话说啊，古代那些厉害的皇帝，从黄帝、尧、舜，到夏商周那些盛世之君，都特别重视历法，这在史书上都有记载。虽然离现在太久了，具体方法记不太清了，但根本目的其实就是根据实际情况不断调整，让历法符合天象变化而已。汉朝的刘歆弄了个《三统历》，第一次建立了计算年日的方法，作为推算天象的标准。后世就一直沿用，从唐朝到宋朝，改来改去，换了好多版本，怎么这么多版本互相矛盾呢？原因是天象变化无常，而历法却是一套固定的规则，时间长了难免有偏差，有偏差就不得不改。
元朝刚开始用金朝的《大明历》，到了庚辰年，元太祖西征，五月十五月亮蚀，但《大明历》预测的不准；二月和五月初一，月亮在西南方向微微可见，这也不符合《大明历》的预测。中书令耶律楚材觉得《大明历》对天象的推算方法有问题，于是就修改了节气的划分，减少了周天的秒数，调整了交点和月球运行的余数，修正了日月运行的先后顺序，还调整了五行星的出没时间，把《大明历》的错误都改过来了。他还根据中元庚午年元军南下统一全国的情况，推算出上元庚午年十一月壬戌朔，子时冬至，那天日月合璧，五星连珠，都在虚宿六度附近，认为这是应验了太祖受命天下的征兆。另外，他还考虑到西域和中原地区距离遥远，就创造了一种“里差”的方法来调整距离误差，这样即使相隔万里，计算结果也不会出错了。于是，他把这个历法命名为《西征庚午元历》，呈报上去，可惜最后没被采用。
公元1267年，西域的札马鲁丁献上了一部叫《万年历》的历书，忽必烈稍微推行了一下。到了1276年，南宋灭亡了，忽必烈就下令让当时的官员许衡、王恂和郭守敬重新修订历法。
许衡他们觉得，虽然金朝也改过历法，但只是在宋朝的《纪元历》基础上稍微改动了一下，并没有真正地观测天象来验证。于是，他们就和陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、高敬等一帮天文官员一起，参考历代的历法，重新观测日月星辰的运行规律，仔细比较分析，取其平均值作为新的历法依据。
1280年冬至那天，新历法终于完成了，忽必烈赐名《授时历》。第二年，就开始在全国推行。1282年，忽必烈又让李谦写了一篇《历议》，详细解释了新历法如何符合天象运行规律，并批判了以前历法中人为附会、不符合实际的地方。李谦认为，《授时历》的精确程度是前所未有的，可以流传后世。现在许衡、王恂、郭守敬他们编写的《历经》和李谦的《历议》都还保存着，可以用来研究。只是《万年历》失传了，而《庚午元历》虽然没正式使用过，但书还在，我把它也放在这里，方便后人参考。 这就是我写《历志》的原因。
【验气】
天道运行，就像一个没有起点的圆环，不停地循环。制定历法的人，一定要抓住阴气消退阳气开始生长的时刻作为开始。那么，怎么才能知道阴阳消长的变化呢？只有观测日影的伸缩变化，才能找到这个关键点。观测的方法，就是立一根标杆，测量日影的长度，来探究阳气开始出现的时间。 古人已经总结了不少经验，只要我们认真思考，用心体会，就一定可以在前人的基础上有所创新。
老方法选址要地势平坦开阔，用水平仪和墨线来定位，立一根测量日影的表杆在中间，用来测量日影的长度。但是，如果表杆太短，那么测量出来的分秒、半秒、少许之类的细微差别，就很难区分了。如果表杆太长，虽然分寸会比较精确，但是缺点是日影虚淡，难以看到清晰的影子。以前的人为了在虚淡的日影中寻找精确的测量结果，有的用望远镜，有的用短表杆，有的用木头做成规尺，这些方法都是为了让表杆顶端的阳光准确地投射到圭面上。
现在我们用铜做表杆，高三十六尺，杆顶用两只铜龙装饰，上面架起一根横梁，一直延伸到圭面，总高度四十尺，也就是相当于旧制八尺高的表杆的五倍。圭表刻度也改进了，以前的尺寸是一寸，现在改成五寸，这样一来，毫厘之间的差异就更容易区分了。我们还另外设计了一种景符，用来捕捉清晰的日影。这种景符是用铜片做的，宽两寸，长是宽的两倍，中间穿一个小孔，像针眼一样细小，用方形的支架支撑，一端装上可以开合的枢轴，让它可以倾斜，北高南低，在虚淡的日影中移动调整，让小孔正好能透过阳光，光点只有米粒大小，隐约可以看到横梁的影子在里面。
以前的方法是用表杆顶端来测量日影，得到的是日影上边缘的影子，现在用横梁来测量，就能得到日影的中心位置，这样就不会有任何误差了。
古人测算冬至，用一根八尺长的表，冬天最长的时候影长一丈三尺多，夏天最短的时候影长五寸。现在北京用的表很长，冬天最长的时候影长七丈九尺八寸多，按八尺表的比例算，相当于一丈五尺九寸六分；夏天最短的时候影长一丈一尺七寸多，按八尺表的比例算，相当于二尺三寸四分。虽然各地日影长短不一样，但都一样，冬至日影最长，夏至日影最短。 只是精确测算冬至时刻不容易，因为只有在冬至那天，正午的阳光才能让一年四季的气节都准确无误。
刘宋时期的祖冲之，曾经观察了冬至前后二十三四天的日影长度，取中间值来确定冬至，并且用每天日影长度变化的比例来推算冬至的具体时刻。宋朝皇祐年间，周琮则用立冬和立春两天的日影来推算，因为他觉得这两天距离冬至比较远，日影变化比较大，更容易推算。元朝以后的历法，计算方法越来越细致，但基本上还是沿用祖冲之的方法。新历法积累了多年的观测数据，对正午的日影进行精确测量，从日影较长的时候到日影较短的时候，选择前后几天日影变化率相近的数据，进行对比分析，并不是只选择一两天日影的数据来确定冬至，而是用大量数据来确定，比《大明历》减少了十九刻二十分。 然后，根据多年实测的正午日影长度变化，最终确定冬至的具体时刻。
【推至元十四年丁丑岁冬至】
那年十一月十四日己亥日，日影长七丈九尺四寸八分五厘五毫；到二十一日丙午日，日影长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未日，日影长七丈九尺四寸五分五厘。 把己亥日和丁未日的日影长度相减，差值是三分五毫，这个差值乘以一百倍；再把丙午日和丁未日的日影长度相减，差值是八分六厘，作为除数；相除得到三十五刻；用这个结果减去相隔天数（八百刻），余数是七百六十五刻；取中间值，再加上半天（三百刻），一共是四百三十二刻半；把刻数换算成天数，得到四天；剩下的部分乘以十二，换算成小时，得到三小时，满五十刻再加一小时，一共是四小时；剩下的部分再除以十二，得到三刻；从开始计算的己亥日往前推算，得到癸卯日辰初三刻，这就是丁丑年的冬至。 这个方法是根据冬至前后四天的日影长度来推算的。
十一月初九，那天是甲午日，日晷的影子长度是七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，影子长了，变成了七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，影子又短了一些，是七丈八尺五寸五分。 你看，我用初九（甲午）和二十七（壬子）这两天的影子长度一减，再用二十六（辛亥）和二十七（壬子）这两天的影子长度一减，按照同样的方法计算，结果都指向癸卯日的辰时三刻。 到了二十八日癸丑，影子又短了，是七丈八尺三寸四厘五毫，我用二十七（壬子）和二十八（癸丑）这两天的影子长度，再和初九（甲午）的影子长度一起算，结果也一样，都是辰时三刻。 这些计算，我都是取前后八九天的影子长度来算的。
