曹元用，字子贞，老家在阿城，后来搬到汶上去了。他爷爷曹义没当官。他爸爸曹宗辅在德清县当个小官儿，是主簿。曹元用从小就聪明伶俐，特别喜欢读书，只要看过一遍，就能背下来。他每天晚上读书，经常读到天亮都睡不着觉。他爸爸担心他累坏身体，劝他别读那么晚了，但他总是偷偷地用衣服遮住窗户继续看书。
后来，他考中了镇江路儒学正，然后就进京赶考了。翰林承旨阎复这个人，对各地来的读书人一般都不怎么看得上眼，可是一见到曹元用，看了他写的文章后，曹元用随手就指出了文章里的毛病，阎复非常惊讶，立刻推荐他当了翰林国史院的编修官。曹元用上任后，觉得国史院里很多人都不称职，就建议进行考试，选拔优秀的人才。御史台也请他去做官，当了个掾史。曹元用一开始不熟悉官场上的事，但他处理事情很果断，那些官吏反而向他学习。后来他又升任中书省右司掾，和清河的元明善、济南的张养浩并称为“三俊”。 之后他又当了应奉翰林文字，然后升迁到礼部主事。
那时候，好几任皇后去世后，朝廷都只是称呼她们的名字，没有追谥号。曹元用就说：“皇后是天下人的母亲，怎么能只叫她的名字呢？应该给她加个谥号，来表彰她的美德。” 后来他又升任尚书省右司都事，然后又升了员外郎。等到尚书省被撤销后，他就回到任城老家去了，住了很久，齐鲁一带有很多人都来向他学习。
延祐六年，他被任命为太常礼仪院经历。当时英宗皇帝亲自主持祭祀活动，非常重视礼乐制度，那些祭祀的仪式、仪仗、服装等等，都是他参与制定的。 以前太庙只有九个房间，所有祭祀都在一个大殿里进行。仁宗皇帝去世后，没有地方供奉他，只能在武宗皇帝的房间前面搭个彩棚祭祀。英宗皇帝在北京的时候，召集礼官们商议此事，曹元用就说：“古代的宗庙都有寝殿和祭祀的房间，现在可以把这个房间改成寝殿，然后在前面再建一个大殿，一共十五个房间。”皇帝很欣赏他的建议，就授予他翰林待制，然后又升任直学士。
至治三年八月，发生了铁失之变，赤斤铁木儿率领叛军攻入京城，夺取了百官的印信，并命令两院学士北上。只有曹元用没有去，他说：“这是非常时期，我宁愿死，也不能屈服于他们！” 没过多久，叛军果然失败了，大家都称赞他有远见卓识。
泰定二年，他被任命为太子赞善，后来升任礼部尚书，还兼任经筵官。每次上朝大典，他都担任纠仪官，负责整顿队伍的秩序。他下令让官员们按顺序退朝，避免大家争先恐后，造成混乱。他还规定太医、仪凤司、教坊司等部门的官员，不应该和文武百官一起排队，应该自成一列。之后，这些规定都得到了执行。当时，有些大臣想取消科举考试，他坚决反对，说：“国家治理的关键就在于科举选拔人才，怎么能取消呢？” 还有一些大臣想减少太庙的祭祀活动，只保留冬至祭祀，他也极力反对，说：“春祭、夏祭、秋祭、冬祭，这是国家的大事，怎么能因为节省开支而废除呢？这可是关系到国家礼仪的大事啊！”
三年夏天，皇帝因为日食、地震、星象异常，下诏讨论如何消除灾祸。他认为：“上天看重的是实际行动，而不是空话，修身齐家，治理国家，才是真正的应天之道。应该减少不必要的开支，节约财政，选拔好的地方官，体恤百姓疾苦，认真祭祀，减少佛教活动，停止劳民伤财的工程，严格赏罚，以示警戒。”这些建议都切中时弊。他还建议改革科举考试，杜绝弄虚作假，严格考核，选拔真正的人才。他的建议被朝廷采纳。之后，他被任命为中奉大夫、翰林侍讲学士，继续兼任经筵官，参与修撰仁宗、英宗两朝的实录。他还奉旨编纂甲令，完成了《通制》一书，并将唐朝的《贞观政要》翻译成当时的官方语言。这些著作都广为流传。朝廷的大型诏书，大多出自他的手笔。
文宗时期，他起草了一道宽恤百姓的诏书，皇帝看了非常满意，赏赐了他金织文锦。天历二年，他到曲阜祭祀孔子庙。回来后，他将司寇像和祭祀记录献给皇帝，皇帝非常高兴。当时太禧宗禋院副使的职位空缺，中书省奏请让他担任，但皇帝拒绝了，说：“这个人是翰林院不可或缺的人才，将来会有更大的用途。” 不久之后，他就去世了。皇帝非常悲伤，对侍臣说：“曹子贞尽忠职守，如今去世了，赏赐他五千缗钱作为丧葬费吧！” 朝廷追赠他政奉大夫、江浙等处行中书省参知政事、护军等官职，追封东平郡公，谥号文献。他留下了四十卷诗文集，名为《超然集》。他有二子：伟、仪。
