位置。假设太阳距离秋分点30度，黄道运行到八宫初度。我们要算出正午时刻黄平象限的各种数值。 太阳在辛点，正午的时候在正南方向；秋分点（申点）在正东方向；春分点（壬点）在正西方向；夏至点（未点）在正北方向；子、乙、未这些点构成了过极至经圈，从黄极的子点经过天顶。我们用子、甲、卯弧来表示当时的黄平象限，它位于正西方向。

我们用辛戊申正弧三角形来计算。这个三角形里，戊点是直角，申角是黄赤交角，申辛弧（黄道弧）是30度。算出来申戊弧（赤道同升度）是27度54分10秒。用这个数值减去壬申弧（赤道半周），得到壬戊弧（5宫2度5分50秒），这就是当时春分点距离正午点的赤道度数。换算成时间，是10时8分23秒，也就是当时春分点距离正午的时间。

然后，我们用辛辰甲正弧三角形来计算。辰点是直角，辛角是黄道赤经交角，甲辛弧是太阳距离天顶的度数，这些度数和之前的都一样。算出来辛辰弧（黄平象限距离正午黄道度数）是10度47分28秒。因为黄平象限在正西，所以要从辛点（八宫初度）减去这个数值。 这样算出来辰点的位置是7宫19度12分32秒，这就是当时黄平象限的经度。

最后，我们算出甲辰弧，再用甲卯象限减去甲辰弧，得到辰卯弧，是63度32分40秒。 这就是当时黄平象限距离地平的高度，也等于辰寅卯角的度数。 总而言之，通过一系列复杂的三角函数计算，我们最终得到了太阳在正午时刻的具体位置和相关参数。

好家伙，这堆数字和术语，看着就头大！咱们一句一句地捋捋，慢慢来。

首先，他设定太阳在正午的时候，春分点（就是太阳直射赤道的那天）在距离春分点前30度的第二个宫位开始。然后，他用辛点（应该是某个天文点）表示正午的太阳位置，春分点（壬点）就在正午太阳的东边。申是秋分，丑是冬至，乙子丑代表了太阳经过极点的那条经线，子甲卯（也是一些天文点）也在正午太阳的东边。

接下来，他用一个辛戊壬组成的直角三角形来计算。这个三角形里，戊是直角，壬角是黄赤交角（黄道和赤道的夹角），壬辛弧长30度。通过计算，他算出了壬戊弧（赤道上的弧长）是27度54分10秒。用赤道周长减去这个值，得到11宫2度5分50秒，这是春分点在正午后赤道上的位置。换算成时间，就是22时8分23秒，也就是春分点距离正午的时间。他还算出了辛戊弧（11度29分33秒），这是太阳距离赤道南纬的度数，以及壬辛戊角（69度22分51秒），这是黄道和赤经的交角。

然后，他又用了一个辛辰甲组成的直角三角形。这个三角形里，辰是直角，辛是角度。他把甲戊赤道距天顶和辛戊黄赤距度加起来，得到甲辛弧（太阳距天顶）是51度24分33秒。然后，他用一系列比例计算（一率半径，二率辛角余弦，三率甲辛弧正切，求得四率，为黄平象限距午之正切），最终算出辛辰弧（黄平象限距午正的黄道度数）是23度48分40秒。把这个值加上辛点在二宫的初始度数，得到辰点在二宫的位置是23度48分40秒，这就是黄平象限的经度。最后，他又用类似的方法（一率半径，二率辛角正弦，三率甲辛弧正弦，求得四率，为甲辰弧黄平象限距天顶之正弦），算出了卯辰弧（本时限距地高）是42度59分1秒。

总而言之，这段文字描述的是一系列复杂的三角函数计算，目的是为了确定春分点等天文位置在特定时刻的经度和高度。 用现代话来说，就是他在用三角学的方法计算天体的坐标。 那些“一率”、“二率”之类的，其实就是比例系数，方便他进行计算。 整个过程相当复杂，需要很强的数学和天文知识才能理解。

好家伙，这段话讲的是天文计算，看着就头大！咱们一句一句掰扯掰扯。

首先，它说把太阳正午的时候定为一个基准点，然后呢，秋分点在正午之后三十度的地方，就当做是第十宫的起始点。 然后根据这个点，算出冬至点（辛点）在正午的时候，申点（秋分）就在正午之后，那春分点肯定就在正午之前了。夏至点（子乙未）过了极点，子甲卯（某个时间点）在正午的西边。 计算方法还是用辛戊申正弧三角形，这个三角形的边角和之前那个辛戊壬三角形一样，只是申戊弧多出来一个小时五十一分三十七秒，这是秋分点在正午之后的时间。加上赤道半周的十二小时，就得到春分点在正午之前的时间：十三小时五十一分三十七秒。

接下来，它又用辛辰甲正弧三角形，这个三角形的边角和之前那个辛辰甲三角形也一样，但是因为辰点在辛点的西边，所以要从第十宫的起始度数里减去辛辰弧的二十三度四十八分四十秒，最后得到九宫六度十一分二十秒，这就是当时的黄平象限的经度。辰卯弧限距地高四十二度五十九分一秒，跟之前的数值一样。 所以说，计算每个度数都要参考春分和秋分前后相对的度数。 计算太阳正午时距天顶的距离，要分南北纬度来算；计算黄平象限宫度的增减，要以冬至和夏至为界限。

因为冬至过了正午在西边，黄平象限总是在正午的东边；夏至过了正午在西边，黄平象限总是在正午的西边。这就是加减法怎么确定的原因。

好家伙，这题目够复杂的！咱们一步一步来，慢慢捋清楚。

首先，题目给出了太阳的黄道经度是三宫十六度四十四分，时间是戌正二刻八分十九秒（也就是晚上七点零八分十九秒）。 然后，它要求算出春分到中午的时间差，以及黄平象限的经度和地平高度。 这可不是简单的加减法，得用三角函数来算。

接下来，题目解释了几个关键点：申辛壬癸代表黄道，寅是黄道交地平点，壬是春分，丑是夏至，申是秋分，子乙丑亥是过二极二至的经圈。 然后它画了一个图，用子甲卯来表示黄道经圈，说太阳在春分后的未点，也就是赤道上的午点。 计算时间的时候，要从子正（午夜）开始算。

第一步，它用未午壬正弧三角形来算壬午弧，也就是太阳距春分后在赤道上的度数。 这个三角形里，午角是直角，壬角是黄赤交角（23度29分），壬未弧是太阳距春分后的黄道度数（16度44分）。 算出来壬午弧是15度24分58秒。 然后把这个弧度转换成时间，得到一小时一分四十秒。 加上午点的时间，得到春分距子正（午夜）的时间是21小时39分59秒。 再减去12小时，得到春分距午时（中午）的时间是9小时39分59秒。

第二步，因为春分距午后的度数已经超过象限，所以它用申戊辛正弧三角形来计算。 这个三角形里，戊角是直角，申角是黄赤交角，申戊弧是秋分距午前时分所变的赤道度数（35度05分）。 通过计算，得到戊辛弧（正午黄赤距度）是13度59分40秒，申辛戊角（黄道交子午圈角）是70度56分58秒，申辛弧（秋分距午正前黄道度）是37度21分50秒。 然后用秋分所在的九宫减去这个度数，得到辛点正午黄道经度是七宫二十二度三十八分一十秒。

第三步，用甲辰辛正弧三角形计算辛辰弧和甲辰弧。 这个三角形里，辰角是直角，辛角是黄道赤经交角。 利用京师赤道距天顶的度数（39度55分）减去正午黄赤距度，得到甲辛弧（正午黄道距天顶度）是25度55分20秒。 然后算出辛辰弧（黄平象限距午西的黄道度）是9度05分13秒，和甲辰弧（黄平象限距天顶的度数）是24度24分24秒。 最后，用辛点正午黄道经度减去辛辰弧，得到本时黄平象限的经度是七宫十三度三十七分十七秒；用甲卯象限减去甲辰弧，得到本时黄平象限距地平的高度是65度35分36秒。

总而言之，这道题目的计算过程相当复杂，需要运用球面三角学的知识。 我尽量用通俗的语言解释了每一步的计算过程和含义，但要完全理解，还需要具备一定的数学和天文知识。

这“距限差”啊，说白了就是月亮距离黄道平面的象限的差值。以前算月亮距离地平线的时候，都是按90度来算的。因为黄道（太阳运行的路径）在天球上倾斜着，它对着我们的方向总在变，而在地平线上能看到的黄道总是半个圆周，它正中间的点，距离地平线东西方向都是90度。所以就用90度来判断月亮在地平线上还是地平线下，如果月亮距离这个90度限度超过了，就说明在地平线下，不用计算了。但这方法是以黄道为基础的。

但是，月亮的实际运行轨道（白道）和黄道是斜交的，月亮在白道上运行，它距离黄道的南北纬度总在变化。如果月亮在黄道以南，它升起得晚，落下得早；当月亮经过地平线的时候，它距离黄道平面的象限还不到90度。如果月亮在黄道以北，它升起得早，落下得晚；当月亮经过地平线的时候，它距离黄道平面的象限已经超过90度了。所以，简单的用90度来衡量就不够准确了。

于是就有了计算这个差值的方法，就像计算五星（金木水火土）出现时距离太阳的限度，也要考虑加减差一样。这个方法要用到地平高度和月亮距离黄道的纬度，用正弦三角形的方法来计算。因为黄道的方位，随着天体自西向东旋转，它升降的角度，总是变化的。如果黄道是正着升起正着落下，北京地区地平线的高度大约是73度多，高度大，那么月亮纬度带来的距限差就小；如果黄道是斜着升起斜着落下，北京地区地平线的高度只有26度多，高度小，那么月亮纬度带来的距限差就大。如果月亮的纬度达到最大值，这个差值可能超过10度。所以，必须计算这个距限差。因此，我们根据北京地区黄道平面象限距地平的高度，逐度计算出不同太阴黄道纬度所对应的距限差，然后做成表格。

首先，北京的限距地平高度是34度，月亮距离黄道的纬度南北各5度，我们要算一下限距差是多少。你看这个图，甲是天顶，乙丙是地平线，丁是黄极，甲丁乙丙连起来是黄道经圈，戊己庚是黄道，在己点和地平线相交，戊点就是黄平象限。戊丙之间的距离就是限距地高34度，和甲丁（天顶到黄极的距离）相等，戊己丙角和乙己庚角是对角，度数也相等。

如果月亮正好在黄道交点上，也就是己点，正好在地平线上，那么戊己之间的距离就是90度。如果超过90度，月亮肯定在地平线以下了。现在假设月亮在黄道以南5度，辛壬癸就是黄道距等圈，月亮在地平线上的位置是壬点，在黄道的卯点上，那么戊卯之间的月距限就小于90度。再假设月亮在黄道以北5度，子丑寅就是黄道距等圈，月亮在地平线上的位置是丑点，在黄道的辰点上，那么戊辰之间的月距限就超过90度了。所以，我们需要计算一下这个差值，来进行加减。

我们用己卯壬这个直角三角形来计算己卯弧的长度。这个三角形里，卯点是直角，己角是限距地高，卯壬弧是月亮距离黄道纬度的长度。我们用己角的正切值作为第一比例，半径作为第二比例，卯壬弧的正切值作为第三比例，然后算出第四比例，也就是距限差的正弦值。查表后，得到7度42分，这就是己卯弧，也就是我们要求的距限差。己辰弧的度数和它一样，因为己辰丑直角三角形和己卯壬三角形都用的是己角，而且辰丑弧（月亮距离黄道的纬度）也和卯壬弧一样长，所以这两个三角形是全等的，因此得到的己卯弧和己辰弧肯定相等。

我们得到了己卯距限差，用90度减去它，得到82度18分，这就是戊卯距限，和距等圈辛壬的度数相对应，是月亮在黄道南面在地平线上的限度。把己辰距限差加到90度上，得到97度42分，这就是戊辰距限，和距等圈子丑的度数相对应，是月亮在黄道北面在地平线上的限度。

一率己角正切

二率半径

三率卯壬弧正切

四率己卯弧正弦

以前算日食，用的是一种老方法，它以黄道平圈为基础算出三个差值。后来，有人考证发现，这三个差值其实都是月亮造成的，而月亮的经纬度是用白道经纬度来表示的。用白道计算比用黄道计算更精确，所以算这三个差值的时候，就应该根据月亮到白道平圈的度数，以及白道高弧交角和月亮的高弧来算。

后来，方法又改进了一下，改成用白道经度高弧交角和太阳距天顶的度数来算这三个差值。而白道经度高弧交角呢，是通过赤经高弧交角加上或减去赤道和白道的交角算出来的。这样就不用再算月亮到白道平圈的度数了，比以前的方法省事多了。现在咱们算视差，是算星星和月亮在黄道上同一条经线上的视距和视时，所以这三个差值应该还是得从黄道平圈算起。

所以说，其实咱们完全可以参考改进后的方法，不用算黄道平圈，直接算黄经高弧交角，也就是黄道高弧交角的余角。但是，如果不先算出月亮到黄道平圈的距离，以及黄道平圈到地平线的距离，还有月亮到黄极的距离，那就没法知道月亮在地平线上方还是下方。所以，现在算交角，得先算出月亮到黄道平圈东西方向的距离、黄道平圈到地平线的高低、以及月亮到黄极的距离。然后，再按照改进后的方法，用斜弧的方法算出赤经高弧交角和太阳距天顶的度数，这样黄经高弧交角和月亮距天顶的度数就能算出来了。

好家伙，这题看着就头大，满满的都是天文术语！咱们一步一步来，慢慢掰扯。

首先，题目给了一堆天文数据，什么黄道经度、月距、黄白交角、黄平象限等等，都是关于日月星辰位置的精确数值。 它说星和月亮的黄道经度都一样，都是申宫二十六度二十二分十一秒。月亮距离正交点还有四十三度四十八分五十六秒，黄白交角是五度四分一十秒，黄平象限是七宫十三度三十七分十七秒，月亮距离地平线的高度是六十五度三十五分三十六秒。 最终目标是算出月亮的实际纬度、黄经高弧交角和月亮到天顶的距离。 图上画了天顶、地平线、赤道、黄道等等，各种坐标系交叉在一起，看得人眼花缭乱。

接下来，它开始一步步讲解计算过程了。 先是用一个叫“寅酉申正弧三角形”的东西，这个三角形里有一个直角，还有黄白交角和月亮距离正交点白道度数。 通过计算，算出了月亮距离黄道的实际纬度是三度三十分二十七秒，是南纬。然后把这个纬度加到黄极的坐标上，算出月亮距离黄极的距离是九十三度三十分二十七秒。

然后，它又用了一个叫“甲卯申斜弧三角形”，这个三角形里包含了天顶到黄极的距离、月亮到黄极的距离，以及一个夹角。 通过计算，算出了黄经高弧交角和月亮到天顶的距离。 为了计算黄经高弧交角，它还先算了一个“甲亥卯正弧三角形”和一个“甲亥申正弧三角形”，用什么“合率比例法”之类的，反正我看着就晕了。 最终，它算出了黄经高弧交角是五十六度二分五十一秒，月亮到天顶的距离是五十三度四十三分二十四秒。

总而言之，这道题就是通过一系列复杂的三角函数计算，最终算出了月亮在天空中的一些精确位置参数。 这计算过程，我看了都头大，估计只有专业的天文学家才能轻松搞定吧！ 反正结论是：黄经高弧交角五十六度二分五十一秒，月距天顶五十三度四十三分二十四秒。

哎，这图我就不看了，直接说事儿。 要算月亮离星星的距离和月亮遮挡星星的时间，得先搞清楚几个概念。

月亮离地面的高度，从地心算起是“实高”，咱们在地面上看到的则是“视高”。这俩高度不一样，差值就是地球半径造成的。月亮在头顶正上方的时候，距离天顶90度，这时高度差最大，这个差值正好等于地球半径的正弦值。 月亮升高了，离地面的距离也大了，高度差就变小了。这个高度差跟月亮距离天顶的正弦值成正比，所以可以用比例法算出任意时刻的高度差。

有了高度差，就得考虑“视经纬”和“实经纬”的区别了。视经纬是咱们看到的经纬度，实经纬是从地心算的经纬度。视经和实经的差是东西方向的差，视纬和实纬的差是南北方向的差。要算这三个差值，得用日食计算方法里那种直角三角形的方法。以前算这三个差值，得用浑天仪在平面上画图，现在咱们直接用浑天仪的模型来算，算出来的南北差，再跟月亮本身的南北方向的实际纬度一比，就能得到视纬度。有了视纬度，再跟星星的纬度一比，就能知道月亮和星星南北方向的距离了。

算出来的东西方向的差值，跟月亮每小时实际移动的距离成比例，就能算出月亮和星星的视时差，也就是实际观测时间和计算时间的差。 根据月亮和星星的距离，以及东西方向的加减，就能算出月亮遮挡星星的视时，也就是咱们实际能看到的遮挡时间。

1827年3月6日，也就是道光七年壬辰三月初六日癸丑，那天我算了一笔天文账。根据我的计算，当天晚上戌时二刻八分十九秒，月球第四星凌犯。具体数据如下：月球与黄道交角56度2分51秒，月球距天顶53度43分24秒，当天月球最大地半径差60分7秒，月球黄道实纬度南3度30分27秒，第四星黄道纬度南3度11分44秒，月球每小时运行36分33秒。 我要算的是星月相距多少，以及凌犯的具体时间。

我画了个图，甲点代表天顶，甲未辰巳是黄道经圈，辰午巳是地平线，卯是黄极，未午辛是黄道，未点是黄经零度点，未辰弧是月球距地面的高度，和卯甲（黄极距天顶）的度数相等。申点代表月球，子点代表第四星，它们都在黄道上的酉点。酉点就是月球和星星的黄经度，酉未弧是月球距黄经西边的度数，子酉是星星距黄道南纬3度11分44秒，申酉是月球距黄道南实纬3度30分27秒，申卯弧是月球距黄极的度数，甲申戌是高弧，申甲是月球距天顶53度43分24秒，卯申甲角是黄经高弧交角56度2分51秒，而戌申亥角是它的对角，度数相等。这些都是以地心为中心计算的实际度数。