接下来，我用十一月丙戌朔（十一月初一）那天，日晷的影子长度是七丈五尺九寸八分六厘五毫；第二天丁亥，影子长了，是七丈六尺三寸七分七厘；一直到十二月初六庚申，影子又短了，是七丈五尺八寸五分一厘。 用同样的方法计算，结果还是辰时三刻。这次我取的是前后十七天的影子长度。
再看看，十月二十一日丙子，日晷的影子长度是七丈九寸七分一厘；一直到十二月十六日庚午，影子长度是七丈七寸六分；十七日辛未，影子是七丈一寸五分六厘五毫。 用同样的方法算，结果还是辰时三刻！这次我用的数据是前后二十七天的影子长度。
最后，我用六月初五癸亥那天，日晷的影子长度是一丈三尺八分；跟十五年前五月癸未朔（十五年前五月初一）那天，影子长度一丈三尺三分八厘五毫做比较；六月初二日甲申，影子长度是一丈二尺九寸二分五毫。 用同样的方法计算，结果也符合。这次我取的是前后一百六十天的影子长度。
【推十五年戊寅岁夏至】
五月十九号，那一天是辛丑日，日影的长度是 一丈一尺七寸七分七厘五毫；过了几天，到二十八号庚戌日，日影长了一丈一尺七寸八分；再到二十九号辛亥日，日影就变成了一丈一尺八寸五厘五毫了。 我用辛丑日和庚戌日的日影长度一减，差了二厘五毫，这个差值乘以一百，就得到了实际的数值；然后再用庚戌日和辛亥日的日影长度一减，差了二分五厘五毫，这个差值就作为除数；用前面的数值除以这个除数，结果是九刻。九百刻减去九刻，还剩八百九十一刻；再除以二，加上半天也就是三百刻，大概算一下，就是四天；再乘以十二，大概算一下，就是十一个时辰；最后再用十二除，得到三刻。从辛丑日开始算，算到乙巳日亥时三刻，正好是夏至。 这回我是用夏至前后四天的日影长度来计算的。
十四年十二月十五日，那天是己巳日，日影长度是七丈一尺三寸四分三厘；到了十五年十一月初二日辛巳日，日影长度是七丈七寸五分九厘五毫；初三日壬午日，日影长度是七丈一尺四寸六厘。我用己巳日和壬午日的日影长度相减，再用辛巳日和壬午日的日影长度相减作为除数，算出来的结果也一样对得上。这次我用的是夏至前后一百五十六天的日影长度来计算的。
十四年十二月十二日丙寅日，日影长度是七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯日，日影长度是七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰日，日影长度是七丈一尺九寸九厘；到了十五年十一月初四日癸未日，日影长度是七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申日，日影长度是七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉日，日影长度是七丈三尺三分三厘五毫。我前后都取了数据进行计算，算出来的时刻都一样。这次我用的是夏至前后一百五十八九天的日影长度来计算的。
12月7日，辛酉日，日影长7丈5尺4寸1分7厘；8日，壬戌日，日影长7丈4尺9寸5分9厘5毫；9日，癸亥日，日影长7丈4尺4寸8分6厘；然后是15年11月9日，戊子日，日影长7丈4尺5寸2分5毫；10日，己丑日，日影长7丈5尺3厘5毫；11日，庚寅日，日影长7丈5尺4寸4分9厘5毫。 咱们用壬戌日和己丑日的日影长度相减得到一个数值，再用辛酉日和壬戌日的日影长度相减得到另一个数值，然后用前者除以后者；或者用壬戌日和癸亥日的日影长度相减，或者用戊子日和己丑日的日影长度相减，甚至用己丑日和庚寅日的日影长度相减，用同样的方法计算，结果都一样。这些数据都是取自前后一百六十三四天内的日影长度。
【推算十五年戊寅年冬至】
十五年，也就是戊寅年，十一月十九日，戊戌日，日影长7丈8尺3寸1分8厘5毫；然后是闰十一月九日，戊午日，日影长7丈8尺3寸6分3厘5毫；十日，己未日，日影长7丈8尺8分2厘5毫。咱们用戊戌日和戊午日的日影长度相减，差值是4分5厘，这个差值乘以一百，再用戊午日和己未日的日影长度相减，差值是2寸8分1厘，然后用前者除以后者，得到16刻，再加上相隔的天数（2000刻），再除以二，加上半天（500刻），最后再进行一些四舍五入的计算，得到10天；然后用这个10天乘以12，再进行四舍五入计算得到时间，满50就进1时，一共是7时；剩下的再用12除，得到刻数；从开始计算的那天（己亥日）往前推算，最终算出戊寅年冬至是戊申日未初三刻。这些数据都是取自前后十天内的日影长度。
十一月十二号，辛卯日，日影长七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三号，壬辰日，日影长七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五号，甲子日，日影长七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六号，乙丑日，日影长七丈五尺九寸五分三厘；十七号，丙寅日，日影长七丈五尺五寸四厘五毫。 你看啊，用壬辰日和甲子日的日影长度相减得到一个差值，再用辛卯日和壬辰日的日影长度相减得到另一个差值，然后用前者除以后者，算出来的结果是戊申日未初三刻。或者用甲子日和乙丑日的日影长度来算，结果也一样。 要是用辛卯日和乙丑日的日影长度相减，再用乙丑日和丙寅日的日影长度相减然后相除，结果也一样。这些计算都是基于前后十六七天的日影长度。
十一月初八日丁亥，日影长七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，日影长七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，日影长七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥日和己巳日的日影长度相减得到一个差值，再用己巳日和庚午日的日影长度相减得到另一个差值，然后用前者除以后者，结果也一样。 这些计算都是基于前后二十一天的日影长度。
六月二十六日戊寅，日影长一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七日己卯，日影长一丈四尺六寸三分八厘；到十六年四月二日戊寅，日影长一丈四尺四寸八分一厘。 用两次戊寅日的日影长度相减，再用后一次戊寅日和己卯日的日影长度相减，算出来的结果也一样。 这些计算都是基于前后一百五十天的日影长度。
