袁桷，字伯长，是庆元人，是宋朝枢密院同知袁韶的曾孙。他从小就特别有名气。后来有人推荐他，让他当了丽泽书院的山长。元朝大德年间，阎复、程文海、王构这几位大佬把他推荐到了翰林国史院当检阅官。
那时候朝廷刚建好南郊祭祀的场所，袁桷就上书提出了十条建议，分别是：《昊天五帝议》、《祭天名数议》、《圜丘非郊议》、《后土即社议》、《祭天无间岁议》、《燔柴泰坛议》、《郊不当立从祀议》、《郊明堂礼仪异制议》、《郊非辛日议》、《北郊议》。 他认为这些祭祀活动存在一些问题，需要改进。 礼部官员觉得他学问渊博，很多建议都采纳了。
之后，他升职当了应奉翰林文字、同知制诰，还兼任国史院编修官，并且主动申请搜集辽、金、宋三朝的历史书籍。经过两次考核，他升迁为待制。他又重新被任命，官至集贤直学士。过了一段时间，他因为身体不好就辞官了。 没多久，他又被召回朝廷，担任集贤直学士，没过多久，又改任翰林直学士、知制诰，继续参与国史的修撰工作。到至治元年，他升任侍讲学士。元泰定初年，他辞官回家了。
袁桷在朝廷里写文章很厉害，朝廷的各种诏书、勋臣的碑铭，很多都是他写的。他自己的著作有《易说》、《春秋说》、《清容居士集》等。泰定四年，他去世了，享年六十一岁。朝廷追赠他中奉大夫、江浙等处行中书省参知政事、护军等官职，追封陈留郡公，谥号文清。
曹元用，字子贞，老家在阿城，后来搬到汶上去了。他爷爷曹义没当官。他爸爸曹宗辅在德清县当个小主簿。曹元用从小就聪明伶俐，特别喜欢看书，只要看过一遍，就能背下来。他每天晚上读书，经常读到天亮都不睡觉。他爸爸担心他累坏身体，劝他别这么拼，但他总是偷偷地用衣服遮住窗户继续看书。
后来，他考中了镇江路儒学正，然后去京城玩了一圈。翰林承旨阎复这个人，对各地来的年轻才子都很挑剔，但见了曹元用之后，拿自己写的文章给他看，曹元用一下就指出了文章的毛病，阎复对他非常欣赏，就推荐他当了翰林国史院的编修官。曹元用上任后，发现国史院里很多人都不称职，就建议进行考核，留下优秀的人才。御史台也请他去做掾史。曹元用一开始不熟悉官场事务，但他处理事情非常果断，那些官员反而向他学习。后来他又升迁到中书省右司掾，和清河的元明善、济南的张养浩并称为“三俊”。之后，他被任命为应奉翰林文字，又升迁为礼部主事。
那时候，好几朝的皇后去世后，都只是用名字称呼，没有谥号。曹元用就说：“皇后是天下母亲，怎么能只用她的名字称呼呢？应该给她加个谥号，来表彰她的美德。”后来，他升任尚书省右司都事，又升任员外郎。尚书省撤销后，他就回到任城老家，过了一段时间，齐鲁地区有很多人都来向他学习。
延祐六年，他被任命为太常礼仪院经历。当时英宗皇帝亲自主持祭祀活动，非常重视礼乐制度，祭祀的仪式、仪仗、服装等等，很多都是他制定的。以前，太庙只有九间房子，所有祭祀都在一个大殿里举行。仁宗皇帝去世后，没有地方可以给他上供，就只能在武宗的灵位前面搭个彩棚凑合一下。英宗皇帝在北京，召集礼官商议此事，曹元用说：“古代的宗庙都有寝殿和祭祀的房间，现在可以把这间房子改成寝殿，然后在前面再建个大殿，一共十五间房子。”皇帝很高兴，采纳了他的建议，任命他为翰林待制，又升为直学士。