但是，我们在地面上观察，高度会比地心算出来的低一些。月球在地平线附近时，地半径差最大，今天是60分7秒。所以我用后编的算法算了一下高下差，用半径和甲申弧的正弦比，等于最大地半径差和此刻高下差的比，算出此刻的高下差是48分28秒。我用图来表示，申点是月球的视高度，从申点向黄道平行画一条线，就形成了一个申木火直角三角形。因为弧度很小，我就直接用直线算，这和后编计算日食的三个差值的方法一样。这个三角形里，木是直角，申角是黄经高弧交角，申火边是此刻的高下差，我算出木火边是40分12秒（东西差），申木边是27分4秒（南北差）。我把南北差加到月球的实纬度上，得到月球的视纬度是3度57分31秒。再减去星星的纬度，得到子木弧45分47秒，这就是我们看到的月球和第四星之间的距离，月球在星的下面。

星星和月亮都在酉点上，所以它们一定有距离。现在月球的视高度在火点，虽然视纬度差到木点，但和星星的距离还在一度以内。月球的视经度在土点，在酉点的西边，所以还没凌犯。但是土酉的距离和火木差不多，所以我用月球每小时运行的距离和火木的距离（东西差）来算比例，算出它们相距6分，这就是月球运行到火木点的时间。加上月球到达火点的时间，就是亥时初刻十四分十九秒。这就是我们看到月球到达木点，和星星在酉点上重合的时刻。

（图略）

【求视时月距限】

哎，这图上画的是啥啊？我看看……这是在问，要看清月亮，到底需要多长时间啊？

这问题问得挺有意思的。咱们得先搞清楚，这“视时”指的啥。“视”就是看， “时”就是时间。所以，这“视时”就是指观察月亮所需要的时间。至于“月距限”，嘛，就是指能看清月亮的距离极限。简单来说，就是问：离月亮多远，还能看清它？

这得看情况吧，要是用肉眼看，那肯定没那么远。你要是用天文望远镜，那能看得远多了。而且，月亮本身的光亮度、大气状况，都会影响你能不能看清它。 这可不是个简单的问题，得考虑很多因素呢！

要是用高倍率的望远镜，说不定能看到月亮上的环形山呢！想想就觉得酷！不过，这得看望远镜的质量，还有观测环境，比如有没有雾霾，有没有光污染之类的。

总之，这“求视时月距限”的问题，没法给出一个确切的答案。它不是一个简单的数学题，而是一个涉及到天文观测、光学原理、大气条件等等诸多因素的复杂问题。 想要精确计算，得用专业的仪器和复杂的公式才行。

这就像古人说的，“**山重水复疑无路，柳暗花明又一村**”。 看似简单的问题，深入研究起来，却蕴含着丰富的知识。 想要弄明白，还得好好学习天文知识才行！ 说不定，以后还能自己设计一个超级望远镜，看看更远的月亮呢！

你看啊，观测到的月亮距离，一定比实际的月亮距离要大，因为观测到的经度差会有增减，所以月亮和星星随着天球自西向东移动的时候，也会有进有退。这是因为月亮由于地球半径的差异，高度会变化，所以观测到的经度和纬度，肯定和实际的经度纬度不一样。咱们现在以黄道平面象限在天顶南边的地面来说，观测到的纬度总是偏南，如果实际纬度在北边，观测到的纬度就比实际纬度小，差值是减；如果实际纬度在南边，观测到的纬度就比实际纬度大，差值是加。所以，有些星星或月亮，实际距离在一度以内，但观测距离却在一度以外；也有些星星或月亮，实际距离在一度以外，但观测距离却在一度以内。南北相距超过一度的，不考虑凌犯的情况，所以不用管它。

至于观测经度差，它对月亮运行距离的最大影响，可能达到两小时，而在这两小时内，日月星辰随着天球自西向东旋转，差不多转过一个宫，所以观测经度差，和月亮运行的进退有关。如果月亮在黄道平面象限的西边，观测到的经度向西偏移，观测时间就比实际时间晚；如果月亮在黄道平面象限的东边，观测到的经度向东偏移，观测时间就比实际时间早。所以，有时候实际时间星星或月亮还没到地平线，但观测时间星星或月亮已经在地平线以下了；或者实际时间星星或月亮已经在地平线上了，但观测时间星星或月亮还没在地平线上。

因此，在算出实际时间后，我们要把月亮到黄道平面象限的距离和地平线限度比较一下，就能知道这时月亮在地平线之上还是之下。月亮距离小于地平线限度，月亮在地平线上；月亮距离大于地平线限度，月亮在地平线下。如果月亮距离稍微小于地平线限度，实际时间星星或月亮一定在地平线上，但观测时间星星或月亮可能在地平线下，这个差值，就是观测经度差对月亮运行距离影响的日月星辰自西向东旋转的度数。现在我们取最小实际经度和观测经度差所对应的旋转度数作为观测经度差，具体方法见下卷求地平限度那一节。我们用地平线限度减去这个差值，得到观测地平线限度，再和月亮距离限度比较。如果月亮距离限度小于地平线限度但大于观测地平线限度，那就说明实际时间月亮在地平线上，但观测时间月亮在地平线下了；既然知道月亮一定在地平线下，遇到这种情况就不要了。如果月亮距离限度小于观测地平线限度，那就说明观测时间月亮在地平线上。

但是，事情还不止这些，因为我们取的观测经度差都是最小值。如果只知道月亮实际运行轨迹不是通过观测时间得到的，再推算月亮距离限度，那么月亮究竟在地平线上还是地平线下，就很难确定了。所以，在得到观测时间后，一定要仔细观察月亮的实际纬度和实际时间月亮距离限度。如果实际纬度在南边，月亮距离限度超过六十度；或者实际纬度在北边，月亮距离限度超过七十度，而实际时间月亮距离限度在这个限度以内，那么观测时间月亮一定在地平线上。所有这些都要通过观测时间重新计算月亮到黄道平面象限的度数。如果这个度数大于地平线限度，那就是观测时间月亮在地平线下，仍然不用。只有这个度数小于地平线限度，才说明观测时间月亮一定在地平线上，才能用实测结果验证。所以，这个视差必须仔细推算，才能得到可用的结果。

文章信息

作者： Realhistories

分类：清史稿（口语版）

日期：2024年12月21日

创建时间: 2024年12月21日

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老黄历上写着：朔月（农历初一）的计算方法，是二十九天和十三天交替出现，具体数值是：五三○五九○五三（这个数字代表什么呢？可能是某种天文历法中的参数吧）。望月（农历十五）的计算方法，是十四天和十五天交替出现，具体数值是：七六五二九五二六五（同样，这应该也是某种天文历法中的参数）。

太阴交周（月亮绕地球一周）在朔月时的时长是一十一万零四百一十三秒，还余下九二四四一三三四（秒，单位不确定）。在望月时的时长是六宫一十五度二十分零六秒五十八微（这个单位“微”指的是什么，我也不太清楚）。月亮到地球的平均距离差是五十七分三十秒；太阳到地球的平均距离差是一十秒；月亮和太阳到地球中心的平均距离都是一千万（单位不确定）。月亮和太阳的视半径分别是：一十六分六秒和一十五分四十秒三十微（“微”的含义不明）。朔月应该在十五天一二六三三（这个数值的单位和含义也不清楚）。第一次朔月时，太阴交周应该在六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微（单位“微”含义不明）。剩下的部分，就涉及到日月运行的具体位置计算了。

要推算月食，首先要算出冬至那天是哪天，然后算出纪日（可能是指某一特定历法的纪元日），再算出第一次朔月的时间。接下来，就要计算月亮进入食限（发生月食的范围）的时间，这个计算方法和甲子元法（一种古代历法计算方法）类似。看看某个月月亮平交周（月亮平均运行一周）进入可食之限的时间，就知道这个月有没有月食了。可食之限的范围是：从五宫十四度五十一分到六宫十五度九分，以及从十一宫十四度五十一分到初宫十五度九分。然后，再根据实际情况精确计算月食发生的时间。

接下来计算平望（月亮平均运行到望月的位置）的时间，也用甲子元法。要计算实际望月的时间，先要计算一个大概的时间，然后用前后两天的数据进行比较，用甲子元法计算朔望的时间。再设定前后两个时间点，分别计算太阳和月亮黄道（太阳和月亮在天球上的运行轨迹）的运行情况。再次用前后两个时间点的运行数据进行比较，就能得到实际的望月时间。然后，再用这个实际时间计算太阳和月亮黄道运行的情况，看看月亮在此时是否进入食限，如果有，就说明会有月食发生。食限的范围是：从五宫十七度四十三分到六宫十二度十七分，以及从十一宫十七度四十三分到初宫十二度十七分。

最后，计算实际望月所用的时间，要用到太阳的平均运行速度和升度，计算方法和甲子元法相同。日出日落时间的计算方法也一样。

好家伙，这算题可够复杂的！咱们一步一步来，慢慢捋顺。

首先，算食甚（日食或月食达到最大程度）的时刻。第一步，用一个平三角形，其中一边是把一小时内月亮白道运行的距离化成秒数，另一边是一小时内太阳黄道运行的距离化成秒数，夹角是当时月亮白道和太阳黄道的最大距离（也就是黄白大距）。通过计算，就能得到一个角，叫做“斜距交角差”。把这个角加上当时的黄白大距，就得到“斜距黄道交角”。然后，用三角函数算出几个比率，最终算出一个值，代表一小时内月亮和太阳经度差的变化量。再利用半径（设为一千万），以及刚才算出的角的余弦和正弦，还有月亮当时离黄道的距离，算出食甚时月亮的南北方向位置（跟月亮当时离黄道的距离方向相同）和月亮到地球的距离（弧度）。最后，用一小时内经度差的变化量、一小时化成的秒数、以及刚才算出的月亮到地球的距离，算出食甚持续的时间。把这个时间加减到月亮和太阳的初始位置（具体加减取决于月亮当时的位置），就能得到食甚的准确时刻了。

接下来，算太阳和月亮的实际距离（引数）。先算太阳的，把食甚时太阳的平均距离加上或减去它在那个时刻的实际距离变化，得到太阳的实际距离。月亮的也一样，用食甚时月亮的平均距离加上或减去它在那个时刻的实际距离变化，得到月亮的实际距离。

最后，算太阳和月亮到地球的距离。这步也用平三角形。其中一边是太阳和月亮平均距离的两倍差，另一边是太阳的实际距离（具体计算方法根据太阳位置而定，要考虑它在黄道上的位置）。通过计算，可以得到另外两条边，其中一条加上或减去二千万（加减方法也根据太阳位置而定），就得到太阳到地球的距离。月亮到地球的距离计算方法与太阳类似。

总而言之，这道题涉及大量的三角函数计算和复杂的步骤，需要对天文知识和数学计算有相当的了解才能完成。 这可不是一般的算术题啊！

首先，咱们得算出日食的影子半径。先算个比例，用月球到地球的距离作为比例基数，再用月球到地球的平均距离、月球最大地平视半径差作为比例因子，最后算出当时的月球最大地平视半径差。然后用69去除这个差值，得到影子差。接下来，再算太阳的视半径，方法类似，用太阳到地球的距离、太阳到地球的平均距离、太阳的平均视半径作为比例因子，算出当时的太阳视半径。把这个半径减去刚才算出的月球最大地平视半径差，再加上海上太阳最大地平视半径差，就得到影子半径，最后加上影子差，就得到了真实的影子半径。

接下来算月球的视半径。还是用比例法，用月球到地球的距离、月球到地球的平均距离、月球的平均视半径作为比例因子，算出当时的月球视半径。

然后算日食的食分。先把月球的总直径作为比例基数，把十分化成六百秒作为比例因子，再把月球的视半径和实半径加起来，减去食甚时的实纬，把结果化成秒作为比例因子。最后算出的结果就是秒数，除以分，就得到食分。

接下来算日食的初亏和复圆时刻。先把月球的视半径和实半径加起来，加上食甚时的实纬，化成秒作为第一个比例因子；再把月球的视半径和实半径加起来，减去食甚时的实纬，化成秒作为第二个比例因子。算出这两个比例因子的平均值，再除以分，得到初亏和复圆的弧度差。然后，用每小时经度差作为比例基数，每小时化成秒作为比例因子，初亏和复圆的弧度差作为另一个比例因子，算出初亏和复圆的时间差。最后把这个时间差分别加减食甚时刻，就能得到初亏和复圆的时刻了（减得初亏，加得复圆）。

最后算日食的食既和生光时刻。先把月球的视半径和实半径的差加上食甚时的实纬，化成秒作为第一个比例因子；再把月球的视半径和实半径的差减去食甚时的实纬，化成秒作为第二个比例因子。算出这两个比例因子的平均值，再除以分，得到食既和生光的弧度差。算时间差的方法和初亏复圆一样。如果日食在十分以内，那就不用算食既和生光时刻了。

最后，计算日食的总时间，方法和甲子元法一样。

这段文字讲的是古代计算日食发生时月亮位置的方法，用现代话来说，就是根据一些数据计算日食发生时月亮在天空中的具体经纬度。 听起来很复杂，咱们一步一步来解释。

首先，他要算日食发生那一刻月亮在黄道上的位置。 这需要四个数据：日食发生的时间（换算成秒）、日食发生时月亮在白道上的实际运动速度、日食发生的时间距离望（月亮和太阳距离最近）的时间差（也换算成秒）。 把这三个数据算出来后，再根据它们计算出日食发生时月亮在白道上的位置（经度）。 然后，再算出日食发生时月亮和地球的距离。

接下来，他要算日食发生那一刻月亮在赤道坐标系中的位置。 这部分就更复杂了。 他先用一个很大的数（一千万）作为基准，然后用日食时月亮在黄道上的位置（经纬度）和这个基准数进行一系列的三角函数计算（正弦、余切、余弦、正切）。 这些计算中，还需要根据月亮在黄道上的位置调整一些数值，比如根据它在黄道上的位置是处于哪个宫（古代天文学把黄道分成若干宫）进行加减运算。 最终，通过查表（古代的三角函数表），算出月亮在赤道坐标系下的位置（经纬度）。 这部分计算涉及到黄赤交角（黄道和赤道之间的夹角）以及一些复杂的三角关系。

最后，计算月亮在赤道坐标系下的纬度和星宿位置，这个方法和之前的一种叫“甲子元法”的方法类似。 总而言之，整个过程就是利用一系列的数学计算和天文数据，最终确定日食发生时月亮在天球上的精确位置。 古代的天文学家真是厉害，用这么复杂的方法计算日食！ 想想他们没有计算机，全靠手工计算，真是令人敬佩。

首先，我们要算出初亏和复圆的时候，月亮在黄道上的高度。 这需要用到几个比例：黄道和赤道的交角（黄赤大距）的正弦作为第一个比例，月亮在春分或秋分时黄道经度的正弦作为第二个比例，地球半径（假设为一千万）作为第三个比例。用这些比例算出影距（月亮影子在地球上的位置）在赤道上的度数。 记住，春分秋分时，月亮的黄道经度和太阳一样，太阳在赤道北边，月亮影子就在南边；太阳在赤道南边，月亮影子就在北边。

接下来，我们计算月亮影子在黄道上的位置和黄赤交角。 这次要用到黄赤大距的余切、春分秋分时月亮黄道经度的余弦，以及地球半径。 用这些比例算出黄道和赤道的交角。

然后，我们用球面三角形来计算。 以北极到观测点的距离为一条边， 月亮影子在赤道上的度数加上或减去90度作为另一条边（月亮影子在北边就减，南边就加）。 把初亏和复圆时刻（超过12小时的要减去24小时）转换成赤道坐标系下的角度，这两个角度就是我们球面三角形中的两个角。 通过计算，就能得到北极到观测点与月亮影子的夹角，也就是赤经高弧交角。

最后，把这个赤经高弧交角加上或减去我们之前算出的黄道赤经交角，就能得到黄道高弧交角。 这加减的规则有点复杂：如果月亮在夏至前的六个宫（黄道十二宫中的六个），日食发生在子正（午夜）之后，就减去黄道赤经交角，结果是西限；发生在子正之前，就加上黄道赤经交角，如果超过90度，就减去180度，结果是东限；如果没超过90度，结果就是西限。月亮在夏至后的六个宫，规则正好相反。 如果日食发生在子正，月亮影子在正午，那就没有赤经高弧交角，黄道赤经交角直接就是黄道高弧交角。 总之，夏至前是西限，夏至后是东限。

首先，我们要算出初亏、复圆时刻的几个角度。用并径（月亮的视直径）作为第一个比例系数，食甚时月亮的纬度作为第二个比例系数，半径（假设为一千万）作为第三个比例系数。通过计算，得到第四个比例系数，也就是余弦值。查表得到并径与实际纬度的交角。（如果不知道食甚时的实际纬度，那就算不出这个角，也就算不出并径与黄道的交角。）然后，我们取90度，加上或减去这个黄道交角，就能得到初亏和复圆时月亮的黄道交实际纬度。（如果月亮在初宫或六宫，初亏时要减去这个角，复圆时要加上；如果在五宫或十一宫，初亏时要加上，复圆时要减去。）再用这两个角分别减去并径与实际纬度的交角，就能得到初亏和复圆时并径与黄道的交角。（如果并径与实际纬度的交角比较小，那么月亮的纬度南北方向与食甚时相同；如果交角比较大，情况则相反。）最后，加上或减去黄道高弧交角，就能得到初亏和复圆时并径与高弧的交角。（初亏在东边，复圆在西边，如果月亮在南纬，要加；北纬，要减。如果初亏在西边，复圆在东边，加减要反过来。）如果没有并径与黄道的交角，那么黄道高弧交角就等于并径与高弧的交角。