齐履谦，字伯恒，他爸爸齐义很擅长算术。履谦六岁的时候就跟着爸爸去了北京；七岁开始读书，一遍就能记住；十一岁的时候，他爸爸教他推算星历，他很快就掌握了；十三岁，他开始拜师学习圣贤的学问。从那时起，他就把探究道理作为自己的目标，只读那些儒家经典著作。元朝至元十六年，朝廷刚成立太史局，要修订新的历法，履谦被任命为星历生。和他一起工作的都是司天台官员的子弟，太史令王恂考问他们算术，大部分人都答不上来，只有履谦能对答如流，王恂非常惊讶。新的历法完成后，他又参与了《历经》和《历议》的修订工作。至元二十九年，他被授予星历教授的职位。
都城里的刻漏，以前是用木头做的，形状像碑，所以叫碑漏，里面装有弯曲的管道，用铜丸从碑顶往下滚动，通过铙的声音来报时，可是这个漏很久没修了，早晚报时都不准了。元朝大德元年，中书省让履谦去看看，他发现刻漏旁边有四只宋朝的旧铜壶，于是他根据图样考证了莲花漏、宝山漏等漏的制作方法，让人重新制作，他还建议重建鼓楼，增加更鼓和守漏的士兵，当时就采用了这些建议。大德二年，他升任保章正，开始全面负责历法事务。
大德三年八月初一，那天是巳时，按照历法推算，应该发生日食，而且时间还比较长。可是到了那个时候，却没有发生日食，大家都害怕了。履谦说：“日食该发生而没发生的情况，历史上也有过，更何况现在是接近中午，阳气盛，阴气弱，日食不发生也是正常的。”然后，他查阅了唐朝开元年间以来日食该发生而没发生的事例，一共十件，上报朝廷。大德六年六月初一，那天是戌时，按照历法推算，应该发生日食，时间是57秒。大家觉得时间短，而且接近黄昏，想隐瞒不上报。履谦说：“我负责的是常数，日食发生与否，是天意。”他独自将此事上报。到了那个时候，果然发生了日食。以前大家争论“没日”的计算方法，一直无法确定，履谦说：“一个月的月气是十五天，但有时会有十六天，这是多余天数的积累。所以历法用积累的天数来确定‘没日’，不超过一个月的气数才是正确的。”大家都服了他的说法。
公元1277年（元成宗七年）八月戊申日晚上，发生大地震。皇帝下令询问地震的原因以及消除灾祸的方法。许谦根据《春秋》说：“大地属阴，主静，象征着妻道、臣道、子道。这三种道义如果都失了，大地就会不安宁。消除灾祸的方法，大臣们应该反躬自省，去掉专制跋扈的威风，以此回应天变，不能只是单纯地搞祭祀祈祷。” 当时成宗皇帝生病，宰相专权，所以许谦才这样说。
公元1279年（元成宗九年）冬天，开始在南郊祭祀昊天上帝，许谦代理司天台的官职。以前，祭祀时，司天台虽然负责掌管时间，却没有钟鼓更漏，往往要到天亮才开始仪式。许谦向宰执大臣建议，请求使用钟鼓更漏，使祭祀活动有早晚的节制，他的建议被采纳了。
公元1281年（元至大二年），太常寺请求修缮社稷坛，并疏浚太庙庭院中的井。有人认为这会影响到岁君（主管农业的官员）的职责，想要阻止这项工程。许谦说：“国家把天下百姓都当作一家，岁君的职责岂能只局限于此！”
公元1282年（元至大三年），许谦升任时郎秋官正，兼领冬官正事。公元1283年（元至大四年），仁宗皇帝即位，推崇儒学。朝廷大臣说许谦有学识和品德，可以教导国子监的学生，于是他被提拔为国子监丞，又改任奉直大夫、国子司业，与吴澄同时被任命，当时人们都说选对了人。
每天五更天他就到国子监上课，无论刮风下雨、酷暑严寒，从未懈怠，他的教学有条不紊，学生们都很敬畏服从他。不久，许谦又兼任太史院佥事。公元1295年（元皇庆二年）春天，彗星出现在东井星附近。许谦上奏说应该加强修善政务来回应天意，并陈述了当时八件应该处理的要事。仁宗皇帝很感动，立刻吩咐宰相迅速执行这些建议。自从许谦离开国子监后，吴澄也因病辞职回家，国子监的学风有所败坏。
