齐履谦，字伯恒，他爸爸齐义很擅长算术。齐履谦六岁的时候就跟着爸爸去了京城；七岁开始读书，过目不忘；十一岁的时候，他爸爸教他推算星历，他很快就掌握了其中的方法；十三岁，他开始拜师学习圣贤之书。从那时起，他就把探究道理作为自己的目标，只读《诗经》、《尚书》、《易经》、《春秋》等儒家经典。到了元朝至元十六年，朝廷刚成立太史局，要修订新的历法，齐履谦被任命为星历生。和他一起工作的都是司天台官员的子弟，太史令王恂曾经考问他们算术，大部分人都答不上来，只有齐履谦能对答如流，王恂对他非常惊讶。新的历法完成后，他又参与了《历经》、《历议》的修订工作。至元二十九年，他被授予星历教授的职位。
都城的刻漏，以前是用木头做的，形状像碑，所以叫碑漏。碑漏里面装有弯曲的管道，用铜铸成小球，小球从碑顶往下滚动，撞击铙钹来报时，但是这个碑漏已经很久没用了，早晚报时都不准了。到了元朝大德元年，中书省让齐履谦去检查维修。他看到刻漏旁边有四只宋朝留下来的铜壶，于是就根据图纸考证了莲花漏、宝山漏等古代漏刻的制造方法，然后让人重新制作，他还建议重建鼓楼，增加更鼓和守漏的士兵，这些措施当时就被采纳了。第二年，他升迁为保章正，开始全面负责历法方面的事务。
大德三年八月初一，日出时间是巳时，根据历法推算，应该发生日食，而且时间还比较长。但是到了那个时候，却没有发生日食，大家都非常害怕。齐履谦说：“古代也有过预测日食准确与否的情况，何况现在是接近中午，阳气旺盛，阴气微弱，发生或不发生日食都是正常的。”然后，他考证了唐朝开元年间以来，预测日食准确与否的十个案例来向朝廷汇报。大德六年六月初一，日出时间是戌时，根据历法推算，应该发生日食，时间是57秒。因为日食发生的时间比较短，而且接近黄昏，很多人想隐瞒不报。齐履谦说：“我负责的是天文常数，日食发生与否，都是天意。”他独自向朝廷上报了此事。到了那个时候，果然发生了日食。以前大家争论“没日”（指太阳消失的日子）的计算方法，总是无法得出结论，齐履谦说：“一个月的日数是十五天，有时会有十六天，这是多余日数的积累。所以历法用积累下来的多余日数来确定‘没日’，不超过一个月的天数才是正确的。”大家都很信服他的说法。
话说公元1277年（元成宗七年）八月某一天晚上，发生了一场大地震。皇帝下令调查地震原因和解决办法。 一个叫许谦的人，他根据《春秋》的说法回答说：“大地属阴，主静，就像妻子、臣子、子女一样，这三者如果都失去了应有的本分，大地就会不安宁。解决的办法，大臣们应该自我反省，去掉专权跋扈的行为，来回应上天的警示，不能只是单纯地搞一些祭祀祈祷活动。” 当时成宗皇帝正卧病在床，朝中大臣中有人专权，所以许谦的话是暗指这些大臣。
到了公元1279年（元成宗九年）冬天，朝廷开始在南郊祭祀昊天上帝，许谦代理司天台的官职。 以前，祭祀的时候，司天台虽然负责掌管时间，但却不用钟鼓更漏，往往要等到天亮才开始仪式。许谦就向执政的大臣建议，应该使用钟鼓更漏，让祭祀活动有时间安排，大臣们同意了他的建议。
公元1281年（元至大二年），太常寺请求修缮社稷坛，并疏浚太庙庭院里的井。 有人因为这工程要占用岁君（掌管财政的官员）的钱，想阻止这项工程。许谦说：“国家把天下百姓都当作一家，怎么可以说岁君的钱就只能用在这里呢！”
公元1282年（至大三年），许谦升任时郎秋官正，兼领冬官正事。公元1283年（至大四年），仁宗皇帝即位，他很推崇儒家学说。 朝臣们都说许谦有学问有品德，可以教导国子监的学生，于是许谦被提升为国子监丞，后来又升任奉直大夫、国子司业，与吴澄同时受命，当时人们都说朝廷选对了人。
许谦每天五更天就到国子监上课，无论刮风下雨、酷暑严寒，从不懈怠。他的教学很有方法，学生们都很敬畏服从他。没过多久，许谦又兼任太史院佥事。公元1292年（元皇庆二年）春天，彗星出现在东井星附近。许谦上奏说应该加强修明善政来回应上天的警示，并陈述了八条时务。仁宗皇帝很感动，立刻吩咐宰相们迅速执行。自从许谦离开国子监后，吴澄也因病辞职回家，国子监的学风有所衰落。