接下来，我们计算初亏和复圆的方向。用并径与高弧的交角作为固定交角，计算方法与甲子元法相同。但是，初亏时，如果交角在东边，就取正下方；在西边，就取正上方；复圆时，东边取正上方，西边取正下方。（这个方法是根据北京的北极高度确定的，与甲子元法相同。）

计算带食分秒时，要用两经斜距，不用月距和日实行，其余与甲子元法相同。计算带食方向时，要用带食的两心距离，不用并径计算交角，方法与确定初亏、复圆方向相同。食甚前与初亏相同，食甚后与复圆相同。

各个省份的月食时刻和方向的计算方法，与甲子元法相同。绘制月食图的方法，也与甲子元法相同。

关于日食的计算方法：太阳光分为十五秒，其余的日食、月离、月食的计算方法，请参考后面的内容。

计算日食，首先要确定冬至那天。然后确定日期，确定朔日，确定太阴进入食限，这和月食的计算方法类似，只是不用望策，而是逐月计算太阴的交周。查看某个月份太阴进入可食的食限，就知道这个月有没有日食。（交周从五宫八度四十二分到六宫九度一十四分，以及从十一宫二十度四十六分到初宫二十一度一十八分，都是可食的食限。）最后，要计算平朔。

首先，咱们得算出实际的朔日时间，以及月食的望日时间，方法都一样，就是不用加什么额外的步骤。判断有没有月食，就看朔日时月亮和地球的距离是不是正好在食限范围内。（这个范围是：从五宫十一度三十四分到六宫六度二十二分，还有从十一宫二十三度三十八分到初宫十八度二十六分。）

接下来，算实际朔日的时间，和算月食的实际望日的时间，方法是一样的。（这跟算日出日落的时间，方法都一样，都是用甲子元法。） 算月食发生最严重的时候，也就是食甚的时间，方法也跟算月食食甚的时间一样。

然后，我们要算太阳和月亮的实际距离，以及它们到地球的距离，这些计算方法都跟月食的计算方法一样。

接下来算地平高度差，先算出当天月亮的最大地平半径差，方法跟月食的计算方法一样。然后，再减去太阳的最大地平半径差，就能得到地平高度差。

算太阳的实际半径，先算出太阳的视半径，方法跟月食的计算方法一样，再减去太阳光线的散射影响，就能得到太阳的实际半径。

算月亮的视半径，方法跟月食的计算方法一样。

要算食甚时太阳在黄道上的经度和星宿度，算经度的方法跟算月食时月亮在白道上的经度一样；算星宿度的方法跟算太阳在星宿上的位置一样。

要算食甚时月亮在赤道坐标系上的经度、纬度和星宿度，要用到黄赤交角，方法跟算月食时月亮在黄道上的位置一样。

最后，我们要算黄赤交角、黄白交角和赤白交角。用食甚时太阳距离春分点或秋分点在黄道上的经度余弦值作为第一个比例系数，黄赤交角的余切值作为第二个比例系数，半径（取一千万）作为第三个比例系数，算出第四个比例系数，也就是余切值，然后查表得到黄赤交角。（冬至后，黄经在赤经西边，夏至后，黄经在赤经东边，如果太阳正好在冬至或夏至点，那就没有这个角了。）前面算出的黄道和斜距的交角，就是黄白交角。（如果朔日时月亮和地球的距离正好在初宫或十一宫，白经在黄经西边；如果在五宫或六宫，白经在黄经东边。）把这两个交角加起来或减去，就能得到赤白交角。（如果两个交角都在东边或都在西边，就加起来；如果一个在东边一个在西边，就减去。结果的正负号表示东西方向，取绝对值最大的。如果减完结果是零，那就没有这个角了。如果没有黄赤交角，那么黄白交角就等于赤白交角，方向也一样。）

最后，算出食甚时太阳距离正午赤道的角度，用食甚时间减去12个小时，把剩下的时间换算成赤道角度，就能得到结果。

首先，咱们得算出某个时刻的赤经高弧交角。用弧三角形来算，一边是北极到天顶的距离，另一边是太阳到北极的距离。（如果太阳的赤纬在南边，加上90度；在北边，就减去90度。）然后，用太阳到中午赤道线的距离作为夹角，就能算出赤经高弧交角了。（上午的赤经在高弧的东边，下午在西边。如果太阳正好在正午，那就没有这个角了。）

接下来，算某个时刻太阳到天顶的距离。用赤经高弧交角的正弦值、北极到天顶距离的正弦值、以及太阳到中午赤道线距离的正弦值，就能算出太阳到天顶距离的正弦值，查表就能得到结果了。

然后算高下差。用半径（假设为一千万）作为比例系数，把地平高下差换算成秒，再用太阳到天顶距离的正弦值，就能算出高下差的秒数，再换算成分。

接下来算白经高弧交角。把赤经高弧交角和赤经与白经的交角加减一下就能得到白经高弧交角。（东西方向相同的就相加，白经在高弧的东边还是西边就保持不变。东西方向相反的就相减，取较大角的东或西。如果没有赤白二经交角，或者没有赤经高弧交角，那就直接用已知的角，方向不变。如果两个角都没有，或者度数相减为零，那就没有这个角了。食甚发生的时间就是真时。把高下差和食甚时的实纬度算上，南边加，北边减，就能得到食甚时两心视距离。）

然后算某个时刻两心视距离角。如果月亮在黄道北边，就用白经高弧交角；如果在南边，就用白经高弧交角的外角。（实际距离在高弧的东边还是西边，月亮在北边就和白经方向相同，在南边就相反。） （如果自经高弧交角超过90度，纬度南的就当作北的算，纬度北的就当作南的算。）

最后，算某个时刻两心实际距离角。用平三角形来算，一边是食甚时两心实际距离（也就是食甚时的实纬度），一边是高下差，夹角是用时对两心视距离角，就能算出两心实际距离角了。

首先，咱们得算出两个天体之间的视距离。 用实际距离除以视距离的正弦值，再用实际距离和视距离的正弦值分别算出四个比例，就能得到视距离了。 （如果月亮在高弧的西边，视距离大于日、月直径，那就可能没日食，或者只是部分日食。这时算出来的就是初亏的准确时间；如果月亮在高弧的东边，那就是复圆的准确时间。如果视距离小于日、月直径，月亮在高弧西边，算出来的是初亏到食甚之间的时间；东边就是复圆到食甚之间的时间。）

接下来算日食发生的确切时间。 这个时间，要根据月亮在高弧交角的东边还是西边来确定，角越大时间越远，角越小时间越近。（最远不会超过九个刻，最近可能就几分钟。） 然后算出日食发生时间前后相差多少分钟，这就是日食发生的确切时间。

然后算出这个确切时间和日食发生时间的差值，也就是时间差。

再算出这个时间差对应的弧度。 用一小时换算成秒作为比例一，一小时的经度差作为比例二，时间差换算成秒作为比例三，就能算出这个时间差对应的弧度了。

然后算出这个时间差对应的弧度角。 用食甚时月亮的实际纬度作为比例一，时间差对应的弧度作为比例二，半径（假设为一千万）作为比例三，算出的结果是正切值，查表就能得到对应的弧度角。

接下来算出这个时间点日、月之间的实际距离。 用刚刚算出的弧度角的正弦值作为比例一，时间差对应的弧度作为比例二，半径（一千万）作为比例三，算出来的结果就是日、月之间的实际距离。

接下来算出这个时间点太阳距离午赤道线的度数，太阳的赤经高弧交角，太阳距离天顶的距离，高下差，以及白经高弧交角。这五项的计算方法和之前算“用时”时一样，只是把数据换成这个确切时间的数据就行了。

最后算出这个时间点日、月之间的视距离角。如果月亮在黄道北边，就用这个时间点的白经高弧交角减去这个时间差对应的弧度角；如果在黄道南边，就相加，然后再减去180度，剩下的就是日、月之间的视距离角。（减法的情况，如果弧度角小，日、月实际距离在高弧东西方向和白经方向相同；如果弧度角大，则相反。加法再减180度的情况，日、月实际距离在高弧东西方向总是和白经方向相反。）如果两个角相等，相减结果为零，或者相加结果正好是180度，那就没有交角，也就没有日、月之间的视距离角，这时就用这个时间点的高下差减去日、月之间的实际距离，剩下的就是日、月之间的视距离。 （如果白经高弧交角超过90度，月亮在黄道南边的情况就和在黄道北边一样，反之亦然。）

最后，还要算出这个时间点日、月之间的实际距离角。

首先，我们要算出两个时间点之间的距离。 先算出设定时间和实际时间两点之间的距离，这个距离和实际观测时间是一样的。

接下来，计算设定时间和实际时间的白经高弧交角的差值。 用设定时间的白经高弧交角减去实际时间的白经高弧交角，就能得到结果。

然后，计算设定时间的高弧与实际时间视距角。这个角等于设定时间的白经高弧交角加上或减去实际时间两点间的实际距离。 北纬减，南纬加。如果白经高弧交角超过90度，则反过来。

之后，我们要算设定时间的视行角。 这个角等于设定时间的高弧与实际时间视距角加上或减去设定时间两点间的实际距离。 如果两个实际距离都在高弧的东边或都西边，就减；一个在东边一个在西边，就加；如果加起来超过半周，就用它减去一周，取余数。如果没有设定时间两点间的实际距离，如果设定时间的高下差大于设定时间两点间的实际距离，那么设定时间的高弧与实际时间视距角就等于设定时间的视行角；如果设定时间的高下差小于设定时间两点间的实际距离，那么用设定时间的高弧与实际时间视距角减去半周，剩下的就是设定时间的视行角。

现在，我们来算设定时间的视距角。用平面三角形来算，用实际时间两点间的距离为一边，设定时间两点间的距离为另一边，设定时间的视行角为夹角，就能算出设定时间的视距角。

接下来，计算设定时间的视行。用设定时间的视距角的正弦值作为第一率，设定时间两点间的距离作为第二率，设定时间的视行角的正弦值作为第三率，就能算出第四率，这就是设定时间的视行。

然后，计算实际时间的视行。用半径一千万作为第一率，设定时间的视距角的余弦值作为第二率，实际时间两点间的距离作为第三率，就能算出第四率，这就是实际时间的视行。

接下来，计算实际时间两点间的距离。用半径一千万作为第一率，设定时间的视距角的正弦值作为第二率，实际时间两点间的距离作为第三率，就能算出第四率，这就是实际时间两点间的距离。

最后，计算食甚的实际时间。用设定时间的视行作为第一率，设定时间的距分作为第二率，实际时间的视行作为第三率，就能算出第四率，这就是实际时间的距分。 把这个距分加到或减去食甚的实际时间（白经在高弧西边加，东边减），就能得到食甚的实际时间。

剩下的计算，例如实际时间的距弧、实际时间的对距弧角、实际时间的两心实相距，方法和设定时间一样，只是都用实际时间的度分来计算。 同样，计算实际时间的太阳距午赤道度、实际时间的赤经高弧交角、实际时间的太阳距天顶、实际时间的高下差、实际时间的白经高弧交角、实际时间的对两心视相距角和实际时间的对两心实相距角的方法也一样，只是都用实际时间的度分来计算。

要算真时刻，两个天体中心距离，上面八条，方法和假设时刻一样，但都用真时刻的度分来计算。

算真时刻白经高弧交角，方法和假设时刻一样，但用真时刻的度分来计算。

算真时刻高弧交假设时刻视距角，方法和假设时刻一样，加减法略有不同。（月亮在黄道北面，假设时刻和真时刻的两个实际距离都在高弧东西方向相同，只有白经不同。假设时刻白经高弧交角小就加，大就减。如果白经也相同，则反过来。如果两个实际距离一个东一个西，则都相减。月亮在黄道南面，假设时刻交角小就加，大就减。）如果没有假设时刻对应两个天体中心实际距离角，假设时刻高下差大于假设时刻两个天体中心实际距离，那么真时刻白经高弧交角就是真时刻高弧交假设时刻视距角；假设时刻高下差小于假设时刻两个天体中心实际距离，那么用真时刻白经高弧交角减去半周，余数就是真时刻高弧交假设时刻视距角。（如果白经高弧交角超过九十度，南纬如同北纬，北纬如同南纬。）

算对应真时刻视行角，方法和假设时刻一样。如果假设时刻实际距离和高弧重合，没有东西方向，假设时刻高下差大于假设时刻两个天体中心实际距离，就相减，小于就相加。如果真时刻白经高弧交角和假设时刻对应两个天体中心实际距离角相等，并且减完没有余数，那么真时刻对应两个天体中心实际距离角，就是对应真时刻视行角。或者相加正好等于半周，那么真时刻对应两个天体中心实际距离角减去半周，就是对应真时刻视行角。

算对应真时刻视距角，

算真时刻视行，上面两条，方法和假设时刻一样，但用考证真时刻的度分来计算。

算确定真时刻视行，（如果确定真时刻视行和考证真时刻视行相等，那么食甚真时刻就是确定真时刻。如果大小不一样，再用下面的方法求。）

算确定真时刻两个天体中心视距离，上面两条，方法和真时刻一样，用考证真时刻的度分来计算。

算食甚确定真时刻，用考证真时刻视行为一个比率，假设时刻距离分和真时刻距离分相减，余数为第二个比率，确定真时刻视行为第三个比率，求得第四个比率，就是确定真时刻距离分。用它加上或减去食甚假设时刻，（白经在高弧东面，假设时刻距离分小就减，大就加。白经在高弧西面，反过来。）得到食甚确定真时刻。

算食分，用太阳实际半径的两倍为一个比率，十分为第二个比率，把直径减去确定真时刻两个天体中心视距离的余数为第三个比率，求得第四个比率，就是食分。

首先，我们要算出初亏发生的时间。 先假设一个初亏发生的时间，这个时间点要跟日食食甚（日食最严重的时候）的时间点很接近。如果食甚时月亮和太阳的中心距离跟月亮的视直径差不多，那就直接用食甚的时间作为我们假设的初亏时间。如果距离比月亮视直径小，就往前推算几分钟；如果距离比月亮视直径大，就往后推算几分钟。 然后，用这个假设的初亏时间减去食甚的准确时间，得到一个时间差。再把这个时间差加到食甚的准确时间上，就得到了我们假设的复圆（日食结束）的时间。 记住，初亏时月亮在太阳的西边，复圆时月亮在太阳的东边，计算方法是一样的。

接下来，我们需要计算一系列数据，这些数据都跟我们假设的初亏时间有关。 具体来说，我们需要算出：假设的初亏时间对应的经度、弧度、角度、太阳和月亮中心之间的距离等等。这些计算方法跟我们之前计算食甚时用的方法一样，只是把时间换成了我们假设的初亏时间。

其中，计算太阳和月亮中心距离的角度时，需要注意月亮是在黄道（月亮运行的轨道）的北边还是南边。如果月亮在黄道北，两个角度同为东西方向就相加，一东一西就相减；如果月亮在黄道南，则相反。还要考虑角度是否超过90度，纬度南北也会影响结果。

然后，我们还需要算出另一个假设的初亏时间，这个时间点要跟我们之前假设的初亏时间很接近。 如果我们第一次假设的初亏时间计算出的月亮和太阳中心距离比月亮的视直径小，就往前推算几分钟；如果距离比月亮视直径大，就往后推算几分钟。 这个时间点就是我们最终确定的初亏时间。

最后，我们用两次假设的初亏时间计算出的数据进行比较，求出两次假设的初亏时间之间的差值，以及两次计算的太阳和月亮中心距离的差值。 这样，我们就完成了对初亏时间的精确计算。

首先，咱们得算出日食开始的准确时间。 这需要几个步骤：先用日食开始时预估的距离、时间和距离加直径这三个数据算出四个比率。 用这四个比率就能算出日食开始的准确时间和距离。 如果算出来的距离和日食开始时太阳和月亮的实际距离相等，那这个时间就是准确的日食开始时间。 如果不一样，就根据前后预估时间的距离和实际距离的差距，用比例的方法算出准确的日食开始时间。 日食开始时的方位角，就是根据这个准确时间算出来的。

接下来算日食结束的时间。方法和上面算日食开始时间一样，只不过用的是日食结束时预估的数据。 如果预估的距离比太阳和月亮的实际距离小，就往后推算时间；如果预估的距离比实际距离大，就往前推算时间。 根据两者差距的多少，调整时间，最终得到日食结束的准确时间。 日食结束的准确时间和方位角的计算方法，也和日食开始时一样，只是用的是日食结束时的数据。

然后，咱们算日食持续的总时间。 这个很简单，就是用日食结束的准确时间减去日食开始的准确时间。 日食开始和结束时的交角怎么算呢？如果日食开始时太阳在高弧的东边，就把方位角从180度减去；如果在西边，就用方位角本身。日食结束时，正好相反。

日食开始和结束时的方位计算方法和以前一样，但是，如果日食开始时太阳在高弧的东边，方位角就是正上；在西边就是正下。日食结束时，正好相反。 日食发生时太阳升起和落下的时间，计算方法和以前一样。

接下来计算日食发生时太阳和月亮的距离。 这个距离等于太阳升起和落下时间与日食持续时间的差。 计算日食发生时太阳和月亮的弧度，方法和计算日食持续时间的方法一样，只是用的是日食发生时太阳和月亮的距离。

最后，咱们还要算几个角度：日食发生时太阳赤经和高弧的交角，可以用黄赤交角的余弦、北极高度的正弦和半径来计算。日食发生时太阳白经和高弧的交角的计算方法和计算日食持续时间的方法一样，只是用的是日食发生时的数据。 还有日食发生时太阳和月亮的距离弧角以及它们的实际距离，这些计算方法留待以后再详细说明。