至治三年八月，发生了铁失之变，赤斤铁木儿率领叛军攻入京城，收缴了各部门的印章，并命令两院学士北上。只有曹元用没有去，他说：“这是非常时期，我宁愿死，也不能屈服！”不久之后，叛军果然失败了，大家都称赞他有先见之明。
泰定二年，元用被任命为太子赞善，后来升任礼部尚书，还兼任经筵官。在大朝会的时候，他担任纠仪官，严格执行班次顺序，让大家依次退朝，避免了争先恐后、混乱不堪的场面。他还规定太医、仪凤司、教坊司等部门的官员，不应该按照常规的班次排列，应该另立一列，这些规定后来都得到了执行。当时朝中有人想废除科举制度，元用坚决反对，他说：“国家治理依靠文化，科举制度正是关键，怎么能废除呢？” 也有人想减少太庙的祭祀次数，只保留冬祭，元用也据理力争：“春祭、夏祭、秋祭、冬祭，这是国家祭祀的重大礼仪，怎么能因为节省开支而废除呢？”
三年夏天，皇帝因为日食、地震、星象异常，下诏讨论如何消除灾祸。元用认为：“上天感应的是实际行动，而不是空话，修身齐家治国平天下才是根本。应该减少不必要的开支，节约财政，选拔好的地方官，体恤百姓疾苦，认真举行祭祀，减少佛教活动，停止劳民伤财的工程，严格奖惩，以起到警示和鼓励的作用。”他的建议都切中时弊。他还论述了科举取士的方法，应该杜绝弄虚作假，严格考核，选拔真正有才能的人才。他的建议得到朝廷的普遍赞同。之后，他被任命为中奉大夫、翰林侍讲学士，兼任经筵官，参与修撰仁宗、英宗两朝的实录。他还奉旨编纂甲令，完成了《通制》一书，并将唐代的《贞观政要》翻译成当时的官方语言。这些著作完成后，都广泛流传。朝廷发布的大型诏书，大多出自元用之手。
文宗时期，他起草了一道宽恤百姓的诏书，皇帝看了非常满意，赏赐了他金织文锦。天历二年，他代替皇帝祭祀了曲阜孔庙。回来后，他将司寇像和祭祀记录献给皇帝，皇帝非常高兴。当时太禧宗禋院副使的职位空缺，中书省推荐元用担任，但皇帝拒绝了，说：“这个人是翰林院不可或缺的人才，将来有大用处。” 不久之后，元用去世了，皇帝非常悲伤，对侍臣说：“曹子贞（元用的字）忠心耿耿，竭尽全力为国家效力，如今去世了，赏赐他五千缗钱作为丧葬费用吧。” 皇帝追赠他政奉大夫、江浙等处行中书省参知政事、护军等职务，追封东平郡公，谥号文献。他的诗文集有四十卷，名为《超然集》。他有两个儿子：元伟和元仪。
齐履谦，字伯恒，他爸爸齐义很擅长算术。履谦六岁的时候就跟着爸爸去了北京；七岁开始读书，过目不忘；十一岁的时候，他爸爸就开始教他推算星历，没多久他就全明白了；十三岁，他开始拜师学习圣贤的学问。从那时起，他就把探究道理作为自己的目标，只读那些儒家经典。元朝至元十六年，朝廷刚成立太史局，要修订新的历法，履谦被任命为星历生。和他一起工作的都是司天台官员的子弟，太史令王恂曾经考问他们算术，大家都答不上来，只有履谦能对答如流，王恂对他非常惊讶。新的历法完成后，他又参与了《历经》《历议》的修订工作。至元二十九年，他被授予星历教授的职位。