五月二十八日庚戌，日影长一丈一尺七寸八分；到十六年四月二十九日乙巳，日影长一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，日影长一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌日和丙午日的日影长度相减得到一个差值，再用乙巳日和丙午日的日影长度相减得到另一个差值，然后用前者除以后者，结果也一样。 这些计算都是基于前后一百七十八天的日影长度。
【推十六年己卯岁夏至】
四月十九号，那天影子长一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十号，影子长一丈二尺二寸九分三厘五毫；到了五月十九号，影子长一丈二尺二寸六分四厘。咱们把二十号和五月十九号的影子长度一减，差了二分九厘五毫，这个差值乘以一百；再把十九号和二十号的影子长度一减，差了七分六厘，用前一个差值除以后一个差值，结果是三十八刻；加上这期间相隔的两千九百刻，再除以二，再加上半天也就是三百刻，最后大概算出来是十五天；再用十二乘以十五天，大概算出来是二个时辰；最后再用十二除以二个时辰，得出来是二刻。从二十号开始算，加上十五天，就是辛亥日寅正二刻，也就是夏至。这个方法是用夏至前后十五天的影子长度算出来的。
三月二十一日，影子长一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日，影子长一丈六尺九分九厘五毫；十七日，影子长一丈六尺三寸一分一厘。用三月二十一日和六月十七日的影子长度相减，再用六月十六日和十七日的影子长度相减，用同样的方法推算，结果也一样。这个方法是用夏至前后四十二天的影子长度算出来的。
三月初二，影子长二丈一尺三寸五厘；七月初七，影子长二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八，影子长二丈一尺四寸八分六厘五毫。用三月初二和七月初七的影子长度相减，再用七月初七和初八的影子长度相减，按照刚才的方法推算，结果也一样。这个方法是用夏至前后六十一二天的影子长度算出来的。
三月戊申朔，影子长二丈一尺六寸一分一厘；七月初八，影子长二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九，影子长二丈一尺九寸一分五厘五毫。用三月戊申朔和七月初八的影子长度相减，再用七月初八和初九的影子长度相减，按照刚才的方法推算，结果也一样。这个方法是用夏至前后六十二三天的影子长度算出来的。
二月十八号，乙未日，日影长二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一号，丙寅日，日影长二丈五尺八寸九分九厘；二十二号，丁卯日，日影长二丈六尺二寸五分九厘。拿乙未和丙寅这两天的日影长度一减，再拿丙寅和丁卯这两天的日影长度一减，按照同样的方法推算下去，结果都一样。这些数据是前后大约七十五六天里测量的日影长度。
接下来，二月三日庚辰日，日影长三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五庚辰日，日影长三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六辛巳日，日影长三丈二尺二分六厘五毫。用第一次测量的庚辰日和第二次测量的辛巳日的日影长度相减，之后再用后面的庚辰日和辛巳日的日影长度相减，以此类推，方法都一样。这些数据是前后大约九十天里测量的日影长度。
正月十九日丁卯日，日影长三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳日，日影长三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午日，日影长三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯日和甲午日的日影长度相减，再用癸巳日和甲午日的日影长度比较一下，按照同样的方法推算下去，结果都一样。这些数据是前后大约一百三四天里测量的日影长度。
【推十六年己卯岁冬至】
十月二十四日戊戌日，日影长七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳日，日影长七丈六尺五寸八分；二十六日庚午日，日影长七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌日和己巳日的日影长度相减，余下一寸六分作为晷差，进两位；然后用己巳日和庚午日的日影长度相减，余下四寸三分七厘五毫作为法；用晷差除以这个法，得到三十六刻；用日影长度相减的间隔天数换算成刻，是三千一百刻，再减去三十六刻，余下三千六十四刻；把这个数除以二，再加上五十刻，再进行一些约算，得到十五天；再用这个十五天乘以十二，约算成时辰，满五十时辰，又进一时辰，一共得到十时辰；剩下的再用十二除，得到二刻；从最初测量的戊戌日算起，得到癸丑日戌初二刻冬至。这些数据是前后大约十五六天里测量的日影长度。
好家伙，这记录的都是啥？原来是每天日影的长度啊！你看，十月十八号，壬辰日，日影长七丈四尺五分二厘五毫；十九号，癸巳日，日影是七丈四尺五寸四分五厘；二十号，甲午日，就变成了七丈五尺二分五厘……一直到十一月二十八号壬申日，日影长七丈五尺三寸二分；二十九号癸酉日，又短了点，七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌初一，七丈四尺三寸六分五厘；初二乙亥，就更短了，七丈三尺八寸七分一厘五毫。 你看，这前后几天日影长度变化，不管你用甲午和癸酉的长度相减，还是癸巳和甲午的相减，结果都差不多。 反正都是算前后十八九天的日影变化。
接下来，这又来了个更复杂的。要是用癸巳和甲戌的日影长度相减，或者用壬辰和癸巳的相减，或者甲戌和癸酉的相减，或者甲戌和乙亥的相减，甚至用壬辰和乙亥的相减，算出来的结果也差不多！这次是算前后二十天的日影变化。
这还没完，十月十六号庚寅日，日影长七丈三尺一分五厘；十二月三日丙子日，日影长七丈三尺三寸二分；初四丁丑日，日影就变短了，七丈二尺八寸四分二厘五毫。 你看，用庚寅和丁丑的日影长度相减，或者丙子和丁丑的相减，结果都一样，这是算前后二十三天的日影变化。
最后，十月十四号戊子日，日影长七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五号己丑日，日影长七丈二尺四寸六分九厘；十二月五日戊寅日，日影长七丈二尺二寸七分二厘五毫。 这次，用己丑和戊寅的日影长度相减，或者戊子和己丑的相减，或者己丑和庚寅的相减，结果也差不多，这次是算前后二十四天的日影变化。 总之，这些记录都是为了观察日影长度的变化规律。