公元1311年（元延祐元年），朝廷下令挑选优秀的老师，于是许谦再次被任命为国子司业。许谦更加严格要求自己，他的教导也更加深入人心，他每斋都安排一位伴读作为长官，即使助教职位空缺，学生的讲授学习也从未中断。 当时刚开始规定国子监学生每年要选拔六个人作为贡生，按照入学的先后顺序来决定。许谦说：“不考核他们的学习成绩，怎么能选拔优秀人才呢！”于是他根据旧制，制定了升斋、积分等制度：每个季度考核学生的学业和品行，根据成绩依次递升；升到上斋后，必须再学习两年才能参加考试；正月和二月考经义，三月考古赋、诏诰、章表、策论；蒙古族和色目人考明经策问；文章辞藻和道理都优秀的得一分，辞藻平平道理优秀的得半分，一年到头积满八分者为高等，共四十人；然后由集贤院和礼部确定其中成绩合格的六人作为贡生；三年内不能通读一经，或者在学不满一年的，都予以淘汰。皇帝采纳了他的建议，从此人人努力学习，出现了很多有文采的学子。公元1315年（延祐五年），许谦被外放为滨州知州，但因母亲去世，未能成行。
公元1341年，他当上了太史院使，相当于现在国家天文台的领导。
到了公元1325年九月，他以太史院使的身份被派去江西和福建当钦差大臣，整顿吏治。这一去，可不得了，他一口气罢免了四百多个贪污腐败的官员！ 他还减免了数万石的苛捐杂税，那些本来应该为官府服务的，靠着祖上余荫混吃等死的“官二代”，也被他统统赶回家了。福建省的官府自己管着一些田地，每亩地每年要收三石米，老百姓苦不堪言。 他下令减免了这部分税收，结果得罪了不少人。 等他回北京后，福建的官府就捏造罪名诬陷他。
没过多久，那些诬陷他的人自己反而因为犯了事被免职了， 他才终于洗清了冤屈，重新当上了太史院使。 公元1329年九月，他去世了。
这个人叫履谦，从小刻苦学习，家里穷，没啥书读。后来当了天文官，在太史局工作。一次，他发现秘书监里留着一些宋朝的旧书，就留下来自己看。他就日夜不停地读，认真研究，所以学问特别好，天文地理、历史典籍、礼乐制度、阴阳五行、医药卜算，他都懂，尤其精通经书。他还写了不少书，比如《大学四传小注》、《中庸章句续解》、《论语言仁通旨》、《书传详说》、《易系辞旨略》、《易本说》、《春秋诸国统纪》等等。
他还根据《洪范》里的“皇极”和邵雍《经世书》里的“皇极之数”，写了《经世书入式》和《外篇微旨》这两本书。“皇极”的数，其实不是真正的极限，只是借用“极”字来表达某种含义而已。 当时的《授时历》用了五十年，都没人仔细研究过。履谦每天都测量日影，观察晨昏和五星的位置，从至治三年冬天到泰定二年夏天，他发现实际的天文数据和历书上的数据，每天都差两刻钟，于是写了《二至晷景考》这本书。 《授时历》虽然有经和串（编排方法和数据），但它只讲结果，没讲计算方法，履谦就写了《经串演撰八法》来解释计算方法。
元朝建国一百多年了，祭祀用的音乐还沿用宋金两朝的，没人敢改。履谦认为音乐的根本是律，律的根本是自然界的规律，这些规律在以前的史书里都有记载。他说可以找个僻静的地方建个密室，用金门竹子和河内芦苇来制作乐器，这样就能制定出正确的雅乐，用来祭祀，也能规范度量衡，促进社会和谐。他还上书朝廷提出了这个建议。 他还得到一根黑色的古律管，长一尺八寸，外面是方的，里面是圆的，中间有个隔板，隔板上有小孔，应该是用来调节气流的；隔板上面九寸，管子是均匀的，直径大约三分；隔板下面九寸，管子逐渐变细到管底，直径大约二寸多，这样可以聚集气流向上。这根律管的制作方法和现在的律学家说的不一样，应该是古代的“玉律”。后来他调到别的部门工作了，这件事就搁置了，很多有志之士都很惋惜。至顺三年五月，朝廷追赠他翰林学士、资善大夫、上护军等职务，追封汝南郡公，谥号文懿。