都城的刻漏，以前是用木头做的，形状像碑，所以叫碑漏，里面装有弯曲的管道，用铜球从碑顶往下滚动，用铙的声音来报时，这个漏刻已经很久没用了，早晚报时都不准了。到了元朝大德元年，中书省让履谦去看看，他发现刻漏旁边有四只宋朝旧的铜壶，于是他根据图样考证了莲花漏、宝山漏等的制作方法，命令工匠重新制作，还建议重建鼓楼，增加更鼓和守漏的士兵，当时就采用了这些建议。大德二年，他升任保章正，开始全面负责历法事务。大德三年八月初一，那天是巳时，根据历法推算，应该发生日食，而且时间长达二分多钟，可是到了时间，却没有发生日食，大家都害怕了，履谦说：“日食该发生而没发生，历史上也有过这种情况，何况现在接近中午，阳气盛，阴气弱，发生或不发生日食都是正常的。”于是他查阅了唐朝开元年间以来日食该发生而没发生的情况，一共十件事，上报朝廷。
大德六年六月初一，那天是戌时，根据历法推算，应该发生日食，时间长达五十七秒。大家觉得时间很短，而且接近黄昏，想隐瞒不上报。履谦说：“我负责的是历法中的常数，日食发生与否，是天意，我不能隐瞒。”于是他独自将此事上报。到了时间，果然发生了日食。以前大家争论“没日”（注：指太阳完全被遮蔽的日子）的推算方法，一直无法确定，履谦说：“太阳运行周期是十五天，但有时也会有十六天，这是多余部分的积累。所以历法中根据积累的天数来确定没日，不超过一个周期（十五天）才是正确的。”大家对他的说法心服口服。
话说公元1277年（元成宗七年）八月的一个戊申夜，发生了大地震。皇帝下令调查地震原因并寻找解决办法。 官员履谦根据《春秋》解释说：“大地属阴，主静，就像妻子、臣子、子女一样，这三者如果都失了道，大地就会不安宁。解决的办法，大臣们应该反躬自省，去掉专权跋扈的气焰，以此回应天变，不能只是单纯地搞些祭祀祈祷。” 当时成宗皇帝正卧病在床，朝中有一些大臣专权擅势，所以履谦才这样说。
到了公元1279年（元成宗九年）冬天，朝廷开始在南郊祭祀昊天上帝，履谦代理司天台的官职。以前，祭祀的时候，司天台虽然负责掌管时间，却没有钟鼓更漏，往往要到天亮才能开始仪式。履谦向执政大臣建议，应该使用钟鼓更漏，使祭祀活动有条不紊，早晚有节，大臣们采纳了他的建议。
公元1281年（元至大二年），太常寺请求修缮社稷坛，并疏浚太庙庭院中的井。有人认为这会占用岁君（主管岁贡的官员）的经费，想阻止这项工程，履谦却说：“国家把天下百姓都当作一家人，难道岁君的职责就只限于此吗？” 公元1282年（至大三年），履谦升任时郎秋官正，兼领冬官正事。
公元1283年（至大四年），仁宗皇帝即位，他很推崇儒学。朝中大臣都说履谦有学问有操守，可以教导国子监的学生，于是他被提升为国子监丞，又改任奉直大夫、国子司业，与吴澄同时被任命，当时人们都说朝廷选对了人。他每天五更天就到国子监上课，无论刮风下雨，寒暑交替，从未懈怠，他的教学很有方法，学生们都很敬畏他。没过多久，履谦又被任命为太史院佥事。
公元1290年（元皇庆二年）春天，彗星出现在东井星宿附近。履谦上奏说应该加强修明善政来回应天意，并陈述了八条时务。仁宗皇帝很受感动，立刻吩咐宰相们迅速执行。自从履谦离开国子监后，吴澄也因病辞职回家，国子监的学风有所败坏。