好家伙，这记录的是啥？原来是古代人精确测量日影长度，来推算冬至时间的记录啊！你看，这上面写着：十月初七那天，辛巳日，日影长六丈七尺七寸四分五厘；初八，壬午日，日影长六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九，癸未日，日影长六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二，乙酉日，日影长六丈八尺一寸四分五厘。 他们把壬午和乙酉的日影长度一减，辛巳和壬午的日影长度也一减，发现规律了，壬午和癸未的日影长度相减，结果也一样。 他们用这种方法，前后一共测了三十一、二天。
接下来，他们又记录了另一组数据：十月初一，乙亥日，日影长六丈三尺八寸七分；十二月十八日，辛卯日，日影长六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九日，壬辰日，日影长六丈三尺六寸二分五厘。 同样的方法，他们把乙亥和壬辰的日影长度一减，辛卯和壬辰的日影长度也一减，结果也一样！这次他们前后测了三十八天。
还有呢，九月二十二日，丙寅日，日影长五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八日，辛丑日，日影长五丈七尺五寸八分；二十九日，壬寅日，日影长五丈六尺九寸一分五厘。 还是同样的方法，前后测了四十七八天。
最后，他们又记录了一组：九月二十日，甲子日，日影长五丈六尺四寸九分二厘五毫；到十二月二十九日，壬寅日，日影长五丈六尺九寸一分五厘；到十七年正月初一，癸卯日，日影长五丈六尺二寸五分。 也是同样的方法，前后测了五十天。
通过这些年复一年的观测数据，他们最终推算出：至元十八年辛巳年冬至，应该在己未日夜半之后六刻，也就是丑时一刻。 【岁余岁差】 这句是啥意思，我也不知道，可能是他们记录的什么专业术语吧！
一年有三百六十五天，这是大家都知道的。但是呢，除了这三百六十五天，还有一些零头，大概相当于四分之一天。从今年冬至到明年冬至，一共三百六十五天，太阳绕地球转一圈，一共转四圈，那就是一千四百六十天，还多一天，这多出来的一天再除以四，就是四分之一天。不过啊，这天数的零头总是有多有少，不太准，以前的人都没怎么在意。直到汉朝末年的刘洪，才发现冬至之后的天数，这多出来的零头太多了，于是他就做了个《乾象历》，把这多出来的两千五百天，改成了两千四百六十二天。后来晋朝的虞喜，还有宋朝的何承天、祖冲之，他们觉得一年天数应该有个误差，就弄了个岁差的算法。这个算法呢，就是减少一年多出来的天数，增加太阳运行一周的天数，让一年多出来的天数慢慢变少，太阳运行一周的天数慢慢变多，这样一来一去，就能算出太阳运行和一年天数的差值了。一年多出来的天数和太阳运行一周的天数，这两个是互相影响的，岁差就是这么来的，太阳运行的精确度也是这么算出来的。要是这两个数算错了，那肯定跟实际情况对不上了。
从刘宋大明壬寅年开始，我们一共精确测量了六次冬至的时刻，把这些测量结果的时间差，除以相隔的年数，就能算出每年的剩余天数。我们又从大明壬寅年算到元朝戊寅年，把时间差除以相隔的年数，算出来每年是三百六十五天，二十四分二十五秒，比《大明历》少十一秒，这就是我们现在用的每年剩余天数。剩下的七十五秒，用来增加那四分之一天，一共就是三百六十五度，二十五分七十五秒，这就是太阳运行一周的天数。把多出来的天数和少的天数互相抵消，还剩一分五十秒，用这个数除以全度，就能算出大约六十六年，太阳运行的位置会后退一度。用六十六年除以全度，正好得到一分五十秒，这就是岁差。
咱们用《尧典》里记载的星象推算一下，那时候冬至太阳的位置在女宿和虚宿之间。然后我查了查以前的史料，汉元和二年，冬至太阳在斗宿二十一度；晋太元九年，在斗宿十七度；宋元嘉十年，在斗宿十四度末；梁大同十年，在斗宿十二度；隋开皇十八年，还在斗宿十二度；唐开元十二年，在斗宿九度半；现在呢，退到了箕宿十度。你看，从现在往前推算，时间跨度长的有七十多年，短的也有五十年，太阳位置都会差一度。宋庆元年间，他们修订了《统天历》，用大衍历法算出的岁差率是八十二年一度，再参考开元年的数据，差了五十五年一度，取个平均值，算出六十七年一度。用这个方法算出来的结果，跟实际的天象很接近。
但是啊，古今的历法，能符合现在的，不一定能符合古代的；能符合古代的，也不一定能符合现在的。咱们现在用的《授时历》，拿它来推算古代的冬至，就会多算几年，少算点岁差；拿它来推算未来的冬至，就会多算点岁差，少算几年。不过呢，往前推算到春秋时期以来的冬至，大多都挺准的；往后推算，也能用很久，没啥毛病，可不止现在准啊！我还用《大衍》等等六种历法，检验了春秋以来冬至的精确程度，一共四十九个例子，后面都列出来了。
【冬至刻】
《大衍》 《宣明》 《纪元》 《统天》 《大明》 《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35）甲寅（99）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89）辛亥（14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑（45） 己丑（20） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29）戊子（83）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
这些记录是啥？看起来像是某人连续好几年，在每年十一月某个日子记录下的数字。 癸酉、甲申、己丑、甲午、己亥、乙巳……这些都是干支纪年，年份不同，日子也不同，后面跟着一串数字，不知道是什么意思。
元嘉十五年，是戊寅年，十一月十八日，甲申日，记下了“癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65）癸酉（71）”； 元嘉十六年，己卯年，十月二十九日，己丑日，记下了“己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37）己丑（44）”。 这记录方式真特别，年份、月份、日子都写得清清楚楚，后面跟着的数字串，我猜可能是某种测量结果或者计数结果吧，但具体是什么，就不得而知了。
元嘉十七年，庚辰年，十一月初十日，甲午日，记录的是“甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63）甲午（68）”；元嘉十八年，辛巳年，十一月二十一日，己亥日，记录的是“己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87）己亥（93）”。这连续几年的记录，数字变化挺大的，看来这背后的事情，应该挺复杂。