首先，咱们要算带食（日食发生时）两个天体中心视相距的角度。方法和算食甚（日食最严重的时候）一样，只是用带食的度数来计算。

接下来，算带食时两个天体中心实际相距的角度，需要用到地平高下差，其他方法和算食甚时一样。

然后，算带食时两个天体中心的视距离，方法也和算食甚时一样，但要用带食的度数来计算。

计算带食时的分秒，方法和计算食甚时的分秒一样，用带食的距离来计算。

要算带食时的方位，如果在食甚之前，就用初亏（日食开始）的方法；如果在食甚之后，就用复圆（日食结束）的方法。

计算各个省份日食的时刻和方位，方法和甲子元法一样。

画日食图，也和甲子元法一样。

画日食的坤舆图（世界地图），要先确定哪些地方日食最严重，每一份（区域）为一个界限，一共分成21个界限。再根据日食发生时间的早晚，每刻钟为一个界限，一共分成96个界限。然后交叉计算，反推得出各个地方北极高度和东西偏角。根据这些度数画图，再根据坤舆全图上对应的高度和偏角标注地名。

计算天体之间的距离，要参考月球和五星、恒星的运行情况。

推算距离的方法，和甲子元法推算凌犯（天体互相遮挡）的方法一样。

计算用到一些表格。

甲子元法和癸卯元法，除了这里介绍的方法外，都用表格来辅助计算，我这里只简单介绍一下它们的大致内容。

【甲子元法】

首先是年根表，以年份、日期、值宿（星宿）为依据，从法元（起始年份）开始，往前推算三百年，计算出每年的冬至那天正午太阳和最卑平行（太阳运行轨迹的最低点）的位置，列成太阳年根表；同样计算太阴（月亮）最高、正交（轨道与黄道的交点）平行位置，列成太阴年根表；五星（金木水火土）最高、正交、伏见（出现）等位置，分别列成各星的年根表。

其次是周岁平行表，以日数为依据，从一天到三百六十六天，积累计算每天太阳、月亮、五星的最卑、最高、正交、伏见等位置，分别列成周岁平行表。

最后是周日平行表，以时分秒为依据，时分秒三层对列，从一秒到六十分钟，积累计算每天太阳、月亮、五星的最高、正交、伏见、月距日（月亮与太阳的距离）、太阴引数（影响月亮运行的参数）、交周（轨道交点周期）等位置，分别列成周日平行表。

第一种表叫“均数表”。它以引数（也就是一个参考数值）为基础，提前算好天体运行的快慢、盈亏，把这些数据都列在表里。月亮的均数表就更复杂了，它不仅用引数，还用月距日（月亮和太阳的距离）为基础，横竖排列，算出月亮的各种均数，也列在表里。土星、木星、金星、水星这四颗星，则把它们的初均数、中分数值、次均数和较分数值都列在一个表里。火星的表就更详细了，它把初均数、次轮心距地数（火星运行轨道上的某个点到地球的距离）、次轮半径本数（火星轨道次轮的半径）、太阳高低差数都列在一个表里。这些都是均数表。

第二种表是“距度表”。一种是以黄道上的度数为基础，列出对应赤道南北的纬度差，叫黄赤距度表。另一种是以月亮和太阳的距离为基础，把黄白大距（月亮和太阳的距离）分成六个范围，列出对应黄道南北的纬度差，叫黄白距度表。

第三种表是“升度表”，它以黄道上的度数为基础，列出对应赤道的度数，叫做黄赤升度表。

第四种表是“黄道赤经交角表”，它以黄道上的度数为基础，列出对应黄道和赤经的交角。

第五种表是“升度差表”，它以月亮和五星（金木水火土）与黄道的交点度数为基础，列出它们与黄道度数的差值。

第六种表是“时差表”。一种是以黄道为基础，列出对应赤道度数的时间变化，叫升度时差表；另一种是以引数为基础，列出对应均数的时间变化，叫均数时差表。

第七种表是“地半径差表”，它以天体的高度为基础，列出太阳、月亮、火星、金星、水星到地球的半径差。

第八种表是“清蒙气差表”，它以天体的高度为基础，列出大气折射造成的误差。

第九种表是“实行表”，它以引数为基础，列出太阳、月亮以及月亮和太阳距离的实际数值。

第十种表是“交均距限表”，它以月亮和太阳的距离为基础，列出交点（月亮轨道和黄道的交点）的均数和距离范围。

第十一种表是“首朔诸根表”，它以年份、日期、值宿（古代天文学中的星宿）为基础，从某个起始年份开始，连续推算三百年，列出每年的首朔（农历每月初一）的日期、时间以及太阳的运行情况、太阳和月亮的引数、月亮交点的位置，这五项数据都列在一个表里。

最后一种表是“朔望策表”，它以月份为基础，从一到十三月，列出每个月的朔（农历每月初一）和望（农历每月十五）的日期、时间以及太阳的运行情况、太阳和月亮的引数、月亮交点的位置，这十项数据都列在一个表里。

首先，咱们得做个表格，叫“半径表”。这个表呢，用“引数”来排序，然后把每天的太阳半径、月亮半径、月亮到地影的半径、还有影差这五个数据都列出来，放在同一行。

接下来是“交食月行表”。这个表用“食甚距纬分”来排序，从初分到六十四分，都得列出来。表里还要包含太阳、月亮、地影，以及它们半径的和与差，从二十五分到六十四分，横竖都得排好。然后，找到对应的月行分秒，也列在表里。注意，月亮和地影的半径，和与差都要用。

然后是“黄平象限表”。这个表用正午黄道宫度来排序，北极高度从十六度到四十六度，分成三十一个限。然后，把对应的春分距午、黄平象限、限距地高这三个数据列在一起。

再做一个“黄道高弧交角表”。这个表用日距限来排序，从一度到九十度，限距地高从二十度到八十九度，分成七十个限。然后，把对应的黄道高弧交角列出来。

“太阳高弧表”的制作方法跟“黄道高弧交角表”一样。

然后是“东西南北差表”。这个表用交角度来排序，从一度到九十度，高下差从一分到六十三分，横竖都得排好。然后，把对应的东 西差和南北差列在一起。

接下来是“纬差角表”。这个表用并径来排序，从三十一分到六十四分，距纬从一分到六十四分，横竖都得排好。然后，把对应的纬差角列出来。

再做一个“星距黄道表”。这个表用距交宫度来排序，把对应的星距黄道数都列出来。水星比较特殊，交角从四度五十五分三十二秒到六度三十一分二秒，分成二十个限。

然后是“星距地表”，用星距日宫度来排序，把对应的星距地列出来。

还有一个“水星距限表”，用距交宫度来排序，把对应的距限列出来。

接下来是“五星伏见距日黄道度表”。这个表用星行黄道经表来排序，把晨昏上下都列出来，然后把各星对应的距日黄道度列在一起。

“五星伏见距日加减差表”的制作方法跟“黄道度表”一样，但是不用分五星，黄道南北从一度到八度。

最后，癸卯元法里新加了一个表——“太阳距地心表”。这个表用太阳实引来排序，把对应的太阳距地心真数对数都列出来。

首先，有个表格叫“太阴一平均表”，它用太阳的运行数据做参考，然后把对应的太阴一平均、最高平均和正交平均这三个数值都列在表里。

接下来是“太阴二平均表”，这个表格用日、月最高点之间的距离做参考，然后把太阳在最高点时的二平均值，以及高低差的秒数都列出来。 “太阴三平均表”呢，则是用月亮和正交点之间的距离做参考，把对应的三平均值列成表格。

然后是“太阴最高均及本天心距地表”，这个表格用太阳和月亮最高点之间的距离做参考，把对应的最高均值和月亮到地心的距离都列在表里。“太阴二均表”用月亮和太阳之间的距离做参考，把太阳在最高点时的二均值和高低差都列出来。“太阴三均表”用日、月之间总距离做参考，把对应的三均值列在表里。

“太阴末均表”用月亮实际距离太阳的距离做参考，和日、月之间最大距离一起，横竖都列出来，然后把对应的末均值列在表里。“太阴正交实均表”用太阳和正交点之间的距离做参考，把对应的正交实均值列在表里。“交角加分表”也用太阳和正交点之间的距离做参考，把对应的交角加分和加减差都列在表里。“黄白距纬表”的列法和升度差表一样。

最后是“太阴距地心表”，这个表格用月亮实际运行距离做参考，把对应的最大和最小地心距离以及倍数都列在表里。 需要注意的是，有些表格名字虽然一样，但内容略有不同，比如“太阴初均表”就分大、中、小三类；“黄、白升度差表”列出了最小交角以及大小差的秒数；“太阴地半径差表”和“太阴实行表”也都分大、小两类。

文章信息

作者： Realhistories

分类：清史稿（口语版）

日期：2024年12月21日

创建时间: 2024年12月21日

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咱们来改改计算日行的方法，主要改动有三点。

首先，要重新确定一年有多少天。以前算的年数比较多，现在算的比较少，所以需要一种方法来调整。西方天文学家第谷算的比郭守敬少万分之三。后来奈端他们反复测量，觉得第谷减得太多了，就定为三百六十五日二四二三三四四二○一四一五，比第谷的多万分之一还多一点儿。用这个数字除以周天三百六十度，就能算出每天的运行度数，比第谷算的少五纤（古代长度单位）多一点儿。咱们就用这个新的数字。

接下来，要重新确定黄赤交角的大小。以前算的黄赤交角比较大，现在比较小，一直在变小，从没变大过。西方天文学家利酌理和噶西尼测定的黄赤交角是二十三度二十九分，比第谷算的少二分三十秒，比刻白尔算的少一分。咱们也采用这个新的数据。

最后，要仔细研究大气差，消除计算误差。西方天文学家第谷发现，大气层围绕着地球，日月星辰的光线是从大气层外射过来的，我们在地面上看，大气层会让它们看起来位置更高一些。而日月星辰的光线进入大气层后，还会发生折射，让它们看起来位置更低一些。所以，光线和视线在大气层内会重合，在大气层外会分开，这两条线的交点就是大气差的角度，但以前没有人算过这个角度。噶西尼反复精确计算，认为虽然视线和光线的分歧程度不同，但它们相交的地方是固定的。从地心穿过交点画一条线到圆周，这就是大气差的割线。视线和割线形成一个角，光线和割线也形成一个角，这两个角相减，就得到大气差的角度。他在北极纬度44度的地方反复精确测量，得到地平线上最大的大气差是三十二分十九秒，大气层的厚度是地球半径的千万分之六千零九十五，视线角和光线角的正弦比，总是像一千万比一千万零二千八百四十一那样。用这个方法，就可以推算出各个角度的大气差。咱们也采用这个方法。如图甲为地心，乙为地面，丙乙为大气层厚度，丑甲为割线，癸乙为视线，子戊为光线，癸戊子为大气差角，癸寅、子卯为两正弦。（图略）

首先，咱们得仔细研究一下地球半径的差异，来区分那些混杂的数据。康熙十一年，也就是壬子年（1672年）农历十一月十四日半夜，火星和太阳正好冲，西方人卡西尼在法国的巴黎测得火星距离天顶59度40分15秒，而利希尔在同一子午线的法属圭亚那岛测得火星距离天顶15度47分5秒。他们同时用上了能精确到秒的千里镜，还测量了与子午线上最近恒星的距离。卡西尼测得的火星位置比利希尔低了15秒，因为恒星没有地球半径差的影响，所以他用平面三角形的方法，计算出火星在地平线上最大地球半径差是25秒，略小于37秒。

然后，根据哥白尼和第谷的观测数据，火星到地球的距离和太阳到地球的距离之比是100:266。用比例法计算，就能得出太阳在平均距离时，在地平线上最大地球半径差是10秒。不同角度的差异，可以用地球半径和正弦值来计算比例。用这种方法，我们可以求出地球半径和日地距离的比例：平均距离是1:20626，最大距离是1:20975，最小距离是1:20277；在地平线上，最大地球半径差最大值是9.5秒，最小值是10.1秒。

首先，咱们用椭圆的面积来计算平均值。西方人自从白尔时代开始，就不断地精确测量，误差最大也就一度五十六分之十二秒。通过推算每次的误差，发现最高点和最低点的时候，本轮（注：指本轮说中的本轮）的误差小，均轮（注：指地心说中的均轮）的误差大；最低点和最高点的时候，本轮的误差大，均轮的误差小。所以，我们取最大误差的一半，算出它的正弦值，得到169000作为两心（注：指地球中心和太阳中心）的距离差。假设地球到太阳的距离最大值和最小值相差一千万，画个椭圆，从地心画条线，把椭圆面积平均分成几份，这就是平行度，然后用夹角来算黄道的运行度数，再推算误差。在计算本轮和均轮所得数值的过程中，一直找不到合适的算法。后来噶西尼等人发明了角积法之类的计算方法，跟实际测量结果一对比，发现非常吻合。我们这里就用这种方法。图甲是地心，乙是本天心，丁是最高点，丙是最低点，戊己是平均距离，平均分开的面积就是平行度，对应的圆周角度就是黄道的运行度数。

接下来，我们要修正一下最低点的运行速度，用精确的数值。西方人噶西尼等人测得每年平行度增加一分二秒五十九微五十一纤零八忽，比甲子元法（注：中国古代历法）多一秒四十九微左右。我们这里采用这个数值。

最后，我们要修正一下平行度所在的位置，以便校正岁首。我们采用西方人噶西尼的测算结果，推算出雍正癸卯年天正冬至是丙申日丑正三刻十一分左右，比甲子元法晚了两刻钟。第二天子正初刻，最低点经过冬至点八度七分三十二秒二十二微，比甲子元法多了十七分三十五秒四十二微。

【月离改法之原】

第一段：

我想算算月亮的轨道，它离地球有多远，最高点又在哪里？这个距离可不是一成不变的，得随时算。自从西方人开普勒提出了椭圆轨道理论后，像牛顿这样的科学家们不断测量月球的距离，发现太阳在月亮轨道中心时，月亮运行速度最快和最慢的差异是4度57分57秒，地心和月球中心的最大距离差是433190（单位不明）。当太阳位于月亮轨道最高点或最低点时，这个速度差异最大，能达到7度39分33秒，地心和月球中心的最大距离差是667820（单位不明）。太阳离月亮轨道的高低点越远，地心和月球中心距离差就越小；离中点越远，距离差就越大；当太阳离月亮轨道高低点大约45度的时候，距离差是适中的。而且，当太阳位于月亮轨道高低点时，月亮运行速度最快，到距离高低点45度时速度就慢下来了；当太阳位于月亮轨道中点时，月亮运行速度最慢，到距离中点45度时速度就快起来了。这跟日月盈亏和运行速度快慢的规律很像，只不过周期的数量更多。所以，我以地心为中心，把地心和月球中心距离差的最大值和最小值加起来再除以二，得到550505，作为本轮半径；再把最大值和最小值相减除以二，得到117315，作为均轮半径。均轮中心沿着本轮圆周向右旋转，运行速度是最高平行速度；月球中心沿着均轮圆周从最远点向右旋转，运行速度是太阳距离月亮轨道最高点速度的两倍。我用平面三角形的方法，推算出了真实的均轮和本轮大小。我还推算出了每一时刻地心和月球中心之间的距离差，用来计算面积。就像计算太阳运行轨迹的方法一样，用来计算月亮运行速度的快慢，我把它叫做“初均”。这就是我的方法。图戊是地心，甲壬癸子是本轮，乙丁丑丙是均轮，丙丁都是月球中心，丙是最远点，丁是最近点，戊丙之间的距离差最大，己庚椭圆面积最小；戊丁之间的距离差最小，辛申椭圆面积最大。

第二段：

我还增加了一个平均数来修正时间差。自从西方人开普勒以来，像牛顿这样的科学家们不断进行测量，发现当太阳位于月亮轨道最低点时，月亮的平行运行速度通常较慢，而最高点和正交点处的平行运行速度通常较快；太阳位于最高点时则相反。因此，我设定当太阳位于月亮轨道中点时，月亮平行运行的速度差为11分50秒；在最高点时速度差为19分56秒；在正交点时速度差为9分30秒。不同位置的速度差，都是根据太阳位于轨道中点时的平均速度和太阳在不同位置的平均速度的比例来计算的，我把它叫做“一平均”。我的方法也用到了这个。

首先，他们增加了一个叫“二平均数”的东西来平均面积。西方人从奈端时代开始，就不断地精确测量，发现太阳在月亮运行轨道最高点和最低点前后，月亮的运行速度有时快有时慢，这种快慢变化的范围在太阳到达最高点或最低点后45度角的地方结束。在月亮运行轨道的中间位置，情况正好相反。但是，速度快慢累积的差异最大值出现在这45度角的地方。而且，太阳在最高点和最低点时，这种差异又不一样。所以，他们规定：太阳在最高点时，与月亮轨道最高点和最低点中间位置相比，在45度角处最大的速度差异是3分34秒；太阳在最低点时，这个最大差异是3分56秒。超过最高点或最低点45度角的部分，数值要减去；在中间位置45度角的部分，数值要加上。太阳每天与月亮之间距离的变化，都按照半径和太阳与月亮之间距离的正弦值来计算比例。太阳与地球之间每天距离的变化，又按照太阳在最高点和最低点与地球的距离立方之比，以及太阳当天与地球的距离与太阳在最高点与地球的距离立方之比来计算比例，这个方法就叫做“二平均”。我们用这个方法。

接下来，他们又增加了一个叫“三平均数”的东西来调整交点差异。西方人从奈端时代开始，就确定了北极星在黄道和赤道交点平均轨道上运行，并根据太阳与黄道和赤道交点的距离来计算。他们发现，太阳经过黄白两交点之后，月亮的运行速度会稍微变慢；太阳经过黄白两交点最大距离之后，月亮的运行速度会稍微变快；最大的速度差异是47秒。经过黄白两交点之后，数值要减去；经过最大距离之后，数值要加上。每天速度差异的计算，都按照半径和太阳与黄道和赤道交点距离的正弦值来计算比例，这个方法就叫做“三平均”。我们也用这个方法。