公元1311年（元延祐元年），朝廷下令挑选优秀的教师，于是履谦再次被任命为国子监司业。履谦更加严格要求自己，他的教导也更加深入人心，他每斋都安排一名伴读作为负责人，即使助教职位空缺，学生的讲授学习也从未中断。 当时规定国子监每年向朝廷推荐六名优秀学生，按照入学时间的先后顺序来决定。履谦认为：“不考核他们的学习成绩，怎么能选拔优秀人才呢！”于是他根据旧制，制定了升斋、积分等制度：每季度考核学生的学业和品行，根据成绩依次递升；升入上斋后，必须再学习两年才能参加考试；孟月和仲月考试经义，季月考试古赋、诏诰、章表、策论；蒙古族和色目族学生考试明经策问；文章辞藻优美，论理精辟者得一分，辞藻平平但论理精辟者得半分，年底积分达到八分者为高等，每级四十人；然后由集贤院和礼部确定其中成绩合格的六人，作为每年的贡生；三年内不能通读一经，或在学时间不满一年的，都将被淘汰。皇帝采纳了他的建议，从此国子监的学生个个奋发图强，涌现出许多有才华的学子。公元1314年（延祐五年），履谦被任命为滨州知州，但他母亲去世，未能成行。
公元1341年，他当上了太史院使，相当于现在的国家天文台台长。
到了公元1325年九月，他以太史院使的身份，被派去江西和福建当钦差大臣，整顿吏治。这一去，可不得了，他一口气罢免了四百多名贪官污吏！ 还减免了百姓好几万石的苛捐杂税。以前那些州县为了省事，强迫先贤的后代去当苦力，他也全都给停了。
福建的省级检察院（宪司）管着一些田地，每亩地每年要收三石米，老百姓苦不堪言。 他觉得这事儿不对，下令按照规定收税，结果得罪了不少人。等他回到京城，福建的检察院就倒打一耙，诬陷他各种罪名。
没过多久，那些诬陷他的人自己都因为犯事被免职了，他才终于洗清冤屈，又重新当上了太史院使。 公元1329年九月，他去世了。
这个人叫履谦，从小就刻苦学习，家里穷，没啥书读。后来当了天文官，在太史局上班。有一天，他发现秘书监里丢弃了一些南宋的旧书，就留下来自己看。 他日夜不停地读，钻研得很深，所以学问非常渊博，从六经、史书、天文、地理、礼乐、历法，到阴阳五行、医药、占卜，无所不通，尤其精通经书。他还写了不少书，比如《大学四传小注》、《中庸章句续解》、《论语言仁通旨》、《书传详说》、《易系辞旨略》、《易本说》、《春秋诸国统纪》等等。
他根据《洪范》里的“皇极”概念，以及邵雍《经世书》里关于“皇极之数”的论述（数非极也，特寓其数极耳），写了《经世书入式》这本书；他还写了《外篇微旨》，分别解释了《经世书》内外篇中关于“皇极”和“数”的关系。 《授时历》用了五十年，都没人仔细研究过，履谦却每天测量日影和晨昏时分五星的位置，从至治三年冬天到泰定二年夏天，他发现实际的天文数据和历书上的数据差了两刻钟，于是写了《二至晷景考》来记录他的发现。 《授时历》虽然有经和串，但只讲方法和结果，没解释原理，他就写了《经串演撰八法》来补充说明。
元朝建国一百多年了，祭祀的音乐还沿用宋金时期的，没人敢改。履谦认为音乐的根本是律，律的根本是自然界的规律，这些规律在古代的史书里都有记载。 他建议找个僻静的地方建个密室，用金门竹子和河内芦苇来制作乐器，这样就可以制定标准的雅乐，用于祭祀，也能规范度量衡，改善民风。他还上书朝廷，说自己找到了一根黑石古律管，长一尺八寸，外方内圆，中间有隔板，隔板上有小孔，用来调节气流；隔板上面九寸，管内空腔均匀，直径约三分，对应黄钟之数；隔板下面九寸，空腔逐渐变细到管底，直径约二寸多，用来聚集气流。这根管子的制作方法和古代律学家说的不一样，应该是古代传说中的“玉律”。 可惜他后来调职了，这件事就没下文了，很多人都很惋惜。至顺三年五月，追赠他为翰林学士、资善大夫、上护军，追封汝南郡公，谥号文懿。