元嘉十九年，壬午年，十一月初三日，乙巳日，记录的是“乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（10） 乙巳（21） 乙巳（11）乙巳（17）”。 到了大明五年，辛丑年，十一月乙酉日，冬至那天，记录的是“甲申（70） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74）甲申（79）”。 这记录跨越了好几个朝代，从元嘉到陈朝，再到光大年间，时间跨度不小啊。
陈天嘉六年，乙酉年，十一月庚寅日，记录的是“庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（80）庚寅（17）”；光大二年，戊子年，十一月乙巳日，记录的是“乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81）乙巳（90）”。 这记录的数字，有的年份大，有的年份小，变化没有规律可循，真让人摸不着头脑。
太建四年，壬辰年，十一月二十九日，丁卯日，记录的是“丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98）丙寅（87）”；太建六年，甲午年，十一月二十日，丁丑日，记录的是“丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27）丁丑（36）”。 这记录一直持续到太建九年，丁酉年，十一月二十三日，壬辰日， 看来这记录持续的时间很长。 可惜，这些数字到底代表什么，实在让人费解。
这串数字，是记录什么的呢？看起来像是某种日期的记录，年份、月份、日子，还有其他的什么标记…… 反正看着挺复杂。
“太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。” 这是说，太建十年，戊戌年，十一月五日，是戊戌日。 这得查查历法才能弄明白具体是哪一天。
“戊戌（30） 戊戌（30） 戊戌（23） 戊戌（40） 戊戌（24）戊戌（33）” 这后面的数字，估计是记录的某件事情发生的具体时间，或者某种数值吧，看着像是在记录某种事件在不同戊戌日出现的次数或者其他信息。
“隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。” 隋朝开皇四年，甲辰年，十一月十一日，是己巳日。 又是类似的记录方式。
“己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71）己巳（86）” 这又是己巳日相关的记录，数字含义不明。
“开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。” 开皇五年，乙巳年，十一月二十二日，是乙亥日。
“乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55）乙亥（10）” 这里出现了乙亥日和甲戌日，数字记录依然很神秘。
“开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。” 开皇六年，丙午年，十一月三日，是庚辰日。
“庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19）庚辰（34）” 继续庚辰日的记录。
“开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。” 开皇七年，丁未年，十一月十四日，是乙酉日。
“乙酉（50） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44）乙酉（59）” 乙酉日的记录。
“开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。” 开皇十一年，辛亥年，十一月二十八日，是丙午日。
“丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41）丙午（56）” 丙午日的记录。
“开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。” 开皇十四年，甲寅年，十一月，辛酉日是朔日（初一）又是冬至。 这句和前面不一样，记录的是冬至。
“壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（30） 壬戌（14）壬戌（29）” 壬戌日的记录。
“唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。” 唐贞观十八年，甲辰年，十一月，乙酉日。
“甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（50） 甲申（32）甲申（44）” 甲申日的记录。
“贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。” 贞观二十三年，己酉年，十一月，辛亥日。
“庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54）庚戌（66）” 庚戌日的记录。
“龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。” 龙朔二年，壬戌年，十一月四日，从己未日到戊午日。 这句记录的时间范围比较广。
“戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午（71）戊午（82）” 戊午日的记录。
“仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。” 仪凤元年，丙子年，十一月，壬申日。 这段记录到此结束。 总的来说，这些记录很像某种天文历法观察记录，但具体记录什么，还需要更多信息才能解读。
壬申年，具体哪一天记不清了，反正好几天的记录是：壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12）壬申（22）。
永淳元年，是壬午年，十一月癸卯日，天气晴朗。
癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58）癸卯（68）