最后，他们修改了“二均数”来校正距离偏差。西方人从噶西尼时代开始，就不断地进行测量，确定了在太阳位于最高点时，朔望前后45度角处，最大的速度差异是33分14秒；在太阳位于最低点时，朔望前后45度角处，最大的速度差异是37分11秒。超过朔望点45度角的部分，数值要加上；在两弦点45度角的部分，数值要减去。月亮与太阳之间每天距离的“二平均”数值，按照半径和月亮与太阳之间距离的正弦值来计算比例。太阳在最高点时，每天“二平均”数值的差异，也按照太阳在最高点和最低点与地球的距离立方之比，以及太阳当天与地球的距离与太阳在最高点与地球的距离立方之比来计算比例，这和“二平均”方法一样。我们也用这个方法。

首先，咱们得算出月亮的三个平均值，让它们加起来等于总数。从西方的噶西尼开始，人们就采取了一种方法：当月亮到太阳的距离和月亮高度到太阳高度的总和是90度的时候进行测量。除了最后平均值的差异外，这个差异与月亮到太阳的距离或月亮高度到太阳高度单独为90度的情况是一样的。同样，当月亮到太阳的距离和月亮高度到太阳高度的总和是45度的时候进行测量，也除了最后平均值的差异外，这个差异与月亮到太阳的距离或月亮高度到太阳高度单独为45度的情况是一样的。这样就确定了太阴的三个平均值的差异：在月亮到太阳的距离和月亮高度到太阳高度的总度数半周内是加的，半周外是减的。90度和270度时最大的差异是2分25秒。中间每一度的差异，都用半径和总度的正弦来计算比例。就这么用这个方法。

接下来，为了让距离更准确，我们还得加上一个最终平均值。从西方的噶西尼开始，测量日月最高同度或日月同度，两者只有一相距之差，那就只有三个平均值。如果两个高度有距离，日月也有距离，那么除了三个平均值之外，朔后又差而迟，望后又差而速。等到月亮高度到太阳高度是90度，月亮到太阳的距离也是90度的时候，就没有三个平均值了，而它的差异反而最大。所以知道除了三个平均值之外，还有一个最终平均值。于是把月亮高度到太阳高度90度分成九个区间，分别在月亮到太阳的距离是90度的时候进行测量。两高相距90度，其差是3分；80度，其差是2分39秒；70度，其差是2分19秒；60度，其差是2分；50度，其差是1分43秒；40度，其差是1分28秒；30度，其差是1分16秒；20度，其差是1分7秒；10度，其差是1分1秒。中间每一度的差异，用比例中项来计算。期间月亮到太阳的距离每一度的差异，都用半径和月亮到太阳的距离的正弦来计算比例。朔后为减，望后为加。就这么用这个方法。

首先，咱们要确定黄白交点（地球轨道和月球轨道交点）的平均位置和偏差。从西方的奈端和噶西尼的观测数据来看，太阳在两个交点的时候，交角最大是5度17分20秒；当太阳和交点相距90度时，交角最小是4度59分35秒。 朔望之后，这个交角还会增加。因为太阳和交点之间的距离，以及月亮和太阳之间的距离都在逐渐变大，所以这个增加的幅度也会逐渐变大。当太阳和交点相距90度，月亮和太阳也相距90度时，交角会增加2分43秒。交点平均位置的最大偏差是1度29分42秒。

然后，我们用最大和最小交角的平均值来确定黄极本轮（一个圆圈，代表地球绕太阳公转的平均轨道）；用最大和最小交角的差值的一半来确定负白极均轮（另一个圆圈，用来修正黄极本轮）。我们假设均轮（代表平均轨道）的半径是5，取其中一部分，减去朔望之后交角增加的部分，得到最大加分小轮的半径，把它放在白道（月球轨道）上。剩下的部分就是交均小轮的半径。用均轮的半径减去交均小轮的半径，得到负小轮的半径。负小轮和均轮同心，均轮逆时针旋转，而负小轮本身并不旋转。均轮中心绕着本轮旋转，逆时针旋转，代表黄白交点的平均运动。交均小轮中心在负小轮上，从最远点开始，顺时针旋转，速度是太阳和交点距离的两倍。白极（月球轨道极点）在交均小轮上，从最远点开始，逆时针旋转，速度是太阳和交点距离的四倍。而白道上的加分小轮，它的周长是最短的。黄道上的点与朔望时的白道相切，它的半径根据太阳和交点距离的两倍来确定大小，并且始终与最大加分小轮内对应的正矢相等。我们再根据本轮半径中月亮和太阳距离的两倍对应的正矢来确定张角。通过实际观测检验，这个方法非常准确。这就是我们使用的计算方法。图甲为黄极，乙为本轮，丙为均轮，丁为负小轮，戊己皆为交均小轮，庚辛皆为白极，壬为黄道，丑、癸皆为朔望时白道，寅、子皆为两弦时白道，卯、辰皆为白道上加分小轮。

首先，咱们算一下地心到月球中心距离的差值，以及月球距离地心的最大值和最小值。算出来，月球距离地心最远的时候，大约是一亿零六百六十七万八千二百公里，差不多是地球半径的63.77倍；最近的时候，大约是九千三百三十二万八千公里，差不多是地球半径的55.79倍。如果算月球距离地心的差值最小的情况，最远距离大约是一亿零四百三十三万一千九百公里，也就是地球半径的62.37倍；最近距离大约是九千五百六十六万八千一百公里，也就是地球半径的57.19倍；而平均距离呢，大约是一亿公里，也就是地球半径的59.78倍。 我们还用平面三角形的方法，算出了月球从最高点到最低点，距离地心和地平面的最大差值。其实，月球高度变化的差值，都跟地球半径和正弦值成比例。

接下来，我们确定三种平行线及其位置。每天月球的平行线，比甲子元法多出22316/10000000秒；月球运行到最高点时的平行线，比甲子元法少7251/1000000秒；而正交时的平行线，比甲子元法少137/100000秒。在雍正癸卯年（公元1723年）冬至的第二天子正（午夜），月球的平行线位置，比甲子元法多出2分14秒57微秒；最高点的平行线位置，比甲子元法少36分37秒10微秒；正交时的平行线位置，比甲子元法多出5分6秒33微秒。

【交食改法之原】

首先，咱们算出新月和满月的时间。方法是先算出平朔（平朔就是平均意义上的新月）和平望（平均意义上的满月），然后算出当天和第二天太阳和月亮离开黄道的度数，来推算出实际的新月和满月时间。最后，再用当天和次日太阳和月亮离开黄道的度数来精确计算时间。这和以前的方法不一样，以前的方法只用两天，而且只用黄道和白道的经度相同的地方来计算。

接下来，咱们算日食和月食发生的确切时间，以及日、月中心之间的实际距离。因为黄道和白道不是平行的，所以太阳和月亮的路线经常是斜交的。如果假设太阳不动，那么月亮就像沿着一条斜线运动。所以，我们要找的是日、月中心距离最近的那条线，这条线和白道不垂直，而是和斜交线垂直。计算距离变化的时间，也不是用月亮相对于太阳的距离来计算，而是用斜交距离来计算。你看这个图，甲乙是黄道，戊乙是白道，甲戊是新月或满月时太阳和月亮的纬度差，甲癸是太阳一小时运行的距离，戊丑是月亮一小时运行的距离。假设太阳不动，在癸和甲重合，那么月亮就不会在丑，而会在寅。戊寅是一小时内黄道和白道斜交线的距离，甲卯和戊寅垂直，这就是日、月中心距离最近的线，戊卯是食甚（日食或月食达到最大程度）时的距离。这里我们把弧线当成直线，用平面三角形来计算。初亏（日食或月食开始）和复圆（日食或月食结束）的时间，则用弦和直径来计算，用勾股定理。

最后，我们重新确定太阳、月亮的实际直径和地球直径的比例。西方人用仪器测量，发现太阳的视直径最大为31分40秒，平均为32分12秒，最小为32分45秒；月亮的视直径最大为29分23秒，平均为31分21秒，最小为33分36秒。根据这些数据，我们推算出太阳的实际直径是地球直径的96.6倍，月亮的实际直径是地球直径的0.272倍，太阳光线发散的角度为15秒。我们计算的时候就用这些数据。

好，咱们一句一句地把这段古文翻译成白话。

首先，它讲的是怎么算日食和月食时影子的大小，以及影子的大小和实际情况之间会有一些误差。 它说，要算影子半径，先把太阳和月亮到地球的距离差加起来，再减去太阳到地球的距离，剩下的就是实际的影子半径。 但是，月食的时候，太阳在地球的另一边，地球的大气层会挡住一部分阳光，所以影子会比实际算出来的要大一些。这个差值大约是月亮到地球的距离的六十九分之一，这就是所谓的“影差”。

接下来，它用了一个三角形来解释这个计算方法。 想象一下，有个三角形，三个角分别是丁、辛、壬。 丁角代表太阳到地球距离和地球半径的差，辛角代表月亮到地球距离和地球半径的差。 它说，丁角加上辛角，就是壬角。 然后，从这个壬角里减去日半径对应的角（就是图里丙甲丁这个角），剩下的角就是实际影子半径对应的角。 （图上没画，所以只能根据文字描述来理解）。 总之，它用几何方法来解释如何计算日食月食的影长。 其实就是利用三角形的几何关系，通过已知条件来计算未知的影长。

简单来说，这段话用比较复杂的几何方法，解释了如何计算日食月食时影子的长度，并考虑了地球大气层对影子大小的影响。 虽然用词比较专业，但核心思想就是通过三角形计算来解决这个问题。

首先，咱们得算出日食发生时，太阳和月亮的实际距离以及它们看起来的距离。 想象一下，用一条弧线代替直线，画个直角三角形。日食发生时，太阳和月亮的实际距离作为三角形的一条边，它们高度差作为另一条边，它们之间在天球上的角度作为夹角。通过计算，就能算出太阳和月亮看起来的距离，以及它们实际距离的角度。

然后，我们再设一个时间点（往西边设，往东边设都行），算出这个时间点太阳和月亮的实际距离和高度差。 把这个时间点和日食发生时，太阳和月亮在天球上的角度相减，得到一个新的夹角。再用同样的方法算出这个时间点太阳和月亮看起来的距离，以及它们实际距离的角度。接下来，把日食发生时和设定的时间点，太阳和月亮在天球上的角度进行比较，再减去日食发生时太阳和月亮实际距离的角度，加上设定时间点太阳和月亮实际距离的角度，最后再减去一个周天角度，得到一个新的角度。用日食发生时和设定时间点太阳和月亮看起来的距离作为三角形的两条边，算出第三条边，也就是视行。然后，在这个视行上找到中垂线与视行的交点，这个点就是日食真正发生的时间点，中垂线就是日食真正发生时太阳和月亮看起来的距离。 （以上计算都是基于往西边设定的时间点进行的。）最后，我们再用这个真正发生的时间点，检验一下算出来的太阳和月亮看起来的距离是否和中垂线一致，如果一致，就确定了日食的真正时间。 就像图上画的那样，乾为日心，乾子为日食发生时太阳和月亮的实际距离，乾壬为高度差，壬子为它们看起来的距离，乾午为设定时间点太阳和月亮的实际距离，乾己为高度差，己午和壬未都代表它们看起来的距离，壬丑的中垂线代表日食真正发生时太阳和月亮看起来的距离。 初亏和复圆的计算方法类似，只是需要用太阳和月亮的直径进行比较来确定真正的时间。如果发生带食现象，则以地平线为界限，直接计算太阳和月亮看起来的距离，不需要计算视行。

恒星的计算方法的详细说明，可以参考《天文志》。

土星的计算方法的详细说明，可以参考《推步因革篇》。

罗睺和计都这两个名称的更改，是在乾隆五年，和硕庄亲王等人根据古代方法上奏请求更正，经过大学士和九卿的讨论，最终在乾隆九年更正的。

紫气的增设，是大学士伯讷尔泰等人讨论后，在更正罗睺和计都名称的同时，根据古代方法增设的。紫气大约28年10个闰月运行一周天，每天运行2分6秒，剩余720777。以乾隆九年甲子天正冬至次日子的正午，七宫十七度五十分十四秒五十三微为起点。

日躔的计算，以雍正元年癸卯天正冬至为起点。（壬寅年十一月冬至。）

一年有三百六十五天，还多出二四二三三四四二秒。

太阳每天运行三千五百四十八秒，还多出三二九○八九七秒。

地球在近日点每天运行六十二秒，还多出九九七五秒。

地球在近日点每天运行十分之一秒，还多出七二四八秒。

地球轨道椭圆，长半轴是一千万里，短半轴是九百九十九万八千五百七十一里，还多出八十五里，两个焦点之间的距离是十六万九千里。

恒星度数，乾隆十八年以前，用康熙壬子年的数据；十九年以后，用乾隆甲子年的数据，具体可以查阅《天文志》。

各个省份以及蒙古、回部、金川土司的北极高度和东西经度，都可以查阅《天文志》。

黄赤交角是二十三度二十九分。

近日点黄经是八度七分三十二秒二十二微秒。

回归年是三十二日一二二五四秒。

恒星年是二十七日一二二五四秒。

恒星名称，乾隆十八年以前，与甲子元法相同；十九年以后，觜宿前移，参宿后移，其余参考甲子元法。

推算太阳运行轨迹求得冬至，方法与甲子元法相同。

求太阳每日运行的平动，方法与甲子元法相同。

求太阳每日运行的视动，先求引数，方法与甲子元法相同。然后用平面三角形计算，以二千万里为一边，两焦点距离的两倍为另一边，引数为夹角（六宫内用内角，六宫外用全周减去内角），求出两倍焦点距离所对应的角，再将此角加倍得到椭圆的界角。再以地球轨道短半轴为一率，长半轴为二率，前面求出的夹角的正切值为三率，求出四率作为椭圆的正切值，查表得到度分秒。用这个值减去引数，余数为椭圆差角。近日点前后各三宫的数值与椭圆界角相加，远日点前后各三宫的数值与椭圆界角相减（从初宫为近日点后开始顺次计算），求得平均值。将每日平动加上或减去这个平均值（引数初宫到五宫相加，六宫到十一宫相减），得到每日视动。

计算恒星度数。

计算每日所值宿度。

计算节气时刻。

计算太阳赤纬。

计算日出日落和昼夜长短。这些计算方法都与甲子元法相同。

月亮每日运行四万七千四百三十五秒，还多出○二三四○八六秒。

远日点太阳每日运行四百零一秒，还多出○七○二二六秒。

这段文字记录的是一些天文观测数据，用的是古代的计量单位和说法，咱们一句一句地翻译成现代口语，尽量保持原意。

首先，它说“正交每日平行一百九十秒”，意思是说，在正交这个位置上，每天观测到的平行现象持续190秒。然后，“小余六三八六三”，这个“小余”指的是什么不太好确定，可能是一个特定的天文术语或计算结果，具体含义需要更多上下文才能解释清楚。 接下来，“太阳最大均数六千九百七十三秒”，指的是太阳运行到最大位置时，平均持续时间是6973秒。“太阴最大一平均七百一十秒”，意思是月亮运行到最大位置时，平均持续时间是710秒。后面几句类似，都是记录不同天文现象的平均持续时间，比如“最高最大平均一千一百九十六秒”，“正交最大平均五百七十秒”等等，单位都是秒。

接着，它开始记录一些立方积的数据，比如“太阳最高立方积一○五一五六二”，“太阳高卑立方大较一○一四一○”，这些数据可能与太阳运行轨道的体积或空间相关，具体含义需要专业的天文学知识才能解读。后面又提到太阳和月亮运行时的一些平均时间数据，例如“太阳在最高，太阴最大二平均二百一十四秒”，“太阳在最卑，太阴最大二平均二百三十六秒”，“太阴最大三平均四十七秒”，这些数据描述了太阳和月亮在不同位置时的运行时间关系。

接下来，这段文字开始描述一些轨道参数，比如“本天橢圆大半径一千万”，指的是天体运行轨道的椭圆形长半轴长度是一千万单位（单位未明确）；“最大两心差六六七八二○”，“最小两心差四三三一九○”，指的是轨道上两焦点之间的最大和最小距离；“最高本轮半径五五○五○五，即中数两心差”，指的是某个轨道半径数值，并指出它等于两焦点距离的中值；“最高均轮半径一一七三一五”，指的是另一个轨道半径数值。 后面又记录了太阳和月亮在不同位置时的一些平均时间数据，例如“太阳在最高，太阴最大二均一千九百九十四秒”，“太阳在最卑，太阴最大二均二千二百三十一秒”，“太阴最大三均一百四十五秒”。

最后，这段文字描述了不同角度下，两弦最大末均值，比如“两最高相距一十度，两弦最大末均六十一秒”，意思是当两个最高点相距10度时，两弦的最大平均值是61秒，后面依次列出了20度、30度…一直到90度的情况。最后还记录了一些正交轨道和黄白大距的参数，比如“正交本轮半径五十七分半”，“正交均轮半径一分半”，“最大黄白大距五度一十七分二十秒”，“最小黄白大距四度五十九分三十五秒”，“黄白大距中数五万八千五百零七秒半”，“黄白大距半较五百三十二秒半”，“最大交角加分一千零六十五秒”，“最大距日加分一百六十三秒”，“太阴平行应五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微”，“最高应八宫一度一十五分四十五秒三十八微”。这些数据描述了轨道参数、角度、以及一些天文现象的数值。 总而言之，这段文字是一份详细的天文观测记录，充满了各种天文数据。 要完全理解其含义，需要具备相当的天文学知识和对古代天文测量方法的了解。