公元1311年（元延祐元年），朝廷诏令挑选优秀的教师，于是许谦再次被任命为国子司业。许谦更加严格要求自己，他的教导也更加有声有色，他每斋都安排一名伴读作为斋长，即使助教职位空缺，学生的讲授也从未中断。
当时刚开始规定国子监学生每年向朝廷推荐六名优秀毕业生，按照入学先后顺序排列。许谦说：“不考察他们的学业，怎么能选拔优秀人才呢！”于是他参考旧制，制定了升斋、积分等制度：每个季度考核学生的学业和品行，按照成绩依次递升；升入上斋后，必须再学习两年才能参加考试；孟月（正月）和仲月（二月）考试经义，季月（三月）考试古赋、诏诰、章表、策论；蒙古族和色目人考试明经策问；辞理俱佳者得一分，辞平理优者得半分，一年结束时积分为八分者为高等，共四十人；然后由集贤院和礼部确定其中技艺和学业合格的六人，作为每年向朝廷推荐的优秀毕业生；三年内不能通读一经，或在学不满一年的，都被淘汰。皇帝采纳了他的建议，从此人人努力学习，涌现出许多有文学才能的人才。公元1314年，许谦被外放为滨州知州，因母亲去世而未能成行。
公元1341年，他被任命为太史院使，相当于当时的国家天文台台长。
到了公元1325年九月，他以太史院使的身份被派去江西和福建，去处理那里的政务，安抚百姓。 他在那里可是大刀阔斧，一口气罢免了四百多名贪污腐败的官员！ 他还免除了几万石的额外赋税，这可是老百姓的大好事啊！ 以前那些州县为了省事，让一些名门望族子弟去做些杂役，他也全部取消了。
福建的官员，他们的田地，每亩每年要上交三石米，老百姓苦不堪言。 他下令按照规定上交，结果得罪了不少人。 等他回到京城，福建那些官员就倒打一耙，诬陷他其他事情。
没过多久，那些诬陷他的人，自己反而因为犯事被免职了，这才证明了他的清白。 他又重新当上了太史院使。 公元1328年九月，他去世了。
履谦这个人啊，从小就刻苦学习，特别认真，家里穷，连书都没有几本。后来他当上了负责编制历法的官员，在太史局工作。一次，他发现秘书监里保存着一些宋朝的旧书，就留下来自己研究。他日夜不停地读，钻研得很深，所以学问非常渊博，从六经、史书、天文、地理、礼乐、历法，到阴阳五行、医药、占卜，无所不通，尤其精通经书。他还写了很多书，比如《大学四传小注》、《中庸章句续解》、《论语言仁通旨》、《书传详说》、《易系辞旨略》、《易本说》、《春秋诸国统纪》等等。
他发现《洪范》里提到了“皇极”，邵雍的《经世书》也讲到“皇极之数”，其实“数”不是极限的意思，只是借用“极”字来表达数量的极限。所以他又写了《经世书入式》和《外篇微旨》这两本书，分别解释了《经世书》内篇和外篇关于“皇极”和“数”的含义。 《授时历》用了五十年，都没人仔细推敲过它的准确性。履谦却每天测量日影，观察晨昏和五星的位置，从至治三年冬天到泰定二年夏天，他发现实际的天文数据和《授时历》相比，每天都差两刻钟，于是写了《二至晷景考》来记录他的研究成果。虽然《授时历》有经和串两种计算方法，但它并没有解释这些方法的原理和来源，所以他又写了《经串演撰八法》来补充说明。
元朝建国一百多年了，祭祀用的音乐还沿用宋金时期的，没人敢改。履谦认为音乐的根本是律，律的根本是自然界的声律，而这些规律在古代史书里都有记载。他建议找个僻静的地方建个密室，用金门产的竹子和河内产的芦苇来制作乐器，这样就可以制定出正确的雅乐，用来祭祀，也能使人和谐相处，还能统一度量衡，稳定物价，改善社会风俗。他还上书朝廷，陈述了自己的想法。 他还得到一根黑色的古代律管，长一尺八寸，外面是方的，里面是圆的，中间有隔板，隔板上有小孔，用来调节气流；隔板以上九寸，管子内径均匀，大约三分，对应黄钟的音律；隔板以下九寸，管子内径逐渐变细到管底，大约二寸多，用来聚集气流。这根律管的制作方法和当时的律学家说的不一样，应该是古代所谓的“玉律”。后来他调到其他部门工作了，这件事就搁置了，很多有志之士都为此感到惋惜。至顺三年五月，朝廷追赠他翰林学士、资善大夫、上护军等职务，追封汝南郡公，谥号文懿。