开元十年，是壬戌年，十一月癸酉日，天气晴朗。
癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（50） 癸酉（32）癸酉（46）
开元十一年，是癸亥年，十一月戊寅日，天气晴朗。
戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56）戊寅（70）
开元十二年，是甲子年，十一月癸未日，是冬至。
癸未（98） 甲申（ 3） 癸未（80） 癸未（99） 癸未（81）癸未（95）
宋景德四年，是丁未年，十一月戊辰日，是冬至。
戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74）丁卯（80）
皇祐二年，是庚寅年，十一月三十日，癸丑日，天气晴朗。
癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22）癸丑（23）
元丰六年，是癸亥年，十一月丙午日，天气晴朗。
丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26）丙午（26）
元丰七年，是甲子年，十一月辛亥日，天气晴朗。
辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（50） 辛亥（51） 辛亥（50）辛亥（51）
元祐三年，是戊辰年，十一月壬申日，天气晴朗。
壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）壬申（48）
元祐四年，是己巳年，十一月丁丑日，天气晴朗。
戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）丁丑（72）
元祐五年，是庚午年，十一月壬午日，是冬至。
癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96）壬午（96）
元祐七年，是壬申年，十一月癸巳日，是冬至。
公元92年，甲午年，还有好几个92年……总之，元符元年，也就是公元1098年，农历十一月甲子日，冬至那天。
公元1098年，农历十一月甲子日，冬至。 这天发生了什么事呢？记不清了，只记得有几个39岁和52岁的人，还有好几个91岁的人。
公元1101年，崇宁三年，农历十一月丙申日，冬至。
绍熙二年，也就是公元1191年，农历十一月壬申日，冬至。这一年，有86岁，99岁，还有好几个36、37岁的人。
庆元三年，公元1197年，农历十一月癸卯日，冬至。
嘉泰三年，公元1203年，农历十一月甲戌日，冬至。 这年冬至，有12岁，27岁的人，还有好几个57、47岁的人。 还有几个3岁，92岁的人。
嘉定五年，公元1212年，农历十一月壬戌日，冬至。
绍定三年，公元1230年，农历十一月丙申日，冬至。 这年冬至，有5岁，21岁，还有好几个37，49岁的人。 记录里还有25岁，41岁，以及好几个56、68、69岁的人。
淳祐十年，公元1250年，农历十一月辛巳日，冬至。
至元十七年，具体是哪一年我得查查……总之，农历十一月己未日，过了半夜六刻钟，冬至。 这年冬至，有65岁，83岁，还有几个7岁，63岁，92岁的人。 还有94岁，71岁，好几个77、78、94、96岁的人。 记录里还有87岁，5岁，好几个4岁，6岁，24岁，25岁的人。
从春秋时期献公开始，到现在已经两千一百六十年多了。咱们用过《大衍历》、《宣明历》、《纪元历》、《统天历》、《大明历》、《授时历》这六种历法来推算冬至，一共算过四十九次。
《大衍历》算对的有三十二次，算错的有十七次；《宣明历》算对的有二十六次，算错的有二十三次；《纪元历》算对的有三十五次，算错的有十四次；《统天历》算对的有三十八次，算错的有十一次；《大明历》算对的有三十四次，算错的有十五次；《授时历》算对的有三十九次，算错的有十次。
好家伙，这篇文章讲的是古代历法和实际观测结果的差异啊！咱们一句一句地捋捋。
首先，你看，这说的是《春秋》里记载的昭公时期冬至的事儿。公元前x年（具体年份原文没说清楚），正月初一也是冬至那天，《授时历》算出来是甲寅年，而《统天历》算出来是乙卯年，比实际情况晚了一天。到了僖公五年（公元前x年），两个历法都算对了，跟实际情况完全一致。再到昭公二十年（公元前x年），两个历法又都提前了一天。你看，要是为了让献公和僖公那两年的计算结果也对上，那昭公这年的计算结果就肯定不对了。所以啊，这说明《春秋》里记载的昭公那年冬至的日子，其实就是因为日度计算有偏差造成的。这就是第一个例子。
接下来，这又说的是刘宋元嘉十三年（公元x年）十一月甲戌日南至的事儿。《大衍历》、《皇极历》、《麟德历》这三个历法都算出来是癸酉年，比实际情况早了一天，这说明是日度计算有偏差，而不是历法本身的问题。用《授时历》算也一样，也是癸酉年。这是第二个例子。然后，大明五年（公元x年）十一月乙酉日冬至，好几个历法都算成了甲申年，估计也是日度计算出错了。这是第三个例子。
再看，陈朝太建四年（公元x年）十一月丁卯日，测得日影最长，《大衍历》和《授时历》都算出来是丙寅年，早了一天；到了太建九年（公元x年）十一月壬辰日，这两个历法又算成了癸巳年，晚了一天。你看，要是一定要让其中一个结果对上，另一个就肯定不对。这说明啥？还是日度计算有偏差！这是第五个例子。开皇十一年（公元x年）十一月丙午日日影最长，三个历法都算对了；但到了开皇十四年（公元x年）十一月辛酉日冬至，三个历法都算成了壬戌年，跟实际情况对不上。要是让辛亥年对上，甲寅年就错了；要让甲寅年对上，辛亥年就错了，所以开皇十四年甲寅年冬至也是日度计算有偏差。这是第六个例子。
唐朝贞观十八年（公元x年）十一月乙酉日和贞观二十三年（公元x年）十一月辛亥日，日影最长的时候，好几个历法算出来的结果都不对。 《大衍历议》分析了永淳和开元两年的冬至，认为史官是根据当时的历法记录的，而不是根据实际观测的结果，所以才对不上。用《授时历》算也是一样。这是第八个例子。
最后，从北宋以来，一共做了十七次天文观测。景德年（公元x年）丁未年戊辰日南至，《统天历》和《授时历》都算成了丁卯年，早了一天；嘉泰年（公元x年）癸亥年甲戌日南至，这两个历法又算成了乙亥年，晚了一天。你看，要是为了让景德年那次的计算结果对上，其他十六次就大多都晚了一天；要是为了让嘉泰年那次的计算结果对上，其他十六次就大多都早了一天。这再次说明了日度计算的偏差。这是第十个例子。