我算出来了，太阳位于黄经五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微。我看到了太阳的运行轨迹。

接下来，我用甲子元法计算冬至的月亮位置。

然后，还是用甲子元法计算月亮的平行度。

再用甲子元法计算月亮最高点的平行度，同时计算月孛的运行情况。

接着，还是用甲子元法计算月亮正交点的平行度。

最后，计算“用平行”。 我用太阳最大平均数作为第一比率，太阴最大平均数作为第二比率，今天太阳的平均数化成秒作为第三比率，然后算出第四比率，单位是秒。 把秒换算成分（后面的计算都一样）。 得到太阴的平均值。 再用最高点的最大平均数作为第二比率（第一比率和第三比率同上），算出第四比率，得到今天最高点的平均值。 再用正交点的最大平均数作为第二比率，算出第四比率，得到今天正交点的平均值，并记录下它的正负号。（太阴的正交点和太阳相反，最高点和太阳相同。） 把这些平行度加上或减去，得到太阴的两个平行度以及“用最高”和“用正交”。 在太阳的实际运行位置里减去“用最高”，得到太阳到月亮最高点的距离。减去“用正交”，得到太阳到月亮正交点的距离。

下一步，我用半径一千万作为第一比率，在太阳的引数里加上或减去太阳的平均数得到实际引力，然后取它的余弦作为第二比率，太阳的倍两心差作为第三比率，算出第四比率，得到分股。 再用实际引力的正弦作为第二比率（第一比率和第三比率同上），算出第四比率，得到勾；把分股和全径二千万相加或相减（实际引力在三宫内九宫外加，三宫外九宫内减），得到股弦和；然后算出弦。 再用弦减去全径，得到太阳到地心的距离。 这个距离自乘再自乘得到立方积，再减去太阳最高点立方积，得到这个时刻的立方差。 然后，我用半径一千万作为第一比率，高卑的最大两个平均值分别作为第二比率，太阳到月亮最高点距离的倍度正弦作为第三比率，分别算出第四比率，得到这个时刻的高卑两个平均值。 再用高卑立方最大差作为第一比率，这个时刻的立方差作为第二比率，这个时刻的高卑两个平均值相减的余数作为第三比率，算出第四比率，并把它和这个时刻的最高两个平均值相加，得到这个时刻的两个平均值，并记录下正负号。（太阳到月亮最高点距离的倍度小于半周为减，大于半周为加。） 接着，我用半径一千万作为第一比率，最大三个平均值作为第二比率，太阳到月亮正交点距离的倍度正弦作为第三比率，算出第四比率，得到三个平均值，并记录下正负号。（太阳到月亮正交点距离的倍度小于半周为减，大于半周为加。） 最后，把两个平行度加上或减去两个和三个平均值，得到“用平行”。

首先，咱们得算个“初实行”。用个等腰三角形，一边是日轮（太阳）最高点半径，另一边是均轮（月球平均轨道）最高点半径。然后，用日地月距离最大倍数减去半周（180度），剩下的就是这个三角形夹角。算出这个角对应均轮半径的角，就是“最高实均”，记住是加还是减（日地月距离最大倍数小于180度就加，大于180度就减）。再算出对应这个角的边长，这就是本时刻日地距离。用“最高实均”加上或减去“最高本轮半径”，得到“最高实行”。再用“最高实行”减去“平行”得到的“太阴引数”。 接下来，再用一个等腰三角形，一边是半径（设为一千万），一边是刚才算出的本时刻日地距离，“太阴引数”减去半周，剩下的又是夹角。算出对应日地距离的角，把它和之前的角加起来，得到新的夹角。然后，算出对应半径（一千万）的角，这就是“平圆引数”。

接下来，咱们得用比例法算“实引”。把本轮（太阳）大半径作为比例的第一个数，本时刻日地距离作为正弦值，查表找到对应的余弦值作为第二个数，“平圆引数”的正切值作为第三个数，算出第四个数，这个数的正切值就是“实引”。用“实引”减去“太阴引数”，得到“初均数”。最后，咱们用“平行”的方法，根据“初均数”进行加减运算（如果“引数”在初宫到五宫，就减；在六宫到十一宫，就加），最终得到“初实行”。

首先，咱们得算出月亮到太阳的距离。 先算出今天的太阳位置，然后用月亮到太阳的距离减去今天的太阳位置，得到月亮和太阳的距离。 计算的时候，我们把半径设为一千万，然后用月亮到太阳距离的正弦值，以及最高点和最低点的平均值，算出四个值，得到此时月亮的最高点和最低点平均值。 记住要记下加减号，月亮到太阳的距离如果不到半周就加，超过就减。

接下来，我们用月亮的最高点和最低点的平均值，再算出一个更精确的月亮到太阳的距离。 这个距离还要加上或减去六宫（这里指六分仪的刻度，具体数值需要根据上下文推断），得到太阳最高点和月亮最高点的位置。 然后用太阳最高点的位置减去月亮最高点的位置，得到太阳和月亮最高点之间的距离。 把这个距离加上我们之前算出的更精确的月亮到太阳距离，得到两者之间的总距离。 然后，我们用半径一千万，以及最高点、最低点和平均值的三个平均值，还有总距离的正弦值，算出新的平均值，同样要记下加减号，总距离不到半周就加，超过就减。

最后，我们再算一个更精确的平均值。 还是用半径一千万，以及太阳和月亮最高点距离的比例中值，还有我们之前算出的两个弦的最大值和最小值的平均值，以及月亮到太阳距离的正弦值，算出最终的平均值，也要记下加减号。这次月亮到太阳的距离不到半周就减，超过就加。 最后，把最开始算出的月亮位置，加上或减去我们算出的这三个平均值，就得到了最终的白道运行位置。

首先，我们要算黄道的运行位置。用一个直角三角形，一条边是日心说的本轮半径，另一条边是均轮半径，夹角是日距的正交倍数（如果倍数超过半周，就减去半周，用剩下的部分）。算出这个夹角的一半，再用它减去日距的正交值，得到修正后的均轮半径。根据日距正交倍数是否超过半周（超过则减，未超过则加），对这个修正值进行加减运算，得到黄道运行的实际位置。

接下来，算出白道的运行位置，再用它减去黄道的运行位置，得到月球与黄道的距离（正交距离）。然后，我们用比例法计算交角的修正值：设半径为一率，日距正交倍数的正矢为二率（如果倍数超过半周，用全周减去它，用剩下的部分），黄白最大距离的一半为三率，就能算出四率，也就是交角的修正值。同样方法，用最大距离加上修正值的一半作为三率，算出距交加差。再用半径为一率，实际月距日倍数的正矢为二率（倍数超过半周，用全周减去它，用剩下的部分），距交加差的一半为三率，算出四率，也就是日距的修正值。最后，用最大距离减去交角修正值，再减去修正值，加上日距修正值，就得到黄白最大距离。

然后，我们用比例法计算黄道距交度：设半径为一率，黄白最大距离的余弦为二率，月距正交距离的正切为三率，算出四率，也就是正切值，查表得到黄道距交度。用黄道距交度减去月距正交距离，得到升度差。根据月距正交距离所在的宫位（初一、二、六、七、八宫减，三、四、五、九、十、十一宫加），对白道运行位置进行加减运算，最终得到黄道运行位置。

求黄道纬度，方法同甲子元法。

求四种宿度，月孛用最高运行位置，罗睺用正交运行位置加减六宫，计都用正交运行位置，其余方法同甲子元法。

求纪日值宿。

求交宫时刻。

求太阴出入时刻。

求合朔弦望。

求正升、斜升、横升。

求月大小。

求闰月，并同甲子元法。

咱们来看看古人是怎么记录一年四季变化的。首先，根据太阳运行的位置，确定每个月的节气。比如，太阳走到“娵訾”星宿的时候，就是正月，也就是寅月。这时候东风吹来了，冻土开始融化，冬眠的小虫子也开始活动了，鱼儿浮出水面，水獭开始捕鱼，大雁也飞回来了，草木开始发芽。这五个现象，就是正月里的五个“候”。

二月是卯月，太阳运行到“降娄”星宿。桃花开了，黄鹂鸟叫了，老鹰变成了鸠鸟（这说法有点玄乎哈），燕子飞来了，打雷闪电也开始了。这又是五个“候”。三月是辰月，太阳在“大梁”星宿。泡桐树开花了，田鼠变成了鴽（一种鸟），彩虹出现了，浮萍也开始生长，斑鸠梳理羽毛，戴胜鸟飞到桑树上。这又是五个“候”。四月是巳月，太阳在“实沈”星宿。田鸡叫了，蚯蚓钻出来了，王瓜长出来了，苦菜也冒芽了，一些草枯萎了，麦子开始成熟了。这又是五个“候”。

五月是午月，太阳在“鹑首”星宿。螳螂出生了，伯劳鸟开始鸣叫，反舌鸟不叫了，鹿角脱落了，蝉开始鸣叫，半夏也长出来了。六月是未月，太阳在“鹑火”星宿。暖风吹来了，蟋蟀在墙角叫，老鹰开始捕猎，腐烂的草变成了萤火虫，土地湿润闷热，大雨经常下。七月是申月，太阳在“鹑尾”星宿。凉风吹来了，白露出现了，寒蝉鸣叫，老鹰开始祭祀鸟类，天气开始转凉，庄稼也成熟了。八月是酉月，太阳在“寿星”星宿。大雁飞来了，燕子飞走了，鸟儿们开始储备食物，雷声渐渐消失了，冬眠的虫子开始准备过冬，水开始干涸了。

九月是戌月，太阳在“大火”星宿。大雁成群结队地飞来，麻雀掉进水里变成了蛤蟆（这个也挺神奇的），菊花开了，豺狼开始祭祀猎物，草木枯黄飘落，冬眠的虫子都躲起来了。十月是亥月，太阳在“析木”星宿。水开始结冰，土地开始冻结，野鸡潜入水中变成了蜃（一种传说中的生物），彩虹消失了，天上的气上升，地上的气下降，天地闭塞，冬天来了。十一月是子月，太阳在“星纪”星宿。伯劳鸟不叫了，老虎开始交配，一种叫荔挺的植物长出来了，蚯蚓蜷缩起来，麈（一种鹿）的角脱落了，泉水开始流动。十二月是丑月，太阳在“元枵”星宿。大雁往北飞，喜鹊开始筑巢，野鸡鸣叫，母鸡开始下蛋，猛禽飞得很快，水泽结冰了。

每个“候”对应着太阳运行五度的距离，根据星宿位置推算就能知道节气了。

首先，咱们算五星的位置。算五星运行，都用甲子元法，不过土星要特殊处理一下，算出来的结果得减去30分。

然后是恒星。恒星的计算方法，你看《天文志》就知道了，跟甲子元法一样。

接下来是紫气。咱们以乾隆九年（癸亥年）的甲子年冬至作为起始点，也就是那天是咱们计算的起点。具体来说，是乾隆九年十一月冬至。

紫气每天运行一百二十六秒，余数是七二○七七七。

算出来，紫气应该在七宫十七度五十分十四秒五十三微。

计算紫气运行的方法，跟算它和太阳的平行运行方法一样。

最后，算星宿的度数，也跟太阳一样。

文章信息

作者： Realhistories

分类：清史稿（口语版）

日期：2024年12月21日

创建时间: 2024年12月21日

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这段文字记录的是古代关于月食的一些天文计算数据。第一部分是各种天文数据的记录，用现代话来说，就是一些天文参数。

朔月（农历初一）的时候，计算周期是29天530593秒。望月（农历十五）的时候，计算周期是14天7652965秒。太阳的平行运动，朔月周期是104784秒，还余下304324秒；太阳的引力作用，朔月周期是104779秒，还余下358865秒；月亮的引力作用，朔月周期是92940秒，还余下24859秒；月亮的运行周期，朔月周期是110414秒，还余下16574秒。望月的时候，太阳的平行运动是14度33分12秒09微秒；太阳的引力作用是14度33分09秒41微秒；月亮的引力作用是6宫12度54分30秒07微秒；月亮的运行周期是6宫15度20分07秒。 太阳每小时平行运动147秒，还余下8471049秒；太阳每小时引力作用147秒，还余下840127秒；月亮每小时引力作用1959秒，还余下7476542秒；月亮每小时运行周期1984秒，还余下402549秒。月亮与太阳每小时相对运动1828秒，还余下6121108秒。

接下来是关于一些天文距离和半径的数值：太阳光线的半径是637；月亮的实际半径是27；地球的半径是100；太阳距离地球最远是1079208，与地球半径的比例是116200；月亮距离地球最远是1072500，与地球半径的比例是5816。

然后是一些关于朔月（初一）的具体计算：朔月出现在26天3852666秒；第一次朔月时，太阳的平行运动是初宫26度20分42秒57微秒；第一次朔月时，太阳的引力作用是初宫19度10分27秒21微秒；第一次朔月时，月亮的引力作用是九宫18度34分26秒16微秒；第一次朔月时，月亮的运行周期是六宫0度30分55秒14微秒，其余的数值见日躔（太阳运行）和月离（月亮运行）的记录。

第二部分是关于推算月食的方法：首先要找到准确的冬至时间，并记录下当天太阳的运行位置；然后计算纪日，方法是将冬至的日期加上一天，就得到了纪日。

首先，咱们得算出“首朔”，也就是一个月中第一次朔日（农历初一）。先算出从某个参考日期到目标月份的总天数，再减去这个月之前的朔日天数，得到这个月朔日的总天数。 如果是在上一年计算，那就加上总天数。然后用朔日周期（就是朔日出现的天数规律）去除这个总天数，得到的商加1就是这个月之前的朔日总数，余数再减去朔日周期，就是这个月首朔的具体日期了。如果是在上一年计算，商就是朔日总数，余数就是首朔日期，不用再加减了。

接下来，算太阴入食限，也就是月亮进入日食范围的时间。先用刚才算出的朔日总数，乘以太阴交周朔策（月亮运行周期的一个参数），再减去一个周天的秒数，剩下的就是这个月朔日对应的太阴交周。加上首朔太阴交周应（首朔时月亮运行位置的一个参数），就得到首朔时的太阴交周。上一年计算的话，就用首朔交周应减去积朔交周。然后再加上太阴交周望策（满月时月亮运行位置的一个参数），再用交周朔策依次递加13次，就能算出每个月的望日（农历十五）的太阴平交周。看看这个月的交周是否在日食范围（五宫十五度○六分至六宫十四度五十四分，或十一宫十五度○六分至初宫十四度五十四分），是的话，这个月就有日食。最后再精确计算一下实际的交周。

然后算平望，也就是农历十五的日期。用太阴入食限的月份数乘以朔日周期，加上望日周期参数，再加上首朔的日数和纪日（就是记录天数的方法），再减去一个纪法周期（就是记录天数的周期），剩下的就是平望的日数。从初一开始按甲子纪年法（六十甲子）算，就能得到平望的干支，再把剩余的小数换算成时刻分秒，就能得到精确的平望时间，从子正（晚上11点）开始算。

接下来算太阳平行，也就是太阳在黄道上的位置。用朔日总数加上太阴入食限的月份数得到总月数，再乘以太阳平行朔策（太阳运行周期的一个参数），减去一个周天的秒数，加上首朔太阳平行应（首朔时太阳位置的一个参数），上一年计算则减去，最后再加上太阳平行望策（满月时太阳位置的一个参数），就得到结果了。

最后算太阳平引和太阴平引，也就是太阳和月亮在黄道上的纬度。方法类似，都是用总月数乘以相应的朔策（太阳或月亮的运行周期参数），减去周天秒数，加上首朔时的相应参数（上一年计算则减去），再加望策，就能得到结果了。

首先，我们要算出太阳的实际运行速度。先算出太阳的平均运行速度，再根据太阳运行的规律算出它的平均数值。同样，先算出月亮的平均运行速度，再根据月亮运行的规律算出它的初始平均数值。把这两个平均数值加减一下，得到两者之间的距离弧度。（同号就相减，异号就相加。）然后，用月亮和太阳每小时的平均运行速度差值乘以一个系数，再把这个距离弧度也换算成同样的单位，算出两者之间的时间差，也就是距离时间差的秒数，并确定这个时间差是加还是减。（如果两个平均数值同号，太阳运行速度大就用正号，小就用负号；如果一个加一个减，就看太阳的正负号来决定。）接下来，我们用每小时的秒数乘以一个系数，再乘以太阳每小时的运行速度，最后乘以刚才算出的时间差秒数，得到一个数值。把这个数值换算成度、分、秒，就是太阳实际运行的弧度。（正负号根据时间差的正负号决定。）最后，把这个实际运行弧度加减到太阳的平均运行速度上，就得到了太阳的实际运行速度。

接下来算月亮的实际运行速度。用每小时的秒数乘以一个系数，再乘以月亮每小时的运行速度，最后乘以刚才算出的时间差秒数，得到一个数值。把这个数值换算成度、分、秒，就是月亮实际运行的弧度。（正负号根据时间差的正负号决定。）最后，把这个实际运行弧度加减到月亮的平均运行速度上，就得到了月亮的实际运行速度。

然后，我们来算出日月食的实际发生时间。先用太阳的实际运行速度重新计算它的平均速度，同时算出太阳到地心的距离。（也就是实均第二平三角形对正角的边长。）同样，用月亮的实际运行速度重新计算它的平均速度，同时算出月亮到地心的距离。（方法和太阳一样。）把这两个平均速度加减一下，得到实际的距离弧度。（加减方法和前面算距离弧度的方法一样。）根据前面计算时间差的方法，算出日月食实际发生的时间差，然后加减到平均日月食发生的时间上，就得到了日月食实际发生的时间。（如果时间超过24小时，就说明日月食发生时间推迟一天；如果时间不足，就从一天24小时里扣除，说明日月食发生时间提前一天。）

最后，我们来算出交点周期的实际时间。用每小时的秒数乘以一个系数，再乘以月亮每小时交点周期的速度，最后乘以刚才算出的时间差秒数，得到一个数值。把这个数值换算成度、分、秒，就是交点周期的距离弧度。根据时间差的正负号，把这个距离弧度加减到月亮交点周期的平均速度上，再加减月亮实际平均速度，就得到了交点周期的实际时间。如果这个实际时间落入必食的范围，就说明会发生日月食。（必食的范围是：从五宫十七度四十三分○五秒到六宫十二度十六分五十五秒，以及从十一宫十七度四十三分○五秒到初宫十二度十六分五十五秒。如果不在这个范围内，就不用再算了。）

首先，我们要算出太阳的黄赤道经度。先把太阳每小时的黄赤道经度变化量（用秒表示）设为第一个比率，太阳每小时的平动量（也用秒表示）设为第二个比率，再把太阳的实际距离（用秒表示）设为第三个比率。把这三个比率和太阳每小时的实际运动量（用秒表示）算出来，然后用度、分、秒表示出来，这就是太阳的距弧。根据时间差的正负号来决定加还是减。然后把这个距弧加减到太阳的平动量上，再加减到太阳的日均值上，就能得到黄道经度。最后，用三角函数计算出赤道经度。（具体方法可以参考计算月球出入时间的步骤。）

接下来，我们要算出月食的实际发生时间。先用太阳的日均变化量算出平均时差，再用黄赤道经度差算出升度时差，把这两个时差加减起来得到总时差。（加减的方法，可以参考计算月球运行时间的步骤。）然后把总时差加减到预估的月食时间上，就得到月食的实际发生时间。（如果月食发生在日出后日入前九刻以内，就能看到；如果超过九刻，那就都在白天，不用算了。）

然后，我们计算月食食甚的时刻。先把地球半径设为第一个比率，黄白大距的余弦值设为第二个比率，实际交点周期的正切值设为第三个比率。算出这三个比率的结果，然后查表得到食甚交点周期。用这个值减去实际交点周期，得到交点周期的升度差。再把月亮每小时的引数和月亮的实际引数加起来，用计算月球初均的方法计算出后均。然后把后均和月亮的实际均值加减起来（同号相减，异号相加），再把结果和月亮每小时的距离变化量加减起来（如果两个值同号，后均值大就加，小就减；如果两个值异号，后均值大就减，小就加），得到月亮的实际距离。把月亮的实际距离（用秒表示）设为第一个比率，每小时（用秒表示）设为第二个比率，交点周期的升度差（用秒表示）设为第三个比率。算出这三个比率的结果，然后用时、分、秒表示出来，这就是食甚的距时。把这个距时加减到月食的实际发生时间上（如果实际交点周期在初宫或六宫，就减；在五宫或十一宫，就加），就能得到食甚的时刻。

最后，我们计算食甚时的纬度。把地球半径设为第一个比率，黄白大距的正弦值设为第二个比率，实际交点周期的正弦值设为第三个比率。算出这三个比率的结果，然后查表得到食甚时的纬度。（如果实际交点周期在初宫或五宫，就是北纬；在六宫或十一宫，就是南纬。）

首先，咱们算算月亮的半径。先用月亮离地球最远距离（一率），再乘以地球半径和月亮轨道半径的比例（二率），最后减去月亮轨道平均半径（三率），就能算出月亮到地球的距离（四率）。然后，用月亮到地球的距离（一率），月亮的实际半径（二率），和天球半径（三率），算出正弦值，查表就能得到月亮的半径了。

接下来，算算地球影子的半径。先用太阳离地球最远距离（一率），再乘以地球半径和太阳轨道半径的比例（二率），最后乘以太阳到地心的距离（三率），就能算出太阳到地球的距离（四率）。然后，用太阳光线半径减去地球半径（一率），太阳到地球的距离（二率），和地球半径（三率），算出地球影子的长度（四率）。再用地球影子的长度（一率），地球半径（二率），和天球半径（三率），算出正弦值，查表就能得到地影的角度。最后，用天球半径（一率），地影角度的正切值（二率），和地球影子的长度减去月亮到地球的距离（三率），算出月亮进入地球影子时的宽度（四率）。最后，用月亮到地球的距离（一率），地影宽度（二率），和天球半径（三率），算出正切值，查表就能得到地球影子的半径了。

然后，咱们算算日食的食分。用月亮的直径（一率），十分之一（二率），以及月亮和地球影子半径的总和减去食甚时月亮和地球影子的纬度差（三率）（如果总和比纬度差小，那就没日食了），算出的结果（四率）就是日食的食分。

最后，算算日食开始和结束的时间。用食甚时月亮和地球影子纬度差的余弦值（一率），月亮和地球影子半径总和的余弦值（二率），以及半径（一千万）作为常数（三率），算出余弦值（四率），查表得到日食开始和结束的弧度。然后，用月球绕地球运行的角速度（一率），一小时的秒数（二率），以及日食开始和结束的弧度（三率），算出秒数（四率）。把秒数换算成小时和分钟，就能得到日食开始和结束的时间差。最后，加上或减去食甚的时间，就能得到日食开始和结束的具体时间了（减去时间差得到开始时间，加上时间差得到结束时间）。

首先，咱们算日食开始和结束的时间。先算个比例，用日食最大食分时的距离乘以余弦作为第一个比例；再用两个半径的比值乘以余弦作为第二个比例；半径取一千万作为第三个比例。然后算出第四个比例，也就是余弦值，查表找到日食开始和结束对应的弧度。接下来，用月球到太阳的距离换算成秒作为第一个比例，一小时换算成秒作为第二个比例，日食开始和结束对应的弧度换算成秒作为第三个比例，算出第四个比例，也就是秒数。把秒数换算成小时和分钟，就得到了日食开始和结束的时间。日食开始的时间是从最大食分时间减去算出来的这个时间差，日食结束的时间则是加上这个时间差。

然后算日食的总时间。这个很简单，把日食开始和结束的时间差乘以二就行了。

接下来算月亮在黄道上的经度和纬度。先确定太阳在黄道上的经度，然后加上或减去六宫（如果超过六宫就减去六宫，没到六宫就加上六宫）。再根据日食最大食分时的弧度进行加减，还要加上或减去黄白交角的差值（具体怎么算黄白交角的差值，可以参考月球运动那部分的详细说明）。这样就得到了月亮在黄道上的经度。至于纬度，也参考月球运动那部分的说明。

月亮在赤道上的经度和纬度，参考月球运动那部分关于月亮出入时间的说明来计算。

最后是求宿度，这个跟当天太阳运行的度数一样。

首先，咱们得算出黄道和地平面的交角。先用食甚（日食达到最大程度）的时间，换算成赤道度数，方法是每四个时辰算一度。然后，从太阳在赤道上的经度里减去三个宫（每个宫30度），如果不够减，就加上十二宫（360度）再减。剩下的就是太阳距离春分点的赤道度数。把这两个度数加起来，如果超过一圈（360度），就减去一圈。得到的就是春分点到子午线（正午）的赤道度数。再用这个数减去半圈（180度），就得到春分点到正午东西方向的赤道度数。如果超过半圈，就减去半圈，结果是正午西；如果不到半圈，就减去半圈，结果是正午东。

接下来，如果春分点到正午东西方向的度数超过90度，就再减去半圈（180度），剩下的就是秋分点到正午东西方向的赤道度数。（秋分点和春分点在东西方向上是相反的。）然后，用春分点和秋分点到正午东西方向的度数分别减去90度，剩下的就是春分点和秋分点到地平线的赤道度数。这个度数就是我们弧三角形的一条边。再用黄赤交角（黄道和赤道的最大夹角）以及赤道和地平面的交角（也就是赤道在地平线上的高度）作为另外两条边所对的角。

用这三个量，我们就能算出对边所对的角，也就是黄道和地平面的交角。如果春分点在正午的东边，秋分点在正午的西边，那算出来的结果就是黄道地平交角。但如果春分点在正午的西边，秋分点在正午的东边，就得用算出来的结果减去半圈（180度），剩下的才是黄道地平交角。

好家伙，这得算半天啊！首先，得算出黄道高弧交角。怎么算呢？用黄道地平交角的正弦值当作第一个比例系数，赤道地平交角的正弦值当作第二个比例系数，春秋分距离地平赤道度的正弦值当作第三个比例系数。把这三个比例系数和一个正弦值（应该是已知的）一起算，就能得到春秋分距离地平黄道的度数。

接下来，看看春秋分在水平面上的位置。用月亮在黄道上的经度分别减去三宫和九宫的经度（春分减三宫，秋分减九宫）。剩下的就是月亮距离春秋分在黄道上的度数。如果春秋分的宫度比月亮的宫度大，说明月亮在春秋分之前；反之，则在之后。然后，把春秋分距离地平黄道的度数和月亮距离春秋分黄道的度数加减一下，就能得到月亮距离地平黄道的度数。 如果春秋分在正午的西边，月亮在春秋分之后就加，在春秋分之前就减；如果春秋分在正午的东边，那就反过来。

最后，看看月亮距离地平黄道的度数是东是西。如果春秋分在正午的西边，月亮距离地平黄道的度数不到90度，那就是限西；超过90度，那就是限东。春秋分在正午的东边，情况正好相反。 最后一步，用月亮距离地平黄道的度数的余弦值当作第一个比例系数，地球半径当作第二个比例系数，黄道地平交角的余切值当作第三个比例系数，算出这三个比例系数和一个正切值（应该是已知的），就能得到黄道高弧交角了。

首先，我们要算出初亏和复圆的交角。先算出初亏和复圆之间那段弧的长度，然后用初亏和复圆的距离加上或减去这段弧长，就能分别得到初亏和复圆的交周（减去弧长得到初亏的交周，加上弧长得到复圆的交周）。 接下来，我们用一些三角函数来计算。把地球半径设为一个比例系数（一率），黄白大距的正弦值作为另一个比例系数（二率），初亏交周的正弦值作为第三个比例系数（三率），然后算出第四个比例系数（四率）的正弦值，查表就能得到初亏的纬度。同样的方法，用复圆交周的正弦值作为第三个比例系数（三率），就能算出复圆的纬度。记住，初一和初五的交周纬度在北边，初六和十一的交周纬度在南边。

然后，我们用地球直径的正弦值作为比例系数（一率），初亏和复圆纬度的正弦值分别作为第二个比例系数（二率），地球半径（假设为一千万）作为第三个比例系数（三率），分别算出第四个比例系数（四率）的正弦值，查表就能得到初亏和复圆的纬度差角。最后，把这个纬度差角分别与黄道高弧交角相加减，就能得到初亏和复圆的最终交角。 具体来说，如果初亏在东边，纬度在南边就加，纬度在北边就减；如果在西边，纬度在南边就减，纬度在北边就加。复圆的情况正好相反。如果初亏和复圆没有纬度差角，那么黄道高弧交角就是最终交角。

最后，我们来确定初亏和复圆的方位。如果日食发生在东边，并且最终交角小于45度，初亏就在偏左下方，复圆就在偏右上方；如果交角大于45度，初亏就在偏左上方，复圆就在偏右下方；如果交角正好是90度，初亏就在正左方，复圆就在正右方；如果交角大于90度，初亏就在偏左上方，复圆就在偏右下方。如果日食发生在西边，情况正好相反。 需要注意的是，以上方位计算是基于北京地区黄平象限恒在天顶南的情况，如果天顶在北边，方位则相反。

首先，咱们得算出带食的时间。先用日出或日落的时间（如果初亏或食甚在日落前，就用日落时间；如果食甚或复圆在日出后，就用日出时间）减去食甚的时间，得到带食持续时间。然后把这个时间换算成秒，再算出每小时月球移动的距离（也换算成秒），最后用带食时间（秒）、每小时月球移动距离（秒）和一些其他的参数算出带食的弧度。最后，通过一系列复杂的计算，就能算出带食的具体时间（分秒）。 这部分计算公式比较复杂，我就不再赘述了，原文是：求带食分秒，以本日日出或日入时分（初亏或食甚在日入前者，为带食出地，用日入分。食甚或复圆在日出后者，为带食入地，用日出分。）与食甚时分相减，余为带食距时。以一小时化秒为一率，一小时月距日实行化秒为二率，带食距时化秒为三率，求得四率为秒。以度分收之，为带食距弧。又以半径千万为一率，带食距弧之余切为二率，食甚距纬之余弦为三率，求得四率为余切，检表得带食两心相距之弧。乃以太阴全径为一率，十分为二率，并径内减带食两心相距之余为三率，求得四率，即带食分秒。

接下来，咱们要算出全国各地月食发生的时间。以北京的时间为基准，根据各地和北京的经度差来调整时间，每相差一度，时间就差四分钟。（东边加，西边减）。 原文是：求各省月食时刻，以各省距京师东西偏度变时，（每偏一度，变时之四分。）加减京师月食时刻，即得。（东加，西减。） 然后，根据各地地理位置和月食发生的时间，就能算出各地看到的月食方位。原文是：求各省月食方位，以各省赤道高度及月食时刻，依京师推方位法求之，即得。

最后，咱们来画个月食图。先画两条互相垂直的线，横线代表黄道，竖线代表黄道经圈。然后，以地影半径为半径画个圆，代表地球的影子。再画两个同心圆，分别代表初亏、复圆和食既、生光。然后，在图上标出一些关键点，画出月球的轨道（白道），最后标出月食不同阶段月球的位置。原文是：绘月食图，先作横竖二线，直角相交，横线当黄道，竖线当黄道经圈，用地影半径度于中心作圈以象暗虚。次以并径为度作外虚圈，为初亏、复圆之限。又以两径较为度作内虚圈，为食既、生光之限。复于外虚圈上周竖线或左或右，取五度为识，视实交周初宫、十一宫作识于右，五宫、六宫作识于左。乃自所识作线过圈心至外虚圈下周，即为白道经圈。于此线上自圈心取食甚距纬作识，即食甚月心所在。从此作十字横线，即为白道。割内外虚圈之点，为食甚前后四限月心所在。末以月半径为度，于五限月心各作小圈，五限之象具备。

最后，还有一些关于日食的计算和一些需要确定日期的信息，原文是：

【日食用数】

太阳实半径五百零七，余见月食推日食法。

求天正冬至，同日躔。

求纪日，同月食。

求首朔，同月食。

要算日食，方法和算月食差不多，只是不用考虑望（满月）的时间，而是要算朔（新月）的时间。 看看某个月份的交点（就是太阳和月亮运行轨道交叉的地方）有没有进入日食可能发生的范围，如果有，这个月就会发生日食。这个范围呢，是从第五宫九度零八分到第六宫八度五十一分，还有从第十一宫二十一度零九分到第一宫二十度五十二分。

接下来，要算出一些数据，这些数据和算月食时用的方法一样，只是不用考虑望的时间：首先算出平朔（平均朔），然后算出太阳的平均位置（平太阳）、太阳的视位置（实太阳）、月亮的平均位置（平太阴）、月亮的视位置（实太阴）。

算出太阳和月亮的实际位置（实引）的方法，和算月食时一样。算出实际的新月时间（实朔），也和算月食时算满月时间的方法一样。算出实际交点的位置（实交周），也和算月食时一样。如果实际交点的位置在日食可能发生的范围内，那就说明会有日食发生。这个范围是：从第五宫十一度四十五分到第六宫六度十四分，还有从第十一宫二十三度四十六分到第一宫十八度十五分。

还要算出太阳在黄道和赤道上的实际位置（经度）。算出实际新月发生的时间，也和算月食时算满月时间的方法一样。实际新月发生的时间，通常在日出前或者日入后。如果时间差超过五刻（古代计时单位），那就是在夜里发生的，不用特别计算。

日食发生的最严重时刻，也就是食甚的时间，计算方法也和月食一样。

接下来要算一个东西，叫“用时春秋分距午赤道度”。 先用太阳在赤道上的经度减去三个宫（不够减就加十二个宫再减），得到太阳距离春分点的赤道经度。然后把食甚的时间换算成赤道经度，再加减半个周天（超过半个周天就减去半个周天，不够就加上半个周天），得到太阳距离正午的赤道经度。把这两个经度加起来（超过一圈就减去一圈），结果如果小于90度，就是春分点到正午点西边的赤道经度；如果大于90度小于180度，就减去90度，结果是秋分点到正午点东边的赤道经度；如果大于180度小于270度，就减去180度，结果是秋分点到正午点西边的赤道经度；如果大于270度，就减去270度，结果是春分点到正午点东边的赤道经度。

最后，要算“用时春秋分距午黄道度”。这个需要用到黄赤交角的余弦、天半径、以及前面算出的“用时春秋分距午赤道度”的正切值，通过查表得到结果。

首先，咱们得算出正午时分黄赤交角的纬度。用中午的黄赤交角距离作为第一比例，地球半径作为基准比例（设为1），黄赤交角的最大值正弦值作为第二比例，中午黄道度数的正弦值作为第三比例。把这四个比例算出正弦值，查表就能得到正午时分黄赤交角的纬度了。

接下来，算算中午黄道和子午圈的交角。用中午黄道度数的正弦值作为第一比例，中午赤道度数的正弦值作为第二比例，地球半径作为第三比例。同样，算出四个比例的正弦值，查表就能得到中午黄道和子午圈的交角。

然后，算算中午黄道的宫度。先确定春秋分时黄道距离中午的度数。春分的时候，如果在午后，就加上三个宫；如果在午前，就减去三个宫。秋分的时候，如果在午后，就加上九个宫；如果在午前，就减去九个宫。这样就能得到中午黄道的宫度了。

再算算中午黄道的仰角高度。先得到赤道高度（就是北极高度减去象限的余角）。然后根据中午黄赤交角的纬度来加减赤道高度。黄道在三宫到八宫之间就加，在九宫到二宫之间就减。

接下来算黄极坐标系中，黄道与子午圈交角的距离。用黄道与子午圈交角的余弦值作为第一比例，地球半径作为第二比例，中午黄道仰角高度的正切值作为第三比例。算出四个比例的正切值，查表得到度数，再用90度减去这个度数，就得到黄极坐标系中，黄道与子午圈交角的距离了。

然后，算算黄极坐标系中黄道的宫度。把刚才算出的黄极坐标系中，黄道与子午圈交角的距离和中午黄道的宫度加减一下。如果中午黄道的宫度在一宫到五宫之间就加，六宫到十一宫之间就减。如果中午黄道仰角高度超过90度，那就反过来加减。

接着，算算月亮到黄极坐标系的距离。用太阳黄道的经度减去黄极坐标系中黄道的宫度，剩下的就是月亮到黄极坐标系的距离了。根据距离的大小判断月亮是在黄极坐标系的东边还是西边。