前面十件事，《授时历》都对不上号。但是，用这个道理推测一下，其实也不是完全对不上，关键在于抓住共同点就能理解其中的规律，辨别出差异就能知道它的变化。现在我们来看看冬至这天，忽略一些细微的日度偏差，以及史官按照旧历记录的那些事情，一共十件事，《授时历》都准确无误；《统天历》只在献公那件事上和现在的天象对不上；《大衍历》推算献公冬至是后推两天，《大明历》是后推三天，《授时历》却和实际天象完全吻合。再往前推到元朝庚辰年的冬至，《大衍历》推算的结果是晚了八十一刻，《大明历》晚了十九刻，《统天历》早了一刻，只有《授时历》和实际天象完全一致。拿以前那些历法来比较，《授时历》是最精确的，大概几百年后的冬至，都能坐在这里准确预测。
【古今历参校疏密】
拿《授时历》和以前的历法相比，就能看出它的精确程度。要是能准确预测几百年前的天象，那以后几百年也肯定没问题，这是前人总结出来的经验。古代那些精通历法的人，比如宋朝的何承天，隋朝的刘焯，唐朝的傅仁均、一行和尚等等，都是非常厉害的人物。现在我们把他们的历法和至元庚辰年冬至的天象对比一下，没有一个完全准确的，但是用我们新的《授时历》反过来推算古代的天象，却都丝毫不差，所以它的精确程度由此可见一斑。
宋文帝元嘉十九年，壬午年十一月乙巳日十一刻冬至，距元朝至元十七年庚辰年，一共八百三十八年。那一年十一月，天象显示是己未六刻冬至，《元嘉历》推算的结果是辛酉，比《授时历》晚两天；而《授时历》反过来推算元嘉壬午年冬至，结果是乙巳，和《元嘉历》完全一致。
隋朝大业三年，丁卯年十一月庚午日五十二刻冬至，距元朝至元十七年庚辰年，一共六百七十三年的时间。《皇极历》推算的结果是庚申冬至，比《授时历》晚一天；而《授时历》反过来推算大业丁卯年冬至，结果是庚午，和《皇极历》完全一致。
唐朝武德元年，戊寅年十一月戊辰日六十四刻冬至，距元朝至元十七年庚辰年，一共六百六十二年。《戊寅历》推算的结果是庚申冬至，比《授时历》晚一天；而《授时历》反过来推算武德戊寅年冬至，结果是戊辰，和《戊寅历》完全一致。
开元十五年，也就是丁卯年（公元727年）十一月己亥日，冬至是七十二刻。从这天算到至元十七年庚辰年（公元1300年），一共过去了五百五十三年的时间。用《大衍历》推算，冬至应该是己未日，比《授时历》晚八十一刻；而用《授时历》反过来推算开元丁卯年的冬至，结果是己亥日，这和《大衍历》的结果一致，只不过比《大衍历》早了四刻。
长庆元年，也就是辛丑年（公元821年）十一月壬子日，冬至是七十六刻。从这天算到至元十七年庚辰年，一共过了四百五十九年。《宣明历》推算的结果是冬至在庚申日，比《授时历》晚一天；而用《授时历》反推长庆辛丑年的冬至，结果是壬子日，和《宣明历》的结果一致。
宋朝太平兴国五年，也就是庚辰年（公元980年）十一月丙午日，冬至是六十三刻。从这天算到至元十七年庚辰年，一共过了三百年。《乾元历》推算的结果是冬至在庚申日，比《授时历》晚一天；用《授时历》反推太平兴国庚辰年的冬至，结果是丙午日，和《乾元历》的结果一致。
咸平三年，也就是庚子年（公元1000年）十一月辛卯日，冬至是五十三刻。从这天算到至元十七年庚辰年，一共过了二百八十年。《仪天历》推算的结果是冬至在庚申日，比《授时历》晚一天；用《授时历》反推咸平庚子年的冬至，结果是辛卯日，和《仪天历》的结果一致。
崇宁四年，也就是乙酉年（公元1105年）十一月辛丑日，冬至是六十二刻。从这天算到至元十七年庚辰年，一共过了 一百七十五年。《纪元历》推算的结果是冬至在己未日，比《授时历》晚十九刻；用《授时历》反推崇宁乙酉年的冬至，结果是辛丑日，和《纪元历》的结果一致，只不过比《纪元历》早了二刻。
金朝大定十九年，也就是己亥年（公元1179年）十一月己巳日，冬至是六十四刻。从这天算到至元十七年庚辰年，一共过了一百一十年。《大明历》推算的结果是冬至在己未日，比《授时历》晚十九刻；用《授时历》反推大定己亥年的冬至，结果是己巳日，和《大明历》的结果一致，只不过比《大明历》早了九刻。《大明历》的冬至推算结果，看来测量还不够精确。
1278年冬至那天，是农历十一月己酉日，下午一点钟。距离至元十七年（1350年）还有82年。根据《统天历》推算，那年的冬至应该是己未日，比《授时历》早一刻钟；而《授时历》推算庆元四年（1198年）的冬至是己酉日，和《统天历》的结果一致。
接下来是关于天体运行的一些专业知识。天上布满了星宿，一共二十八宿，周天度数是三百六十五度多一点。要确定这些星宿的度数，必须依靠太阳的运行来校准，也必须根据星宿的位置来记录。周天度数就是通过这两种方法得到的。天体是圆的，以南北两极为中心，赤道环绕其间，日月五星的运行，总是围绕着赤道运行。天球自西向东旋转，日月五星则自东向西运行，古代天文学家就是根据这个原理来观测日月星辰的。但是，各个星宿之间的距离，历代测算的结果都不一样，这可能是因为星体本身存在细微的移动，也可能是因为前人的测量不够精确。古代用窥管观测，现在我们用新制造的浑仪，用两条测线来测量，因此测得的度数和秒数与前代不同，具体数据见附表（此处省略）。
太阳在天上运行，是最明显的现象，太阳的光芒普照大地，其他星宿的光芒都黯然失色。古人想要测量太阳运行的度数，必须根据黄昏、黎明、午夜时分某些星宿的位置来推算太阳的位置；但是，黄昏、黎明、午夜的时刻很难精确确定，时间一有偏差，推算出的太阳位置就会有误差。晋朝的姜岌首先利用月食来校正，确定太阳的运行度数；《纪元历》则利用金星来确定太阳与星宿的距离，在黄昏后和黎明前验证星宿的度数，从而确定太阳的运行轨迹。现在，我们利用至元十四年（1347年）四月癸酉日发生的月食，推算出冬至那天太阳位于赤道箕宿十度，黄道九度多一点的位置。我们还从那年正月到己卯年（1350年）年底，三年时间里，不断测量月亮运行到哪个星宿以及岁星、金星与太阳的距离，反复验证和参考，一共得到一百三十四条数据，都显示太阳位于箕宿，这与月食的观测结果完全一致。用金赵知微修订的《大明历法》推算，冬至时太阳位于斗宿初度三十六分六十四秒，与我们新测量的结果相差七十六分六十四秒。
接下来是关于太阳运行速度变化的讨论……(此处内容未完待续)
咱们先说说太阳的运行规律。一年四季，太阳每天走的路程不一样，冬天和夏天差别很大。以前啊，人们只知道太阳每天走一度，一年绕天球一圈，却没搞明白它走动的快慢变化，以及四季变化的关系。北齐有个叫张子信的，他研究了天文观测记录，发现太阳每天走的度数，其实是有细微差别的，但也没完全搞清楚这快慢变化的规律。后来，赵道严通过测量日影的长短，确定了太阳运行的快慢变化，还算出了太阳运行的盈亏。最后是刘焯，他建立的太阳运行模型，把太阳运行的快慢变化和四季变化结合起来，虽然计算方法和以前不一样，但后世一直沿用他的方法。
你看啊，阴阳变化，日积月累就会产生变化。冬至那一天，太阳每天走一度多一点，离赤道大概有24度左右。从冬至开始，太阳的运行轨迹逐渐向北移动，大约88天91分之后，在春分前三天，太阳运行到赤道上，这时候每天走91度31分，速度比较平稳。之后，太阳运行速度逐渐加快，又走了93天71分，到了夏至那天，太阳又离赤道24度左右，每天走91度31分，速度又变慢了，之前增加的速度完全抵消了。从夏至开始，太阳运行轨迹逐渐向南移动，大约93天71分之后，在秋分后三天，太阳运行到赤道上，每天走91度31分，速度又比较平稳。之后，太阳运行速度逐渐减慢，走了88天91分，离赤道大约24度左右，每天走91度31分，又回到了冬至点，之前减慢的速度完全抵消了。你看，太阳运行速度的增加和减少，都是先增加后减少。从冬至到春分，从春分到夏至，太阳的运行轨迹先往西，再往南，先加速后减速，直到速度不再增加。从夏至到秋分，从秋分到冬至，太阳的运行轨迹先往东，再往北，先加速后减速，直到速度不再减少。太阳运行速度增加的阶段和减少的阶段，都差不多是88天91分；而太阳运行速度减少的阶段和增加的阶段，都差不多是93天71分；太阳运行速度最快和最慢的差别，大约是2度40分。这些都是通过实际测量日影长度，再用数学方法推算出来的，结果非常准确。
【月行迟疾】
古时候，人们认为月亮运行的轨道，和黄道（太阳运行的轨道）之间，相差十三度十九分之七。汉朝的耿寿昌认为，当太阳和月亮运行到牵牛星和东井星附近时，太阳运行的度数比月亮多，月亮要运行十五度才能和太阳平行，这是因为赤道的缘故。贾逵则认为，历法中计算朔、弦、望、月食的时间总是不准，是因为没搞清楚月亮运行速度快慢的原因。李梵和苏统都认为月亮运行速度有快有慢，这并不一定只发生在牵牛星、东井星、娄宿星和角宿星附近，而是因为月亮运行的轨道有远有近造成的。
刘洪花了二十多年时间研究，最终弄明白了月亮运行速度快慢的规律，把它列成表格，计算出月亮运行速度的增减变化。后来的历法学家都沿用了他的方法。到了唐朝的一行和尚，他仔细研究了月亮运行轨道的弯弯曲曲，最终掌握了月亮运行速度快慢的规律。
以前的人认为，月亮和五颗行星一样，靠近太阳时运行速度快，远离太阳时运行速度慢。历法学家们制定历法时，把月亮绕地球一周所需的时间，分成快慢两个周期，每个周期又分为开始和结束两个阶段。开始阶段速度加快，结束阶段速度减慢。在速度加快开始和减慢结束的阶段，月亮运行的速度比平均速度快；在速度减慢开始和加快结束的阶段，月亮运行的速度比平均速度慢。月亮绕地球一周开始的时候，每天运行大约十四度半，然后速度逐渐减慢，七天后速度达到平均速度，这叫做“疾初限”，这时运行的总度数比平均度数多五度四十二分。之后，月亮运行速度继续减慢，再过七天，每天运行大约十二度多一点，速度加快的那部分完全抵消了，这叫做“疾末限”。
从这时起，月亮运行速度开始变慢，再过七天，速度又达到平均速度，这叫做“迟初限”，这时运行的总度数比平均度数少五度四十二分。之后，月亮运行速度继续变慢，然后速度逐渐加快，再过七天，每天运行速度又回到十四度半，速度减慢的那部分完全抵消了，这叫做“迟末限”。月亮绕地球一周，实际需要二十七天五十五刻四十六分，快慢速度的差距都是五度四十二分。以前的历法把一天作为一个周期，一共用二十八个周期。现在经过验证，发现月亮运行速度的快慢变化在不同时间段是不一样的，所以现在把一天分成十二个周期，一共三百三十六个周期，一半是一周的周期，再分成四份就是象限。
【白道交周】
咱们先说说天上的那些线。南北极之间，贯穿天空用来测量星宿位置的那条线，叫做赤道。太阳走的那条路，也就是它每天运行的轨迹，叫做黄道。月亮走的路呢，叫做白道，它和黄道是交叉的。古人根据不同的方位给这些路线起了名字，分成了八条，加上黄道一共九条，其实说到底，都是一条路。只是因为它们的位置一直在变，所以才用不同的颜色和方位来称呼它们。
月亮的路和太阳的路交叉，有时候月亮会挡住太阳，有时候太阳会挡住月亮，这就是日食和月食。不过，月亮挡住太阳或者太阳挡住月亮的程度不一样，有的遮得厉害，有的遮得轻，这些都能用计算的方法推算出来。所谓“交周”，就是月亮的路和太阳的路交叉一次所用的时间。太阳的路离赤道最远是24度。月亮的路和太阳的路交叉时，最多不会超过6度；它离赤道最远不超过30度，最近不低于18度。月亮的路在黄道外面是阳，在黄道里面是阴，阴阳交替一次，就叫做一个四象。月亮在黄道上是正交，在黄道外6度是半交，回到黄道上是中交，进入黄道内6度又是半交，这就是四个象。每个象相隔七天，各运行90多度，四个象走完一个周期，就算是一次交的结束，用天数来算，大约是27天21刻22分24秒。每一次交，都会往后退1.2093度，大约249次交之后，它就又回到原点了，周而复始。
春天的时候，正交在正中间，半交在赤道内18度，黄道外6度；秋天的时候，正交在正中间，半交在赤道外30度，黄道外6度；春天的时候，中交在正中间，半交在赤道内30度，黄道内6度；秋天的时候，中交在正中间，半交在赤道外18度，黄道内6度。月亮的路和赤道正交的时候，和春秋分时黄赤道正交的星宿位置相比，东西方向上相差不会超过14.667度。夏至的时候，如果月亮的路在阴历里面，冬至的时候月亮的路在阳历外面，那么月亮的路和赤道相差比较大；反过来，如果夏至的时候月亮的路在阳历外面，冬至的时候月亮的路在阴历里面，那么月亮的路和赤道相差就比较小。这是因为月亮的路和太阳的路交叉的角度有斜有直，阴历和阳历的位置有里也有外，角度直的时候，距离就近而窄，角度斜的时候，距离就远而宽，所以相差的程度也不一样。现在我们用这种方法来计算，相差最多的不会超过3.83度，最少的不会低于1.5度，这就是月亮的路和赤道之间距离差的范围。
【昼夜刻】
太阳出来就是白天，太阳落山就是晚上，一天一夜一共一百刻。我们用十二个时辰来划分，每个时辰大约是八刻多一点点。不管你是在南方还是北方，一天的时间都是一样的。白天短了，晚上就长；晚上短了，白天就长，这是自然规律。
春分和秋分的时候，太阳正好从赤道升起落下，白天和黑夜一样长，各五十刻。从春分到夏至，太阳在赤道以南运行，离北极越来越近，所以白天越来越长，晚上越来越短。从秋分到冬至，太阳在赤道以北运行，离北极越来越远，所以白天越来越短，晚上越来越长。
在地球的中心点来看，白天最长不会超过六十刻，最短不会少于四十刻。在地球中心点以南的地方，夏至的时候太阳运行的轨迹离观测点比较远，白天可能不到六十刻；冬至的时候太阳运行的轨迹离观测点比较近，白天可能超过四十刻。在地球中心点以北的地方，夏至的时候太阳运行的轨迹离观测点比较近，白天可能超过六十刻；冬至的时候太阳运行的轨迹离观测点比较远，白天可能不到四十刻。
现在北京，冬至那天，太阳辰时二刻升起，申时二刻落下，所以白天只有三十八刻，晚上有六十二刻；夏至那天，太阳寅时二刻升起，戌时二刻落下，所以白天有六十二刻，晚上只有三十八刻。这都是因为地球有南北之分，南北极的高度不同，太阳升起和落下的时间早晚不一样，所以才会有这种差异。现在《授时历》里记录的昼夜长度，都是以北京为标准的，各个地方北极高度的实际测量数据，都可以在《天文志》里查到。