然后，算算月亮到地面的高度。用地球半径作为第一比例，黄道与子午圈交角的正弦值作为第二比例，中午黄道仰角高度的余弦值作为第三比例。算出四个比例的余弦值，查表就能得到月亮到地面的高度。

接下来，算算月亮的高度弧。用地球半径作为第一比例，月亮到地面的高度的正弦值作为第二比例，月亮到黄极坐标系距离的余弦值作为第三比例。算出四个比例的正弦值，查表就能得到月亮的高度弧。

最后，算算黄道高度弧与交角。用月亮到黄极坐标系距离的正弦值作为第一比例，月亮到地面的高度的余切值作为第二比例，地球半径作为第三比例。算出四个比例的正切值，查表就能得到黄道高度弧与交角了。

首先，咱们得算出当时白道和黄道的高弧交角。 用黄道和白道的高弧交角的差值，加上或减去黄白两道之间的最大距离。 具体加减取决于月亮当时的位置：如果月亮在东边，就在十一宫和初宫时加，在五宫和六宫时减；反过来，如果月亮在西边，就在十一宫和初宫时减，在五宫和六宫时加。 如果计算结果超过90度，那么月亮在东边的就变成在西边，在西边的就变成在东边；如果结果不够减，那就反过来减。 记住一点，如果黄道平交点在头顶南边，白道平交点就在头顶北边；反之亦然。

接下来，我们要算太阳和月亮到地球的距离。 这个得参考计算月食时求地影半径和月球半径的方法。

然后，计算用时的高下差。 我们用平面三角形来算。 以地球半径为一边，太阳到地球的距离为另一边，用当时的月亮高弧减去象限角，剩下的就是夹角。 算出太阳到地球距离对应的角，再减去一个象限角，就是太阳的视高度。 用太阳的视高度减去月亮的高弧，得到太阳和地球半径的差值。 同样方法，用地球半径和月亮到地球的距离，以及月亮高弧减去象限角得到的夹角，算出月亮的视高度，再用月亮的视高度减去月亮的高弧，得到月亮和地球半径的差值。 最后，用太阳和地球半径的差值减去月亮和地球半径的差值，就得到高下差。

接下来算用时的东西差。 我们设半径为一万万为一个比例系数，白道高弧交角的余弦为第二个比例系数，高下差的正切为第三个比例系数，然后算出第四个比例系数，也就是正切值。 查表得到用时的东西差。

然后，算食甚的近似时间。 用月亮到太阳的距离化成秒为第一个比例系数，一小时化成秒为第二个比例系数，东西差化成秒为第三个比例系数，算出第四个比例系数，也就是秒数。 用时分来表示这个秒数，得到近似时间与食甚时间的差值。 然后根据月亮的位置（月亮在西边就加，在东边就减，还要考虑白道高弧交角的变化），把这个差值加减到食甚时间上，得到食甚的近似时间。

接下来算食甚近似时间对应的春秋分距午赤道度，用食甚近似时间计算赤道度，剩下的计算方法和之前一样。 后面的计算都类似，只是用近似时间对应的度分来计算。

接下来依次计算：食甚近似时间对应的春秋分距午黄道度；食甚近似时间对应的正午黄赤距纬；食甚近似时间对应的黄道与子午圈交角；食甚近似时间对应的正午黄道宫度；食甚近似时间对应的正午黄道高度；食甚近似时间对应的黄平象限距午；食甚近似时间对应的黄平象限宫度。

首先，咱们得算出当前时刻的月距限。方法是：先找到太阳的黄经，然后根据东西方向的经度差，进行加减运算（加减号取决于当前时刻的经度差），得到当前时刻的太阴黄经。再用这个太阴黄经减去当前时刻的黄平象限宫度，就得到了当前时刻的月距限。后面计算方法都一样。

接下来，我们要算出当前时刻的限距地高、太阴高弧、黄道高弧交角、白道高弧交角、高下差和东西差。

然后计算食甚的视行。方法是：把东西方向的经度差乘以二，再减去当前时刻的经度差，就得到了食甚的视行。

接下来算食甚的真时。这需要用到三个比率：视行化秒为一率，当前时刻的经度差化秒为二率，东西方向的经度差化秒为三率。用这三个比率算出第四个比率，单位是秒。然后把这个秒数换算成时分，再加减到食甚的用时上（加减号跟当前时刻的经度差一样），就能得到食甚的真时。

有了食甚的真时，我们就可以计算真时春秋分距午赤道度。计算方法和之前用时的方法一样，只是所有计算都基于真时和度分。 接下来，依次计算真时春秋分距午黄道度、真时正午黄赤距纬、真时黄道与子午圈交角、真时正午黄道宫度、真时正午黄道高、真时黄平象限距午和真时黄平象限宫度。

然后，我们再算出真时的月距限。方法是：先找到太阳的黄经，然后根据真时东西方向的经度差，进行加减运算（加减号取决于真时的经度差），得到真时的太阴黄经。后面的计算方法和用时的方法一样。 之后，依次计算真时的限距地高、太阴高弧、黄道高弧交角、白道高弧交角、高下差和东西差。

最后，我们要计算真时的南北差。方法是：用半径千万作为一率，真时白道高弧交角的正弦作为二率，真时高下差的正弦作为三率，计算出第四个比率，这个比率是正弦值。查表得到真时的南北差。

接下来算食甚的视纬。这部分的计算方法与月食的食甚距纬计算方法相同，得到的是实纬。然后，根据真时的南北差进行加减运算，得到食甚的视纬。（如果白平象限在天顶南，纬度为南，则加；纬度为北，则减。视纬的南北性不变。如果纬度为北，而南北差大于实纬，则反减，视纬变为南。限在天顶北则反之。）

最后，我们计算太阳半径。方法是：用太阳距地作为一率，太阳实半径作为二率，本天半径作为三率，计算出第四个比率，这个比率是正弦值。查表得到太阳半径。

首先，我们要算月亮的半径，然后详细计算月食的情况。

接下来，计算食分。 把太阳的直径作为第一比率，太阳直径的十分之一作为第二比率，把太阳和月亮的半径加起来作为第三比率，再减去视纬度作为第四比率。这四个比率算出来的结果就是食分。

然后，计算月食开始（初亏）和结束（复圆）的时间。用食甚时视纬度的余弦作为第一比率，太阳和月亮半径之和的余弦作为第二比率，半径（以千万为单位）作为第三比率，算出第四比率，也就是余弦值。查表得到初亏和复圆的距弧（也就是角度）。再用月球与太阳的距离（化成秒）作为第一比率，一小时化成秒作为第二比率，初亏和复圆的距弧（化成秒）作为第三比率，算出第四比率，也就是秒数。把这个秒数换算成小时和分钟，就得到了初亏和复圆的时间。把这个时间分别减去（初亏）或加上（复圆）食甚的准确时间，就能得到初亏和复圆的准确时间。

接下来算初亏发生时，在春秋分点，它距离正午赤道多少度。用初亏发生的时间来计算赤道度数，其他计算方法也一样，都用初亏的度数来计算。

然后依次计算：初亏发生时，在春秋分点，它距离正午黄道多少度；初亏发生时正午黄赤坐标的纬度；初亏发生时黄道与子午圈的交角；初亏发生时正午黄道的宫度；初亏发生时正午黄道的高度；初亏发生时黄道平坐标系距离正午的距离；初亏发生时黄道平坐标系的宫度；初亏发生时月球距离交点（限）的距离。 计算月球距离交点的距离时，先设定太阳在黄道上的经度，再减去初亏和复圆的距弧，再根据食甚的东、西偏差（根据食甚时间来决定加或减），得到初亏时月球在黄道上的经度。其他计算方法都与计算时间相同。

接下来，我们还需要计算：初亏发生时，月球距离交点的距离在地球上的高度；初亏发生时月球的高度弧；初亏发生时黄道高度弧与交角；初亏发生时白道高度弧与交角；初亏发生时高度的差异；初亏发生时东西方向的偏差；初亏发生时南北方向的偏差。

最后，计算初亏的视运动。把初亏时的东西方向偏差和食甚时的东西方向偏差相减（如果初亏时月球在交点东面，食甚时在交点西面，则相加），得到一个差值。再用这个差值加上或减去初亏和复圆的距弧，就能得到视运动。（如果差值是相减得到的，说明月食发生在交点东面，初亏时东西方向偏差大则减，小则加；如果发生在交点西面，则反之。如果差值是相加得到的，则总是减。）

最后，计算初亏的准确时间。用初亏时的视运动（化成秒）作为第一比率，初亏和复圆之间的时间间隔（化成秒）作为第二比率，初亏和复圆的距弧（化成秒）作为第三比率，算出第四比率，也就是秒数。把这个秒数换算成小时和分钟，就得到了初亏的时间间隔。用食甚的准确时间减去这个时间间隔，就能得到初亏的准确时间。

首先，我们要算出日食复圆时，太阳在赤道上的位置。具体来说，就是根据春秋分时太阳距离子午圈的度数，以及日食复圆所用的时间，来计算出这个度数。其他的计算方法都类似，只是用复圆时太阳的度数来分别计算。

接下来，我们要算出日食复圆时，太阳在黄道上的位置。这包括计算复圆时太阳在黄道和赤道上的距离、黄道与子午圈的交角、太阳在黄道上的度数和高度等等。我们还要算出复圆时太阳在黄道上的象限位置以及相应的度数。

然后，我们要确定月球的位置。我们需要知道复圆时月球距离交点的距离。我们先找到太阳在黄道上的经度，然后加上初亏和复圆的弧度差，再根据真太阳时东西方向的偏差进行加减（根据真太阳时与交点距离的远近决定加减号），最终得到复圆时月球在黄道上的经度。其他计算方法与太阳的计算方法类似，也需要考虑时间因素。

之后，我们计算月球的一些参数，例如月球距离地平面的高度、月球的高度角、月球轨道与黄道和白道的交角，以及月球与太阳的高度差、东西方向和南北方向的偏差。

接下来，我们要计算日食复圆时的视运动。我们需要将复圆时月球的东、西方向偏差与真太阳时的东、西方向偏差进行比较，然后根据日食发生的位置（在交点东边还是西边）以及偏差的大小进行加减运算，最终得到复圆时的视运动。

然后，我们要计算复圆的准确时间。我们需要将复圆时的视运动转换成秒，然后结合初亏和复圆的时间差以及弧度差，进行一系列计算，最终得到复圆的准确时间。将这个时间与食甚的时间相加，就得到了复圆的具体时间。

最后，我们要计算日食的总时间，这只需要将初亏和复圆的时间相加即可。此外，我们还需要计算太阳在黄道和赤道上的星宿位置。计算太阳在赤道上的星宿位置，需要用到恒星的赤道经纬度计算方法，而计算太阳在黄道上的星宿位置则与之前的方法类似。最后，我们还要计算初亏和复圆时的交角，方法与月食的计算方法相同。

首先，咱们得算出日食开始和结束时的位置。如果日食发生在东边，那么，如果交角在45度以内，开始的时候偏右上方，结束的时候偏左下方；如果超过45度，开始的时候偏右上方，结束的时候偏左下方；正好90度，开始的时候正右方，结束的时候正左方；超过90度，开始的时候偏右下方，结束的时候偏左上方。如果日食发生在西边，情况就反过来了，45度以内，开始的时候偏右下方，结束的时候偏左上方，以此类推。 （记住，这指的是北京黄平象限恒星在天顶南的情况，如果在天顶北，方位正好相反。）

接下来，咱们要算日食的食分，也就是日食遮挡太阳的程度。先得算出日食开始到结束的时间差，也就是带食时间。方法是：用日出或日入时间（如果日食开始前太阳还没升起，就用日出时间；如果日食结束时太阳已经落下，就用日入时间）减去日食达到最大食分的时间，得到带食时间。然后，用一些比例计算方法，算出带食弧长，再算出带食时太阳和月亮中心之间的距离，最后算出食分。这部分计算比较复杂，需要用到很多天文数据和公式。

然后，咱们要算出全国各地日食发生的时间和食分。以北京的日食最大食分时间为基准，根据各地经度差异进行加减，就能得到各地日食最大食分的时间。再根据各地北极高度，用和北京同样的方法计算，就能得到各地日食的食分。

接下来，算各地日食发生的方位。用各地黄道高弧交角和日食开始、结束时的月球视纬度，就能算出日食的交角，从而确定方位。

画日食图的方法和画月食图差不多，但是只需要画出太阳和月亮的半径，画一个大圆圈代表日食开始和结束时月球中心的位置，不用画内圈，也不用标注食既和生光这两个点。

最后，日食的计算，需要用到七政（日月五星）和恒星的运行数据以及交食的资料。

这段文字讲的是古代天文计算，具体来说是计算星体之间凌犯的时刻和相关参数。咱们一句一句掰开了揉碎了来说。

首先，它讲怎么判断星体之间有没有发生凌犯。 “推凌犯法，求凌犯入限”，意思是说，要根据规则来推算星体是否发生凌犯，并且要确定凌犯开始的时间（入限）。 “太阴凌犯恒星，以太阴本日次日经度，查本年恒星经纬度表，某星纬度不过十度，经度在此限内，为凌犯入限。” 白话就是：月亮如果要凌犯恒星，就先看看月亮今天和明天的经度，然后查一下今年的恒星经纬度表，如果某颗恒星的纬度不超过十度，而且经度在月亮经度范围内，那就说明月亮开始凌犯这颗恒星了。

接下来，它详细解释了月亮和恒星之间凌犯的具体判断方法。“复查太阴在入限各星之上下，（如星月两纬同在黄道北者，纬多为在上，纬少为在下。同在黄道南者反是。一南一北者，北为在上，南为在下。）太阴在上者，两纬相距二度以内取用；太阴在下者，一度以内取用。相距十七分以内为凌，十八分以外为犯，纬同为掩。” 简单来说，就是得看看月亮和恒星哪个在上面，哪个在下面（以黄道为参考）。如果月亮在上面，两者纬度差要在两度以内才算数；如果月亮在下面，纬度差要在一度以内才算数。纬度差在十七分以内叫“凌”，十八分以外叫“犯”，如果纬度相同，那就是“掩”。

“太阴凌犯五星，以本日太阴经度在星前、次日在星后为入限，余与凌犯恒星同。” 意思是月亮凌犯金木水火土这五颗行星，也是看月亮今天经度在行星前面，明天在行星后面，就说明月亮开始凌犯这颗行星了，其他的判断方法和月亮凌犯恒星一样。 “五星凌犯恒星，以两纬相距一度内取用。相距三分以内为凌，四分以外为犯，余与太阴同。” 五星凌犯恒星，纬度差在一度以内才算数，三分以内叫“凌”，四分以外叫“犯”，其他规则和月亮凌犯恒星一样。 “五星自相凌犯，以行速者为凌犯之星，行迟者为受凌犯之星。如迟速相同而有顺逆，则为顺行之星凌犯逆行之星，皆以此星经度本日在彼星前、次日在彼星后为入限。余同凌犯恒星。” 五星之间互相凌犯，跑得快的凌犯跑得慢的，如果速度一样，那就顺行的凌犯逆行的，判断方法和上面一样，都是看经度位置。

第二段讲怎么算星体每天运行的度数。“求日行度，太阴凌犯恒星，即以太阴一日实行度为日行度。凌犯五星，以太阴一日实行度与本星一日实行度相加减，（星顺行则减，逆行则加。）为日行度。五星凌犯恒星，以本星一日实行度为日行度。五星自相凌犯，以两星一日实行度相加减，（顺逆同行则减，异行则加。）为日行度。” 简单来说，就是算星体每天移动的度数。月亮凌犯恒星，就用月亮每天移动的度数；月亮凌犯行星，就要把月亮和行星每天移动的度数加减一下（行星顺行就减，逆行就加）；行星凌犯恒星，就用行星每天移动的度数；行星互相凌犯，就用两个行星每天移动的度数加减（同向就减，反向就加）。

第三段讲怎么算凌犯的具体时间。“求凌犯时刻，以日行度化秒为一率，刻下分为二率，本日子正相距度化秒为三率，求得四率为分。以时刻收之，初时起子正，即得。” 这段是计算凌犯发生的具体时间，用到了比例计算，这里面涉及到一些古代的计时单位和计算方法，比较复杂，这里就不详细解释了。

最后一段讲怎么算视差。“求太阴凌犯视差，（五星视差甚微，可以不计。）以刻下分为一率，太阳一日实行度化秒为二率，凌犯时刻化分为三率，求得四率为秒。以度分收之，与本日子正太阳实行相加，为本时太阳黄道度。依日食法求东西差及南北差。” 这段是计算月亮凌犯时的视差，五星的视差很小，可以忽略不计。 这个视差计算也比较复杂，涉及到天文观测中的误差修正。

总而言之，这段文字描述的是一套古代的天文计算方法，用于精确推算星体之间凌犯的时刻和相关参数，体现了古代天文观测和计算的精妙之处。

首先，咱们得算出月亮的视纬度。 把月亮的实际纬度算出来，然后根据南北方向的差异，进行加减运算，这个加减的方法和日食的计算方法一样。算完之后，月亮的视纬度就出来了。

接下来，计算月亮和星星之间的距离。把月亮的视纬度和星星的纬度加减一下，如果南北方向相同就减，如果一个南一个北就加。这样就能得到月亮和星星之间的距离。 咱们只用距离在一度以内的那些星体。

然后，咱们算一下月亮遮掩星星的视时，也就是看起来发生遮掩的时间。 先把月亮每小时的运行速度换算成秒，这个是第一种速率；再把每小时的运行速度再算一遍，这是第二种速率；最后把东西方向的差异也换算成秒，这是第三种速率。 把这三种速率加起来，算出第四种速率，单位是秒。 把秒换算成分钟，然后加减到遮掩的时刻上，如果月亮离遮掩的星体在西边，就加上，在东边就减去。 这样就能得到月亮遮掩星星的视时了。